Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 59
Текст из файла (страница 59)
а р. р е .р ртуЖ~, ° .~. ре ного равенства (4.6.17), по существу представляет собой число Рейнольдса для течения вблизи отверстия; трактовка этого числа в 8 4.7 делает понятным, что силы вязкости не могут затормозить и рассеять концентрированную струю из отверстия, когда (Р/2прта) ~ 1. В другом крайнем случае с >) 1 и Ое близко к 90'. Соответствующее асимптотическое выражение для функции / (8), лолу- чаемое из точного решения (4.6.10), имеет вид У(8) „. з)п 8э 4.7.
Дкпаквчеекое подобие к чкело Рейвольдеа Тело, движущееся через жидкость, оказывает на нее силовое воздействие, и если скорость тела достаточно мала, так что точку приложения силы по существу можно считать неподвижной, то следует ожидать, что выражение (4.6.18) имеет некоторое отношение к течению, вызываемому телом. В $4.9 будет покаэано, что функция тока (4.6.18) действительно описывает результирующую картину течения на больших расстояниях (где форма тела значения не имеет) от движущегося тела, действующего на жидкость с силой Р, цри условии, что сила Р мала по сравнению с 2ярче.
4.7. Динамическое подобие и число Рейнольдса Движение однородной жидкости, которую можно считать несжимаемой, описывается уравнениями /до~ де~~ др деи1 Р +пг = — +)ь ~ Ш де,! де, Щад, (4.7.1) — =О, де~ де~ (4.7.2) сУ С'=— Ь' и и Ц Э р Х х = —. Ь ' Тогда в этих новых переменных и с безразмерным давлением Р ° р ре рД$ Э 271 где р — модифицированное давление, Мы предполагаем рассмотреть влияние изменения (однородных) параметров р и р. С этой целью полезно написать эти уравнения в безразмерных переменных, чтобы отделить влияние изменений р и р от влияния изменений только единиц измерения, В выписанных выше уравнениях яет параметров с размерностями длины и скорости, поэтому мы должны обратить внимание на граничные и начальные условия для размерных величин, с помощью которых радиус- вектор х и скорость и можно сделать беэразмеркыми.
Предположим, что задание начальных и граничных условий для определенного течения связано с некоторой характерной длиной Ь (которая может быть максимальным размером внутренней границы или расстоянием между внешними границами) и с некоторой характерной скоростью У (в качестве которой может быть постоянная скорость твердой границы) таким путем, что эти условия можно выраэить в безразмерной форме: 1) век.
тор и' — эаданная функция времени г' при данных аначениях х' и 2) вектор и' — заданная функция от х' при некоторых данных значениях времени 1', где Гл. 4. Равномерный ноток вявкой нвсжнмаемой жидкости где Ро — некотоРое хаРактеРное значение модифициРованного давления в жидкости, основные уравнения записываются в виде дн( . дн; др' ь деве —,+и) —,= — —,+— др дл,' дл Ке дл) дв)' (4.7.3) дк( .=о, дв( (4.7.4) где число Рейнольдса Ке = —.
рИ/ р Когда раопределеаве енороетя ааввоат от сял тяжеогн, нанрвмер, прв наличии оео. одной поверлноств жвдноогн, а етк евлы должны явно вкодвть в ураенення девжеввя (ем. б ель в данное перечнелевве должен быть также включая беараамерный параметр Ое/уТ., нааываеммй чкелал Фрубе. 272 Уравнения теперь содержат явно только беаразмерный параметр Ке, и их решения относительно переменных и' и Р', которые удовлетворяют граничным условиям, могут зависеть только от а) независимых переменных х' и б', б) параметра Ве и в) безразмерных относительных величин, необходимых для точного задания граничных и начальных условий (например, отношения двух осей эллиптического цилиндра, ограничивающего жидкость,— все эти относительные величины можно рассматривать как соотношения, определяющие геометрию граничных и начальных условий) ').
Этот переход к беаразмерным переменным, кажущийся формальным несерьезным действием, имеет далеко идущие последствия. Во-первых, как только решение задачи для частного поля течения получено и выражено в безразмерной форме, из него путем выбора трех значений параметров р, Ь, су' и )ь при неизменном числе Рейнольдса можно получить три бесконечных семейства решений. Все эти течения, которые удовлетворяют одним и тем же начальным и граничным условиям в безразмерной форме и для которых соответствующие значения параметров р, Ь, еу' и р отличаются друг от друга без изменения величины их комбинации рЬсг'/(е, описываются одним и тем же безразмерным решением; говорят, что все такие течения дининичесни подобны, так как величины различных членов в уравнении движения, представляющих влияние сил (вязкости, давления и инерции), действующих в данном положении, определяемом безразмерными координатами, и в данный безразмерный момент времени в жидкости, входят в виде одного и того же отношения для всех таких течений.
Этот принцип динамического подобия широко применяется как способ получения информации относительно некоторого 4.7. динамическое подобие и число Рейнольдса неизвестного поля течения по результатам «модельных испытаний», т. е. экспериментов, проведенных при более удобных физических условиях по сравнению с условиями этого неизвестного поля течения. Так, например, инженеры-гидравлики и химики часто хотят предсказать скорость, с которой малые твердые частицы оседают в водной суспензии, и для начала им нужно знать предельную скорость падающей в воде иаолированной малой частицы известного размера и плотности и упрощенной — сферической — формы.
Непосредственное измерение скорости падения одной частицы затруднительно, так как очень малый размер, например, частиц ила, создает трудности обращения с ними и их наблюдения. Тогда можно использовать динамическое подобие и утверждать, что если течение около падающей сферической частицы представить в безразмерных величинах, отнесенных к скорости сферы У и ее диаметру Ь, то оно будет таким же, как и течение около значительно большей сферы, движущейся с такой скоростью и в такой жидкости, что отношение рШ/)» принимает одинаковое значение в обоих случаях.
Отношение р/р для смазочного масла приблизительно в 400 раз больше, чем для воды, а для глицерина оно приблизительно в 680 раз больше, чем для воды; таким образом, динамически подобное поле течения может быть получено в одной из этих жидкостей со сферой болыпего н более подходящего размера, а силу торможения или «сопротивления» 17 сферы, создаваемую жидкостью, можно наблюдать для ряда значений параметров Ь и У. Выражение для силы сопротивления .0 = — ~ т,оыл7 ИА = = — р«/ЧР ~ т8 ( — р'бы+ — „( — "*. + —,' ) ~ л7 дА', (4.7.5) где единичный вектор ш определяет направление движения сферы, интегрирование выполняется по площади А сферы и 6А' = = 6А//».
непосредственно показывает, что безразмерный «коэффициент сопротивления» й/рс/88,» один и тот же для всех динамически подобных полей течения, соответствующих заданному значению числа Рейнольдса Ве. Поэтому модельные испытания позволяют получить величину искомого коэффициента сопротивления, если диапазон значений числа Рейнольдса Ве при испытаниях содержит то значение, которое соответствует оседанию частицы ила. Затем можно вычислить предельную скорость атой частицы, зная ее размер и плотность. Во-вторых, уравнения (4.7.3) и (4.7.4) в безразмерных переменных показывают, что для данной геометрической формы границы и данных начальных условий не существует больше одного бесконечного семейства различных решений в безразмер- 273 $8 — 0878 Гл, 4.
Равномерный поток вязкой несжяывемой жидкости ной форме, причем разные элементы семейства соответствуют разным значениям числа Рейнольдса. Другими словами, при данных граничных и начальных условиях влияние на поле течения изменения параметров р, Ь, (7 или )в или изменения нескольких из них одновременно может быть одноакачно описано путем последовательного изменения одного только числа Рейнольдса. Тот факт, что число Ве представляет собой параметр, который определяет поля течения для границ данной формы, был впервые установлен Стоксом (1851), однако после работы Рейнольдса (1883) о начале зарождения турбулентности при течении в трубах это число было названо числом Рейнольдса. Выражение (4.7.5) для силы сопротивления, действующей па движущееся тело, может быть представлено в общей форме — т,в =/(Ке), (4.7.6) которая справедлива для семейства полей течения с геометрически подобными граничными и начальными условиями.
Все другие безразмерные параметры течения тоже оказываются функциями только одного числа Рейнольдгл. Практические задачи в динамике вязкой жидкости часто сводятся к теоретическому или экспериментальному определению вида соответствующей неизвестной функции от числа Ве в некотором интервале его значений. Число Рейнольдса можно рассматривать также как некоторую оценку относительной важности снл вязкости и не связанных с влиянием вязкости сил, действующих на единицу объема жидкости, Уравнение движения (4.7.1) содержит в правой части силу давления — др/дх, и силу вязкости /вдви~/дх/дх/, а сумма двух этих сил со энакоы минус равна так называемой силе инерции — р)7и,/Ш Эти силы находятся в равновесии, и соотношение между ними можно определить с помощью отношения любых двух сил из трех.
Так как сила давления обычно играет пассивную роль, причем она возникает в жидкости в результате движений твердой границы или существования в жидкости касательных напряжений (хотя это и не так для течений, вызванных градиентом давления, таких, например, как течение Пуазейля), то общепринято характеризовать течение отношением величин силы инерции и силы вязкости. В любой точке жидкости это отношение равно ) рпи~/О/ / ~ //и</И' ! рдвив/дв/ дв/! ~ двив/дв) дв) ~ Таким образом, если каждая из производных Х>и~/Ш' и двив/дх/дх: представляет собой величину порядка единицы, что, по-видимому, так, когда поле течения достаточно простое, а Ь и П действительно являются его характерными параметрами (хотя в жидкости 274 4.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
