Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Жидкость качияает двигаться под влиянием вязкого яапряжепия па пластине, причем распределение скорости, как и в предыдущем примере, определяется уравнением ди дги — =т— д«дуз (4.3.9) с граничными условиями и(у, 0) =0 при у)0, и (О, «) = «/ при «) О. (4.3.10) и (у, 0) = — // при у ) О, и(0, «) =-0 при «)О зквивалентпы граяичным условиям для половины переходного слоя, который образуется из простого разрыва па общей границе двух потоков со скоростями — У, + «/, причем скорость при у = 0 все время равяа нулю вследствие аятисимметрии отпосительно оси у = О. Таким образом, решение исходной задачи (4.3.9) и (4,3.10) представляется в виде и(у, «)=«/ — Уег( (4.3.11) У4М качественные свойства етого решения можно объяснить, как и раньше.
Сила трения на единицу площади, развиваемая жидкостью яа пластике, равна убывание силы трения как «-'«з находится в соответствии с утол- щением области переменных скоростей. 245 Параметр // фактически можно исключить из задачи, используя в качестве независимой переменной отношение и/с/; далее, согласно анализу размерностей, мы можем заметить, что отношение и/// должно быть функцией только одной комбияации у/~ т«, как уже отмечалось раяее.
Однако пет необходимости производить расчеты, так как путем выбора яеподвижкых откосительпо плоскости осей координат задачу можно преобразовать так, что она совпадает с предыдущей. Теперь граничные условия Гл. 4. Рзвкомеркмй поток вязкой кесжвмвемой жидкости Твердая граница, внезапно приводимая в движение относительно другой неподвижной границы Пусть жидкость ограничена двумя твердыми плоскими грани- цами при у = 0 и у = гг, в начальный момент она иаходнтся в состоянии покоя, а ее движение, как и раньше, возникает в ре- зультате того, что нижняя граница мгновенно приобретает постоян- ную скорость У в своей плоскости, причем верхняя граница остается неподвижной.
Дифференциальным уравнением задача будет, как и раньше, уравнение (4.3.9) с граничными условиями и(о,г) =У, и(д,с) =О при 8)0, и (у, 0) = 0 при 0 ( у (» Ы. Поскольку в задачу входит размерный параметр Ы, отношение уф~те больше не является единственной безразмерной комбина- цией из имеющихся в нашем распоряжении параметров и нет оснований надеяться получить автомодельное решение. Подходящее решение уравнения (4.3.9) удобнее найти, введя сначала новую зависимую переменную и!(у, г)=П (1 — — ") — и, которая удовлетворяет тому же самому дифференциальному уравнению, но имеет однородные граничные условия при у = 0 и у = с(. Частное решение и!, которое удовлетворяет этим двум граничным условиям, имеет вид ехр ( — пзяз — "1 зш ез) в (4.3.12) при и целом. Теперь попытаемся удовлетворить условию для функции и! при г' = 0 посредством наложения семейства таких решений, т.
е. будем искать величины констант А„так, чтобы выполнялось равенство ~Я з в — ~ — ~ в) ° А„зш — = ю(у, 0) = 0 (1 — — ) . е=! Отсюда следует, что А„= — ) У ~1 — — ) з1п — Иу= —. (4.3ЛЗ) 2 Г I у ! . зкг 20 з — е)~е) о Таким образом, искомое распределение скорости определяетс! выражением ОЭ и(у г)=У(1 — ~) — — ~'. — ехр ! — язпз — '1з1п — ""г . (4.3.14) 246 4.3.
Неустановнвшееся течение одного направления л ~р ар пл йг (р и~9' Р и с. 4.3.2. Раеввтие яз состояния попов уставовивжмчмя течеивя между параллель- вммв плаатииами при вх стиосвтельяам Ввижевви. Форма полученного ряда Фурье отражает существующий разрыв функции и по у при у = О, когда г = О. Это решение в виде ряда не очень удобно для проведения вычислений при тг(( г)в, так как тогда ряд сходится очень медленно, н более подходящее для этого случая решение было найдено с помощью преобразования Лапласа в связи с аналогичной задачей теплопроводности в неподвижной среде. Профили скорости для различных значений п~/г(в ка рис.
4.3.2 показывают, каким образом влияние неподвижной верхней границы, вначале пренебрежимо малое, постепенно скаэывается на распространении изменений скорости. Как и следовало ожидать, скорость асимптотически стремится к величине, соответствующей установившемуся течению между двумя твердыми плоскостями в относительном движении (см. $4.2); в противоположность атому в предыдущем случае, в котором верхней границы не было, изменение скорости продолжает распространяться в невоэмущенной жидкости бесконечно долго. Скорость, с которой члены ряда в выражении (4.3.14) стремятся к нулю, растет с ростом и, и дольше всех сохраняется первый член (л = 1).
Как только этот первый член становится доминирующим, отклонение от асимптотического установившегося состояния затухает приблизительно по экспоненциальному закону с постоянной (епериодом полураспадав), равной угвр. 247 Гл. «. Раияоисриый поток вязкой и»сжимаемой жидкости Течение, вызываемое колебанием плоской границы Демпфирующее и сглаживающее действие, чрисущее процессу вязкой диффузии, ясно видно для течения, производимого плоской твердой границей, движущейся в своей плоскости с синусоццальным законом изменения скорости. Предположим, что верхняя половина плоскости (х, у) занята жидкостью, причем твердая граница совпадает с у = О и имеет скорость Усозпй На практике движение жидкости начинается из состояния покоя, и некоторое время после начала движения поле скорости находится в «переходном режиме» и зависит от начальных условий. Можно показать, что скорость жидкости постепенно становится гармонической функцией времени д нзменяющейся с такой же частотой, как и скорость границы, и здесь будет рассматриваться именно зто установившееся периодическое движение.
В соответствии со сказанным положим (4.3Л5) н (у ~) я(е'я«р (у)) где через Я обозначена действительная часть соответствующего комплексного выражения, причем комплексная форма записи используется только для удобства. Из (4.3.Я) находим уравнение «пг" = и —, ~РР ег» единственное решение которого, остающееся конечным при у — оо, имеет вид Р (у) = А ехр ( — (1+ 1) ~/ — у) . Для того чтобы скорость жндкости при у = О была равна скорости колеблющейся границы, нужно положить А = У; отсюда получим решение и(у, г)=Уехр ( — ~~ — "у) соз ~пг — ~ — "у~.
(4.3.16) Г я Этот профиль скорости можно назвать затухающей поперечной «волной», длина которой равна 2я (2ч/п)П», «распространяющейся» в направлении оси у с фазовой скоростью (2чп)П«и затуханием амплитуды колебаний по закону ехр ( — (п(2»)П» у). Способ, которым параметры п и ч входят в формулу длины волны и фазовой скорости, можно объяснить, заметив, что расстояние, на которое может распространиться изменение скорости за время г, имеет порядок (тг)п»; формулу затухания колебаний объяснить труднее, если не привлекать обычных рассуждений теории размерности. Отношение амплятуд колебаний в двух точках, расположенных друг от друга на расстоянии одной длины волны, т.
е. в двух соседних точках, в которых колебание происходит в одной 4.3. Неустеноевешеесп течеппе одного вапраелеквп фазе, равно е-еп(ж0,002), в, учитывая малость этого отношения, можно считать, что движение по существу ограничено «глубиной прониканияе, равной части длины волны, т. е. величиной порядка (ч~н)м«. Следует отметить, что благодаря линейности дифференциального уравненвя и граничных условий полученное выше решение можно применить для любой гармонической компоненты скорости твердой границы и использовать его для построения решения в случае более общего закона периодического движения твердой границы.
Решение (4.3.16) имеет и другве непосредственные првложения, такие, как суточное изменение температуры в верхних слоях почвы под влиянием солнечной радиации. Можно принять величину коэффициента термодиффуэви для почвы приблизительно равной 0,01 сме/сек; при этом длина волны суточного изменения температуры (температура на поверхности берется в виде простой гармоники по времени г) равна приблизительно одному метру в суточные изменения температуры будут очень малыми на глубинах такого порядка.
Кроме того, позже (в $5Л4) мы убедямся, что при некоторых условиях течение в окрестности поверхности твердого тела при его поступательных колебаниях криближекно описывается решением (4.3Л6) и что работа, совершаемая против сил трения за один период движения тела, может быть получена исходя из этого решения. Начало течения в трубе Наконец мы рассмотрим случай, в котором течение вызывается не движущейся границей, а приложенным градиентом давления.
Жидкость, сначала находящаяся в состоянии покоя в длинной трубе кругового поперечного сечения, приводится в движение за счет разности давлений на ее концах, приложенной мгновенно и затем поддерживаемой постоянной. Эта разность давлений немедленно порождает однородный градиент давления вдоль оси трубы, например — С, во всей жидкости, и, следовательно, уравнение, которому должна удовлетворять скорость и вдоль оси трубы, имеет вид (4.3.17) где величина г«постоянна. Граничные и начальные условия задачи и = 0 при г = а для всех г, и = 0 при г = 0 для 0 < г < а.
Уравнение (4.3Л7) можно сделать однородным, используя в качестве зависимой переменной отклонение скорости от ее Гк. 4. Рвввомеримй поток вявкой несжимаемой жидкости асимптотически установившегося эпачеяия, выражаемого формулой (4.2.5). С укааанной новой переменной в(г, д) = — (а* — тв) — и 4(в приходим к задаче дм двм ( дм в(а, г)=0, в(г, 0)= — 4(ав — г'). 4р Частное решение написанного уравнения, удовлетворяющее граничным условиям при г = а, есть .Г, (й„— "). р ~ — Ц вЂ” '.,'), где Уо — функция Бесселя первого рода пулевого порядка, а Մ— один из положительных корней уравкекия Го (Х) = О.
Используя полную систему этих частных решений, можно удовлетворить условию при д = О. Таким образом, в представляется рядом Фурье — Бесселя 1) в(г г) 4 Я А„то~А„—,) ехр ~ — 34 —,. ), (4.3.18) «=1 коаффициенты А„которого должны удовлетворять равенству Э ав — то= ')в' А„Х~ (Մ— ), «=1 из которого следует, что 1 А„=, ( Х(1 — хв)Уо(3 Х)ЙХ= Х,д ~1~1(««) о Ококчательно распределение скорости выражается формулой и(г, г) = — (а' — т') — — ~~~~~ в ехр ( — вв— 4(в и «йх~(х~) (4.3.19) Измевение скорости и поперек трубы пйведставлено па рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
