Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 67
Текст из файла (страница 67)
2 (4.10.11) В случае цилиндра возникает трудность, состоящая в том, что частный интеграл, связанный с распределением завихренности, не удовлетворяет условию обращения в нуль скорости на бесконечности. Если на время пренебречь внешним граничным условием для н, то можно найти, что условия на внутренней границе, а именно — =1 и — =1 при г=а, 1 Ф Иг удовлетворяются, если Ь = 1+ — С+ — С1па, 1 1 4 2 М = — — аеС.
В таком случае распределение скорости выражается формулой 1г1 1ааепа/11аее и =- Ю + С1) ( — — 1п — — — + — — ) + Сх — ~ — — — — ) . 2 а 4 4 га) га 12 2 га) (4Л0.12) Нормальное и касательное напряжения на поверхности цилиндра, которые получаются из выражений (4.10.9) и (4Л0.12), развивают на поверхности цилиндра силу сопротивления Р = 2ярУС (4ЛОЛ9) 311 на единицу длины цилиндра. Выражения (4Л0.9) и (4.10Л2) для давления (р — ре)(р и скоРости и удовлетворяют уравнениям (4.9Л) и (4.9.2), внутреннему граничному условию и условиям линейности относительно Ю Гл. 4, Равномерный ноток вязкой несжимаемой жидкости и симметрии при 9 = О, хотя скорость и возрастает как 1и г при болыпих значениях г и никаким выбором остающейся произвольной постоянной б' нельзя добиться, чтобы при г-».
оо было и — О. Однако решение (4.10Л2) небесполезно. Согласно выражению (4.10Л2), две части пренебрегаемой силы инерции (см. (4.9.13)) при больших г имеют величины ! ди ~ рУ»С р//»С« р — (~ —, ~ рп 'дп ! — 1и —. (4.10.14) д« ~ г г а С другой стороны, сохраняемая в уравнении сила вязкости имеет величину Ю" 1- — "" Обе части силы инерции становятся сравнимыми с силой вязкости на достаточно больших расстояниях от цилиндра: первая часть, когда отношение г/а имеет порядок Ве з (Ке = 2ар(//р), и вторая — когда (Сг/а) 1п (г/а) имеет порядок Ве-'.
Следовательно, решение (4.10.12) оказывается несостоятельным приближением для поля течения при больших значениях г, и невозможность удовлетворить внешнему граничному условию может и не быть результатом какого-либо непоправимого недостатка этого решения. Очевидно, что при больших г нужно какое-нибудь другое приближение к уравнению движения, и скорость (4Л0.12) долл<на сращиваться с решением такого приближенного уравнения при г -+ оо. Подробные вычисления показывают, что уравнение движения в приближении Озеена действительно имеет решение (Ламб (1911)), непротиворечивое на всем протяжении поля течения в том смысле, что отбрасываемый член рп зуп, оцененный на основании полученного решения, оказывается всюду малым по сравнению с членами, сохраняемыми в уравнении при Ве (( 1. Вблизи цилиндра это решение для и/У приближается, с абсолютной ошибкой порядка Ве, к выражению (4ЛОЛ2), если константу в нем выбрать равной С— (4.10.15) Ве Отметим, что прн этом значении С величина рп ~/и, согласно «внутреннему» решению (4.10Л2), не становится сравнимой с величиной ~ рази ~ до тех пор, пока отношение г/а не будет величиной порядка Ке-т, которая в то же время определяет величину отношения г/а, при котором необходимо уточненное уравнение Озеена и при котором его решение начинает отличаться от решения (4Л0.12).
Общие свойства течения на больших расстояниях от цилиндра, полученные исходя из уравнения Озеена, подобны установленным 312 4.11. Вязкость раабавлеииой суспеваии ва малых частиц в случае сферы; в частности, за цилиндром имеется параболическим след с конечной завихренностью. Поскольку решение уравнения Озеена вблизи цилиндра приближенно совпадает с выражением (4Л0.12) с ошибкой такого же порядка, которая возникает при замене уравнения движения уравнением Озеена (а именно с ошибкой О (Ве)), то формула силы сопротивления (4.10.13) остается применимой. Подставляя в нее значение постоянной (4ЛОЛ5), получаем коэффициент сопротивления на единицу длины цилиндра Со = ° (4.10 16) (17с) р77а2а Не 1и — ' Ве Измерения силы сопротивления цилиндра при низких числах Рейнольдса провести значительно труднее, чем в случае сферы, главным образом вследствие нежелательного влияния торцов цилиндра конечной длины, однако формула (4.10.16) дает вблизи Ве = 0,5 значения, которые не противоречат наблюдению (см.
рис. 4.12.7). В некоторых недавних исследованиях предложен метод нахождения приближений более высокого порядка для течения около кругового цилиндра и вычислен коэффициент его сопротивления '). Из этих исследований выяснилось, что формула (4.10Л2) (вместе с (4Л0.15)) дает (безразмерное) распределение скорости в окрестности 7Пдлиндра с абсолютной ошибкой порядка (1п Ве)-'. 4Л1. Вязкость разбавленной суспензии иэ малых частиц Смеси, состоящие из одного вещества в виде малых твердых, жидких или газообразных частиц, рассеянных беспорядочно в другом жидком веществе, весьма часто встречаются в природе и в промышленности. Термин «суспензия» обычно относится к системе малых твердых частиц в жидкости, хотя с динамической точки зрения природа обеих сред не имеет особого значения, и мы будем использовать этот термин также для системы твердых частиц в газе, системы капель одной жидкости, рассеянных либо в другой жидкости (эмульсии), либо в газе, и системы пузырьков газа в жидкости.
Интересно выяснить, как будут вести себя такие суспензии при движении границ н приложении сил. Если характерная длина масштаба движения суспензии велика по сравнению со средним расстоянием между частицами, а мы будем предполагать, что дело обстоит именно так, то суспензию можно рассматривать как однородную жидкость с механическими свойствами, ч Общее опвсавве метода, жмормй можпо пропевать в к векстормм драгам мщачам гвдродввамакв, см.
а кввге: Вав-Пайк М., Мекщм аоамущеввй а мегаввке жкдкоств, «Марэ, М., 1об7. 313 Гл. 4. Равиомеряый поток зяакой иесжимаемой жидкости отличающвмися от свойств окружающей ее жидкости, в которой эти частицы взвешены. Хаотическое распределение сферических частиц не имеет какого-либо свойства, зависящего от направления движения в среде (частицы в форме длинных стержней могут создать такие свойства вследствие нх тенденции располагаться в определенном направлении относительно локального распределения скорости, хотя броуновское движение взвешенных частиц стремится исключить любое такое преимущественное направление).
Поэтому если окружающая среда — «ньютонова» однородная жидкость, то эквивалентная суспензия приближенно сферических частиц также является ньютоновой и характеризуется вязкостью сдвига (и, возможно, также объемной вязкостью). В этом параграфе мы определим эффективную вязкость несжимаемой жидкости, содержащей взвешенные частицы столь малых линейных размеров, что а) влияние сил тяжести и инерции на движение частицы не учитывается (поэтому частица локально движется вместе с окружающей ее жидкостью) и б) число Рейнольдса возмущенного движения, возникающего вследствие наличия одной частицы, мало по сравнению с единицей. Будем считать ради простоты, что частвцы имеют сферическую форму; в случае жидких или газообразных частиц малого радиуса поверхностное натяжение стремится сохранить частицы сферическими, несмотря на деформирующее влияние движения жидкости, поэтому предположение о форме нужно только для твердых частиц.
Наконец, будем предполагать, что суспензии являются разбавленными настолько, что среднее расстояние между частицами велико по сравнению с их линейными размерами. При этих условиях основное движение окружающей жидкости, на которое налагается возмущенное течение, создаваемое наличием в ней одной частицы, можно считать состоящим из однородных поступательного, вращательного и чисто деформационного движений. Частица движется поступательно и вращается вместе с окружающей ее жидкостью, так что возмущение связано лишь с чисто деформационным движением (сдвигом).
Возмущение деформационного движения, возникающее из-за частицы, по-видимому, неизбежно сопровождается увеличением полной скорости диссипацви, и эффективная вязкость суспензии (сдвига или объемная) должна быть больше, чем вязкость окружающей ее жидкости; в дальнейшем мы убедимся, что это именно так. Для начала предположим, что частицы несжимаемы, поэтому суспензия также ведет себя как несжимаемая среда, и нужно определить только эффективное значение коэффициента вязкости сдвига. Для этого необходвмо явное представление возмущенного течения, создаваемого одной несжимаемой частицей, и поэтому мы рассмотрим соответствующую задачу течения с пренебрежимо малыми силами инерции. 314 4.11. Вязкость раэбээхэпной суспэпэвк вэ малых чэстпп Сфера е чисто деформационном течении Жидкость с коэффициентом вязкости )ь и с плотностью р занимает пространство вве сферы радиуса а и на больших расстояниях от нее совершает чисто деформационное движение, определяемое тевзором скоростей деформации е» при еп = О.
Скорость и давление в жидкости можно записать как и~ = й(+е»хп р = р'+ Р, (4.11.1) где Р— давление в чисто деформационном движении с тензором е» при отсутствии сферы; и,' и р' представляют изменения, вызываемые наличием сферы, и и(-ьО, р'-ьО при г = ~ х ~-+ оо. (4Л1.2) Пусть центр сферы находится в начале координат; тогда в силу симметрии не существует тенденции сферы к поступательному перемещению, н поверхность сферы все время задается уравнением г = а; следовательно, пи=О при г=а. (4.11.3) Существуют дополнительные условия на поверхности сферы, которые зависят от природы частиц.
Мы можем включить в рассмотрение частицы различных видов, предполагая, что сфера содержит несжимаемую жидкость с коэффициентом вязкости р (случай твердой частнцы соответствует, как и в 5 4.9, ф)э -ь со). При переходе через поверхность раздела скорость должна быть непрерывной; то же относится и к касательной компоненте напряжения, если предположить, как и в 5 4.9, что поверхность раздела не обладает никакими другими механическими свойствами, кроме однородного поверхностного натяжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
