Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Равномерный поток вязкой неснимаемой жндкосен в бесконечность но всех направлениях, причем сфера оказывается источником завихренности вследствие наличия условия прилипания. Член дее/д8, который имеется в полном уравнении для е и который отражает влияние непрерывного изменения положения сферы относительно неподвижных осей координат, в данном случае не учитывается, и вследствие молекулярной диффузии завихренность распространяется на большое расстояние одинаково как перед сферой, так и за ней; распределение завихренности таково, как если бы сфера была неподвижной и действовала исключительно как ее источник. Завихренность затухает как г ', что и следовало ожидать для диффузии каждой компоненты вектора ю от неподвижного стационарного источника типа диполя (на понерхности сферы образуются равные друг другу положительная и отрицательная величины каждой компоненты вектора ю).
Нам остается проверить, что решение, найденное в пренебрежении силами инерции, действительно согласуется с таким предположением. Согласно решению (4.9.12), сила вязкости 91увн имеет порядок )е(/а/гв. Если скорость сферы строго постоянна, а изменение скорости н в фиксированной точке обусловлено просто перемещением сферы относительно этой точки, то оператор д/д~ эквивалентен оператору — е).Ч и сила инерции имеет вид (4.9.13) р ( — У Чн + н ~7н).
Для первого из двух написанных членов оценка порядка его величины с использованием решения (4.9.12) дает рГ/ва/гв, для второго же реваз/гв. Эти два члена вблизи сферы имеют одинаковый порядок, но вдали от сферы доминирующим оказывается первый. Таким образом, отношение порядков величин пренебрегаемых сил инерции и сохраняемых сил вяакости равно (4.9 14) / гз р а 2 е' В точках вблизи сферы полученное решение действительно пригодно, если Ве (( 1, однако силы инерции, соответствующие этому решению, становятся сравнимыми с силами вязкости на расстояниях от сферы порядка а/Ве. Очевидно, что решение (4.9.12) на таких больших расстояниях от сферы непригодно, хотя это само по себе может и не иметь значения, так как там скорость жидкости, силы инерции и силы вязкости — все малые величины.
В самом деле, в з 4.10 мы увидим, что возможно найти распределение скорости, которое при Ве (( 1 представляет собой хорошее приближение к решению полного уравнения движения нсюду в жидкости и которое совпадает с приведенным выше приближенным решением, когда отношение г/а имеет порядок единицы. 296 Гл. 4. Равномерный поток вязкой несжимаемой жкдкоетк О -г о у г Щйб рве. 4.9.2. сраавенне наблюдаемых звачевнд коаеекпвента еопооткзлевяя сФеРы (вз рабаты Каетлмана (1924)) е двумя теореткчеекямв (по закону Стомеа С 24/Ве о В ПО ВТОРОМУ ПРкбЛвжЕНПЮ Сп — — (24/ВЕ)0 + З/44 ВЕ), тДЕ ВЕ 2аРП/К). ) — закон стоков; з — второе прнблвжевве; з — наблюдепне. кивающую силу, приложенную к сфере Я 4 1), для предельной скорости У сферы с плотностью р получим уравнение блерио= — яаз (р — р) й, 3 из которого (4.9.20) где т = р/р.
Соответствующее значение числа Рейнольдса для сферы, падающей с предельной скоростью, равно 2арр 4 аза / р 9 та '1 р (4.9.21) Для песчинки, падающей в воде при 20 'С, имеем р/р ж2 и т = = 0,010 сиз/сек, и соответственно число Рейнольдса равно 4,4 10е аз, где а надо брать в сантиметрах; для капли воды (считаем ее твердой), падающей в воздухе, р~р ж 780, т = 0,15 см'/сек и число Рейнольдса получается равным 1,5 10У аз.
Условие, позволяющее пренебречь силами инерции, а именно г(е (( 1, удовлетворяется для песчинки в воде при а (< 0,006 см, а для капли воды в воздухе — при а ((0,004 см. Следовательно, результаты такого анализа можно применить только к весьма малым сферам. Однако, как видно из сравнения наблюдаемой и расчетной предельных скоростей сфер известного размера (см. рис.
4.9.2), закон Стокса для силы сопротивления дает удовлетворительную точность в большинстве случаев, когда Ве а 1, и ошибку нельзя 298 4.9. движение тела нрн малых числах Рейнельдса заметить уже при Ке ( 0,5. Таким образом, теоретическое требование быть «малым по сравнению» на практике обычно можно заменить (по крайней мере, когда речь идет о силе сопротивления) просто требованием быть «меньше чем». Из рнс. 4.9.2 можно заметить, что кривая, соответствующая закону Стокса, расположена ниже измеренных значений сопротивления и ниже другой теоретической кривой (которая будет рассматриваться в следующем параграфе). Этого и следовало ожидать на основании общего результата, установленного в конце з 4.8; поле скоростей, полученное в пренебрежении силами инерции, сопровождается меньшей общей скоростью диссипацни, чем при любом другом соленоидальном распределении скорости с теми же граничными условиями, поэтому ему соответствует меньшая величина работы, совершаемой сферой против сопротивления жидкости при данной скорости Ю.
Сферическая капля о другой жидкости В ряде случаев, представляющих практический интерес, сфера, поступательно движущаяся при малых числах Рейнольдса, сама состоит нз жидкости, в которой в свою очередь может возникать движение, и желательно выяснить, какое влияние оказывает эта внутренняя циркуляция на силу сопротивления (Адамар (1911)). Будем считать, что эти две жидкости не смешиваются н что поверхностное натяжение на поверхности раздела достаточно велико, чтобы сохранить сферическую форму капли при любом деформационном влиянии сил вязкости.
Это последнее условие состоит в том, чтобы отношение 7/а (у — коэффициент поверхностного натяжения) было большим по сравнению с нормальным напряжением порядка )»У/а, вызываемым движением, т. е. чтобы было (4.9.22) у» )»У' в конце этого параграфа мы еще раз обратимся к этому требованию. Кроме того, примем, что число Рейнольдса для движения внутри капли мало по сравнению с единицей, как и число Рейнольдса для движения вне капли. Необходимые изменения в рассуждениях, использованных для нахождения полей скорости н давления в случае твердой сферы, можно произвести без особого труда. Движения как внутри, так к вне сферы осесимметричны и удовлетворяют уравнениям (4.9 1) и (4.9.2) (хотя и с разными значениями коэффициентов вязкости).
Вектор скорости и и разность давлений (р — ре) вне сферы,как и раньше, должны обращаться в нуль на бесконечности, а н и р — ле (черточка указывает на величину, связанную с жидкостью внутри сферы и с ее движением) конечны везде в области 299 Гл. 4. Равномерный поток нивкой весжимаемой жидкости определения.
Обычное кинематическое условие на поверхноств раздела имеет вид и и = и и = и а) при г = а. (4.9.23) Вместо условия прилипания на поверхности твердой сферы теперь выставляются определенные динамические условия сращивания. На поверхности раздела не может возникать относительного движения двух жидкостей, и касательное напряжение, развиваемое на поверхности раздела внешней частью жидкости, должно быть равно по величине и противоположно по знаку напряжению, развиваемому внутренней жидкостью г). Из рассмотрения нормального напряжения на поверхности раздела нельзя получить никаких сведений, так как ясно, что любой разрыв нормального напряжения, который невозможно исключить посредством соответствующего выбора ро, компенсируется поверхностным натяжением, возникающим при небольшой деформации поверхности раздела.
Таким образом, хХп=хХп приг=а, е дгпдлу(аы — аы) = 0 при г = а. (4.9.25) Уравнения и граничные условия линейны и однородны относительно и, р — р„п, р — ро и 1), так что все соотношения от (4.9.4) до (4.9.10) остаются справедливыми и дополняются аналогичными соотношениями для внутреннего движения. Давление р, как и р, удовлетворяет уравнению Лапласа, и соответствующее решение аналогично решению (4.9.4), т. е. — — СЮ х Функция тока и скорость внутри сферы имеют вид (4.9.6) и (4.9.7), а завихренность внутри сферы ю= — Сд) х х, и, следовательно, правая часть дифференциального уравнения относительно 7, аналогичного уравнению (4.9.8), равна (1/2) Сг'.
Тогда ~(г) = — Сг'-г Ег-г+ Мг'. 20 (4.9.26) ') Здесь мм предполагаем, что единстаенвая мехаввчесная величина, характчрпауюжая поверхность раздела,— ото однородное поверхностное ватяженве; а деистажечьноегв онаеыеается, что на поаерхвоств раадеча могут собираться моленулм примесей, что обусловливает и другие ее свойства (ом. $1.9).
300 4.0. Движение тела п малых числах Рейисльлсв Необходимость избежать особенность при г = 0 и кинематическое условие при г =- а требуют, чтобы было — 1 1 Ь=О М = —,— — Сев. 2 20 Таким образом, скорость внутри сферы и=У вЂ” — С(У(ав — 2г')+х(Ю х)). 10 (4.9.27) Остается определить С и С из динамических условий сращивания. Из условия (4.9.24) 1 1 С вЂ” — а= — Сев+а. 2 10 Касательная компонента зависит только от члена со скоростью У1 в общем выражении (4.9.15) для напряжения на поверхности раздела; сращивая соответствующие касательные компоненты, получим зк 3— —,( — С) =,0 С. 301 Из написанных условий находим Результирующая сила, действующая на поверхность раздела со стороны внешней части жидкости, определяется путем интегрирования силы (4.9.16), действующей на единицу площади, по поверхности раадела А: 3— 0+2 К лт(оы),, оА =- — 4ярс/;С = — — 4ла)ь(/, .
(4.9.29) в+г Следовательно, предельная скорость и' жидкой сферы с плотностью р и коэффициентом вязкости р, движущейся свободно под действием силы тяжести, равна 3 Р 1) г зг (4930) 0+ г 2 Случай твердой сферы получается, если положить р/р -~- ао. Случай сферического пузырька газа, движущегося в жидкости, соответствует (приближенно) другому предельному значению (р/)ь) = 0 и одновременно р/р = О. Поэтому скорость сферического газового пузырька, равномерно всплывающего под влиянием выталкивающей силы, будет равна (1/З)авя/т. Однако наблюдения предельной скорости г' очень маленьких пузырьков газа Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
