Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Установнвшаеся течение одного направления 'Таким образом, полная скорость диссипации в жидкости, заполняющей в данный момент отрезок круговой трубы длиной 1, равна Ыбваа рад 8р В случае, в котором среда в трубе представляет собой капельную жидкость и на обоих концах трубы действует атмосферное давление (как если бы жидкость поступала в трубу из мелкого открытого резервуара и вытекала из конца трубы), градиент давления вдоль трубы создается силой тяжести. Абсолютное давление е данном случае одно и то же на обоих ее концах и поэтому постоянно во всей жидкости, так что модифицированное давление равно — рух соз а и ар 6= — — =русева, ог (4.2.7) Течение в трубах ненругового поперечного сечения Аналогичные соотношения применимы к установившемуся течению в трубах с различными поперечными сечениями, хотя только в немногих частных случаях распределение скорости можно определить аналитически.
Рассаютрим, например, распределение скорости и= ~1 — — — — ); С га га ° 2р(Ь +с )~ Ьа са)' (4.2.8) оно является решением уравнения (4.2.4) и удовлетворяет граничным условиям течения в трубе эллиптического поперечного сечения с полуосями Ь и с. Чтобы найти распределение скорости в трубе прямоугольного поперечного сечения со сторонами у = ~ Ь, г = ~ с (пусть с Ь), заметим, что разность а Ь вЂ” га и — —— 2 представляет собой четную функцию как от у, так и от з, которая удовлетворяет уравнению Лапласа н равна нулю при у = Ч= Ь. Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье по у наа нвг Я А с)г — соз —; 2Ь 2Ь 235 где а — угол наклона трубы к направленной вниз вертикали.
Приведенное выше выражение для скорости диссипации в жидкости, занимающей отрезок трубы длиной 1, равно скорости, с которой та же масса жидкости теряет потенциальную энергию силы тяжести, как н должно быть. Гл. 4. Развоыерзый поток вязкой несжимаемой жидкоств коэффициенты А„можно найти из граничного условия при з =-рс. Такой метод решения подробно объяснен в рассматриваемой ниже задаче о малярной кисти (для краски), В обоих указанных случаях нетрудно определить связь между объемным потоком и градиентом давления.
Двумерное течение В данном случае основное уравнение есть очи б лг~ и (4.2.9) и можно без потери общности считать, что течение происходит между плоскостями у = О и у = с). Если две граничные плоскости твердые и движутся в направлении оси х со скоростями нуль и 77 соответственно, то искомое решение уравнения (4.2.9) имеет вид и = —.у(Ы вЂ” у)+ —. б Ув зр л ' (4.2АО) Когда две твердые плоскости неподвижны относительно друг друга, профиль скоростей параболический; когда же градиент давления 6 равен нулю, получается простое течение сдвига с линейным профилем скорости, причем каждый тонкий слой жидкости движется равномерно под действием равных и противоположных по знаку сил ва его обеих сторонах (рис. 4.2А). Очевидно, что можно наложить эти параболический и линейный профили также и в случае, в котором направления градиента давления и относительное движение двух плоскостей не параллельны, хотя тогда результирующее течение уже не будет двумерным.
Установившееся двумерное течение одного направления может также возникать, когда вязкая жидкость стекает по наклонной плоскости слоем постоянной толщины Ь. Граничное условие, которое необходимо удовлетворить на (плоской) свободной поверхности, состоит в том, чтобы касательное напряжение на ней обратилось в нуль (см. 5 3.3), т. е. было диЯу = О, Таким образом находится профиль скорости и = —,у(2й — у) 6 2Р (4.2А $) (имеющий такую же форму, как и для двумерного течения между двумя относительно неподвижными параллельными твердыми плоскостями, расположенными на расстоянии 2Й друг от друга), а 6 имеет значение (4.2.7). На практике может случиться так, что единственными известными величинами оказываются угол наклона границы и объемный расход ~) жидкости через плоскость, нормальную к течению, на единицу ширины атой плоскости; 4.2. Установившееся течение одного направления р в с.
1.3.1. Гстановммпееся двумерное течевме: о — под действием градиента дввлевня между двумя веподввжнымн твердыня плоснсстямн; 6 — вызванное ствссвтельным девженпсм двут твердыл плоскостей; ° — в слое ва наплавной плоснсств, вызванное дейегейем свлы тяжести. тогда из формулы (4.2.11) находим объемный расход Ойз ийу= 3 зр ' (4.2.12) Написанное выражение показывает, что силы тяжести и силы вязкости, действующие на слой будут уравновешиваться, если его толщина равна (ЗрД) 1/3 ( за ) 1/3 (4.2.13) Если объемный поток жидкости, стекающей с наклонной плоскости, внезапно изменится на малую величину 61',/, то толщина слоя увеличится на (И/3Щ)) б().
Пусть область перехода от одной толщины к другой перемещается вниз по плоскости, например со скоростью Г; тогда сравнение установившегося объемного потока на каждой стороне от области перехода в системе координат, движущейся со скоростью рг, показывает, что уи =щ или а(3 /зд ив (4.2 14) Модель малярной кисти Когда кисть, смоченная в краске, проводится по поверхности твердой стенки, некоторая часть краски снимается с кисти силой трения на твердой границе и остается в виде слоя за кистью, толщина которого вскоре становится постоянной под действием поверхностного натяжения. Определение количества краски, остающейся на стенке,— задача, имеющая практическое значение; полезно выяснить, как это количество зависит от свойств краски и кисти.
Рассматриваемая ниже модель кисти (которая не претендует на близость к реальности) дает грубое представление о процессе и дает еще один пример установившегося течения одного направления. Гх. 4. Ранноыериый поток нявкой несжимаемой жидкости Ляастими Р а с. 1.2.2. Схема надели мвляряаа кисти. Предположим, что кисть состоит из большого числа параллельных и равноотстоящих друг от друга тонких твердых пластин, которые совместно скользят по плоской стенке в направлении их линии контакта со стенкой вдоль оси х (рис.
4.2.2). Пространство между пластинами заполнено жидкостью, а так как пластины перемещаются вдоль стенки, то жидкость приводится в движение относительно этих пластин под действием касательного напряжения на стенке. Предположим прежде всего, что пластины имеют бесконечные размеры в направлениях осей х и з, так что результирующее движение представляет собой установившееся течение одного направления. В данном случае градиента давления нет, и уравнение движения имеет вид (4.2А5) Оси координат удобно связать с пластинами, тогда грапичные условия течения в канале между двумя соседними пластинами будут и=Оприу=Оиу=Ь, 0<песо, и =Упри 2=0, 0«у(Ь, где У вЂ” относительная скорость движения кисти и стенки.
Математически зта задача представляет собой хорошо известную краевую аадачу, и мы начнем с исследования решений с разделенными переменными '). Одно такое решение, удовлетворяющее однородным граничным условиям при у = 0 и у = Ь, определяется функциен и = зйн — р (АлЕ-яяг!Е С; ВлЕ МС) в которой и принимает целые значения. Появление больших скоростей при я-г- оо исключается физическими условиями задачи, '! см., например, сивгга!!! н. ч., Рсаг1ег зег!ее аае нсвидагт ча!ее Ргаыегве, мсогвм-н!н, 19и 1а твмяе тихонов А. н., свмарсииа А.
А., уравнения математате- снса физини, гсстехиеиат, м., 1953.— Ргс.!. 4.2. Установившееся теченне одного направления так что искомое решение должно иметь вид и = 'Я А„е он'ть зтп — """, о т (4.2Л6) если можно подобрать такие константы А„, которые позволяют удовлетворить оставшемуся условию при з = О. Из этого условия следует, что ь т О, и — четное, у А„= — зтп — тту = 4т/ Ь ~ Ь ( — и — нечетное лп и, следовательно, н (у з) р; е -ннтть зтв у 4тт ч-т 1 . ляу =я 21 л Ь » нечетное (4.2А7) о-) ~ ото*= —, т, —, о.ттитт 8ттье 1 яь вв о в ночешое и, следовательно, средняя толщина слоя, остающегося на стенке, равна 0,27 Ь.
Роль, которую играет расстояние между пластинами, очевидна. Вязкость жидкости не входит в выражение для толщины слоя, как и следовало ожидать от модели, в которой Результирующая сила вязкости, действующая на каждый элемент жидкости, равна нулю; на практике же важны все свойства краски вследствие того, что способ, которым краска покидает кисть, несомненно, по существу намного сложнее принятого здесь, а так'ке, возможно, и того, что связь между напряжением и скоростью деформации для краски не всегда имеет принятую здесь линейную форму.
239 Этот ряд, а также ряды, получаемые из него путем почленного дифференцирования по у или по з, сходятся при з.~ 0; если з =.— О, то ряд (4.2Л7) сходится, хотя, конечно, существует разрыв решения и при у = 0 и при у = Ь, и почленное дифференцирование не дает рядов, сходящихся при з = О. Этим распределением скорости можно теперь воспользоваться для получения оценки толщины слоя жидкости, который будет оставаться на стенке позади кисти, если предположить, что все пластины имеют заднюю кромку при одном и том же значении х. Будем считать, что жидкость занимает только пространство между пластинами, за исключением области вблизи стенки, где она притормаживается под действием трения на стенке, и предположим, что полученное выше распределение скорости справедливо до выходной кромки пластин.
Объемный расход жидкости, вытекающей из одного канала, есть ь ° Гл. 4. Равномерный поток вязкой яесжпиеемой жидкости Замечание об устойчивости Выводы нз этого параграфа (и из многих последующих) должны быть дополнены замечанием, что многие встречаемые на практике установившиеся течения одного направления при некоторых условиях оказываются неустойчивыми. Простое течение Пуазейля в действительности было первым полем течения, которое систеыатически используется для исследования явления гидродинамической неустойчивости.
Рейнольдс в 1883 г. установил экспериментально,что если объемный поток жидкости через трубу достаточно мал, то описанное выше поле течения реализуется, а случайные возмущения погашаются; однако при более высоких скоростях в потоке появляются перемежающиеся колебания, и в конце концов он превращается в неустановившееся и сильно нерегулярное течение (это явление называется турбулентностью). Условия, при которых различные установившиеся течения одного направления устойчивы и, следовательно, могут существовать на практике, во всех случаях точно неизвестны, хотя вообще верно то, что этн течения устойчивы для достаточно малых значений безразмерного параметра Ве = ПИт (числа Рейнольдса), где П и А— соответственно характерные скорость и поперечный размер рассматриваемого течения.
Рейнольдс оценил критическое значение этого параметра для течения Пуазейля (для которого с — диаметр трубы, а П вЂ” средняя скорость в ее поперечном сечении) величиной приблизительно 6400, что соответствует наблюдению установившегося течения воды при 20'С для значений (ГЬ, меньших 64 смз/сек. Таким образом, здесь, как и в других случаях, условия существования устойчивого установившегося течения таковы, что они встречаются в природе и в лаборатории, так что полученные выше решения имеют практическую ценность; в то же время необходимо знание свойств и турбулентного течения, которое возникает в условиях неустойчивости установившихся течений; однако этот вопрос в данной книге не рассматривается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
