Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В частности, в рамках 334 бп. Введение теории невязкой жидкости совершенно невозможно объяснить существование обратного течения жидкости за стационарными препятствиями в потоке — явление, которое служит характерной чертой течений при всех (кроме очень малых) числах Рейнольдса и для всех видов препятствий (кроме очень тонких тел, расположенных вдоль потока). Мы знаем теперь, что поведение гипотетическои жидкости с нулевой вязкостью должно резко отличаться от поведения жидкости с малой, но не нулевой вязкостью и что течение реальной жидкости при очень больших числах Рейнольдса нельзя считать слегка измененной формой течения яевязкой жидкости (за исключением весьма специальных случаев).
Причина указанного различия характера течений реальнов и невязкой жидкостей обычно связана с неодинаковым поведением этих жидкостей вблизи твердых границ. Реальная жидкость удовлетворяет условию прилипання на твердых границах (поскольку она обладает хотя бы небольшой вязкостью), тогда как невязкая жидкость не удовлетворяет этому условию. Мы не можем обойти эти физические различия в поведении жидкостей путем введения условий прилипания при математическом описании течения невязкой жидкости. Дело в том, что пренебрежение силами вязкости в уравнении движения (4.1.6) понижает порядок этого дифференциального уравнения на единицу и одно из граничных условий становится, следовательно, излишним.
Мы увидим в этой главе, каким образом сохранение условия прилипания жидкости на твердых границах в течении при больших числах Рейнольдса может оказать существенное влияние на течение в целом„ тем самым подтверждается, за исключением особых случаев, неприемлемость предположения о невязкой жидкости. В то же время нас особенно будут интересовать условия, при которых поведение реальной жидкости должно приближенно совпадать с поведением невязкой жидкости, поскольку некоторые свойства невязкого потока (в особенности нулевое сопротивление тел в таких потоках) оказываются практически важными в самолетостроении и других областях техники, связанных с движением тел в жидкостях. К тому же надо учитывать многочисленные результаты математической теории невязкой жидкости, которые хотелось бы применить для исследования течения реальных жидкостей.
В этой главе нам иногда придется использовать теорему Бернулли ($3.5) для установившегося изэнтропического невязкого течения, поэтому для удобства читателей мы дадим адесь ее вывод (в случае однородной несжимаемой жидкости). С учетом векторного тождества и х (Ч Х н) =(1у2)~7 (и н) — н ~7н уравнение движения жидкости с постоянными плотностью и вязкостью (см. (4.1.6)) можно записать в следующем виде: — — и хе= Р— Ч ~ — + — дз) +ткачи, (5.1.1) ди 1 з ! ш 1р 2 Гл. б.
Течение прк большом числе Рейнольлсв; аффекты вязкости Рис. З.ЗЛ. Часть ввтревоз ливии. завихрепиость жидкости, проходящей через дакпую точку, кепостоякка. Не нуждается в пояснении и член ттуве, ибо ок представляет скорость изменения е за счет молекулярной диффузвв завихреииости точно так же, как в уравнениях движекия член т%еп представляет ускорение, обусловленное диффузией скорости (или количества движения). Завихреккость, или угловая скорость жидкости, па первый взгляд пе кажется величиной„ которая может перекоситься от одной части жидкости к другой посредством молекулярного движения, однако ввиду того, что как компопеиты скорости и во всех точках жидкости, так и производиые от и по координатам обладают этим свойством, в действителькости этим свойством обладает и завихреккость.
Члек е.Чп из уравкевий (5.2.1) и (5.2.2) ке имеет себе подобкого в уравкекии количества движения и дает своеобразное измекепие завихрекпости. Смысл этого члена станет ясным, если его переписать следующим образом: е Чи = ~ е ~ 11т —; (5.2,3) рс.,с РС отрезок РЧ соединяет две соседние точки некоторой вихревой линии (рис. 5.2.1), а бп — скорость жидкости в точке Д отяосительно точки Р. Соответствующий вклад в скорость измеяеиия завихреппости по времени, т.
е. ае 1 Ве либо в — —, либо в — —, !е! ас ' /е~ Гл ' в точности выражается скоростью изменения по времени каправленного элемента жидкой линии, проведенного от точки Р к (), где Р и 1т считаются теперь материальными точками (ср. (3 1.3)). Поведение е подобно поведению элемента жидкой ликии, в некоторый момент времени совпадающему с участком вихревой линии, так что изменение величины е можно представить в виде суммы двух слагаемых: одно связано с поворотом линейного элемента как твердого тела (око обусловлеко компонентой скорости бп, 338 5.2. Двнаинка вазнхреввестн нормальной к в), а другое — с растяжением или сжатием линейного элемента (оно вызвано компонентой скорости би, параллельной вектору в). Необходимо отметить, что в случае двумерного движения завихренность в всюду нормальна к плоскости движения и в ~и = = 0; уравнение (5.2.2) в этом случае сводится к скалярному (5.2 4) .Ов/.И = чз~7зв, которое имеет такую же форму, как и уравнение для плотности некоторого содержащегося в жидкости вещества, переносимого жидкостью и диффундирующего в ней (см.
(3.1.17)). Другой случай, в котором в.'(7и = О,— это течение постоянного направления, поскольку для скорости (и,О, 0), где и зависит от прямоугольных координат у и з в перпендикулярной движению плоскости, векторы в = (О, ди/дз, — ди/др) и '(7и = (О, ди/др, ди/дз) ортогональны. Продолжим обсуждение первого члена в правой части уравнения (5,2.2). Тот факт, что величина в изменяется подобно вектору, представляющему собой элемент жидкой линии, который в данный момент времени совпадает с участком вихревой линии, можно интерпретировать при помощи понятия потока завихренности через элемент жидкой поверхности.
Для элемента 6Я(~) жидкой поверхности, который в данный момент времени находится в точке х, поток завихренности равен в И и, конечно, совпадаетсциркуляцией 6С(г) по аамкнутому контуру, ограничивающему этот элемент поверхности. Скорость изменения потока завихренности через элемент 6Б определяется выражением нбС Рв М8 — = — 68+ в —, ся Р1 юя которое с использованием (3,1,6) (при постоянном р) и (5.2.2) преобразуется к следующему: — =чбв.((7ав)+0(а)= — чбБ.(С7Х (~7 Х в))+о(бЯ) (5 2 5) сИС Отсюда можно заключить, что поток завихренности через элемент жидкой поверхности изменяется только вследствие молекулярной диффузии; изменения величины и направления элемента бЯ оказывают некоторое влияние на поток завихренности, которое в точности компенсируется изменениями в, обусловленными первым членом в правой части уравнения (5.2.2).
Мы можем проинтегрнровать (5.2.5) по произвольной незамкнутой жидкой поверхности и в результате найти скорость изменения циркуляции по ограничивающему поверхность контуру. Однако 339 Гл. б. Течение кри большом числе Рейиольдса; эффекты елэкости более полезно начать с определения циркуляции. Циркуляция по замкнутому жидкому контуру равна С (с) = ~ и. д1, а в качестве элемента интегрирования может быть взят алемент 61 жидкой линии, скорость изменения которого равна 61 ~уп в соответствии с процедурой, описанной в $3.1. Тогда получим Ф=1 й) "-Ф" " " = =~Г Й-~- $ А гУ, — Р -г — д') +ч'))(Ч'н).сИ, (5.2.6) р 2 поскольку плотность р постоянна.
Предполагая, что Г = — ЧгЧ', а также, что Ч' — однозначная функция координат (например, если à — сила тяжести) подобно функциям р, р и д, имеем — =о$(аргон) Ы1= — +Ч хе) И!. (5.2.7) Это соотношение, очевидно, согласуется с (5.2.5). Действительно, если взять замкнутую жидкую кривую, для которой существует открытая поверхность, ограниченная этой кривой и лежащая в жидкости (такая кривая обычно называется стягивагмой, см. $2.6), то, интегрируя (5.2.5)по такой жидкой поверхности и применяя теорему Стокса, мы снова получаем в точности соотношение (5.2.7). Соотношение (5.2.7) фактически несколько сильнее, чем (5.2.5); в самом деле, в случае замкнутых нестягиваемых жидких кривых (например, таких, которые охватывают твердое цилиндрическое тело бесконечной длины) интегрирование (5.2.5) по открытой поверхности, ограниченной двумя нестягиваемыми жидкими кривыми, приводит к утверждению, что величина -21-+ о (~) (Ч х ш) д1 ас принимает одно и то же значение для всех таких замкнутых кривых, тогда как, согласно (5.2.7), это общее значение равно нулю.
Различие возникает из-за того, что при выводе соотношения (5,2.7) использовано предположение об однозначности потенциала сил Чс как функции координат, а прн выводе (5.2.1) и (5.2.5) это предположение не использовалось. Вследствие этого в (5.2Л) и (5.2.5) допускается возможность возникновения циркуляцни (но не завихренности), обусловленной массовыми силами более общего вида, чем сила тяжести, действующими на жидкость в многосвязной области. Подходящим примером являются электромагнитные массовые силы (при определенных условиях); напри- 340 5.2.
динамика вавнкрвнности мер, в плоском сосуде с ртутью можно воспроизвести безвихревое движение с круговыми линиями тока, обусловленное действием радиального электрического поля между внутренней и внешней граничными цилиндрическими стенками сосуда при наличии магнитного поля, нормального к поверхности ртути. В данной главе мы предполагаем, что на жидкость действуют только массовые силы, имеющие однозначный потенциал. Интересное и существенное свойство соотношения (5.2.7) состоит в том, что циркуляция С не зависит от условий в точках, расположенных вдали от замкнутой жидкой кривой. Нн силы тяжести, ни силы давления не оказывают какого-либо прямого воздействия на циркуляцию С, и лишь силы вязкости, действующие в окрестности жидкой кривой, могут изменить величину С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
