Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В этих условиях из (3.5.12) следует равенство (3.5 13) в котором интегрирование выполняется при постоянной энтропии, а Св = ( — ) (3.5.14) есть функция только плотности р для данного Я. В таком случае выражение (3.5.4) в сочетании с равенством (3.5 13) показывает, что в установившемся изэнтропическом течении величина И= — , 'ч*+ ) —" (р+ Р (3.5.15) имеет одно и то же значение во всех точках линии тока. Теорема Бернулли в этой форме обычно используется в тех случаях, когда известна изэнтропическая зависимость ь(ежду давлением р и плотностью р для жидкости 1). Специальные 4ормы уяеоремы Бернулли ') В принитых условинх выражение (3.3.13) совпвпвзг с интзгрзлом Бсриулли (з), при. Вспснлым в примечании нв стр.
203. Взличиив Н зпссь рввив нснсчзнуз Бернулли С в пврвмсгр с есть скорость звувв в газе (см. $ 3.3, сгр. 2! 7).— Прим. рзд. 211 Выпишем здесь для последующих ссылок некоторые частные следствия из теоремы Бернулли в важных случаях, в которых жидкость 1) несжнмаема, 2) представляет собой совершенный газ нлн 3) движется установившимся образом относительно стационарно вращающихся осей. На плотность элемента несжимаемой жидкости изменения только одного давления влияния не оказывают ($2.2).
Внутренняя энергия элемента может изменяться только путем подвода тепла или же при совершении работы против сил внутреннего трения, а при отсутствии этих явлений, как в изэнтропическом З.о. Теорема Бернулли для установившегося течения массы жидкости действует дополнительная массовая сила, определяемая выражением (3.2.10). Кориолисова сила имеет нулевую компоненту в направлении вектора и; центробежную силу можно написать в виде градиента: — Я Х (Я Х х) = — р (Я х х)'.
1 2 Следовательно, рассуждение, приводящее к (3.5.3) и (3.5.4), применимо и в случае установившегося движения по отношению к вращающейся с постоянной угловой скоростью системе координат, если в выражение потенциала массовой силы Ч' включить член — (1/2) (Я Х х)з, вызываемый центробежной силой. Случаи течений, которые являются неустановившиыися в абсолютной системе координат, но оказываются установившимися во вращающейся системе и к которым поэтому можно применить теорему Бернулли, часто встречаются в связи с различными турбомашинами.
Отметим, кроме того, что для изэнтропического установившегося течения во вращающейся с постоянной угловой скоростью системе координат, помимо отмеченного выше изменения Ч", в левую часть уравнения движения (3.5.7) входит добавочный член, — 2Я Х и, определяющий кориолисову силу.
Таким образом, в важном случае гомоэнтропического течения вместо (3.5.9) получим уравнение 17Н = и Х (ы + 2Я), (3.5.20) где и и ы — скорость и завихренность относительно вращающейся системы координат, а потенциал массовой силы Ч', входящий в выражение для Н, содержит слагаемое от центробежной силы. Сумма ю + 2Я в уравнении (3.5.20) равна локальной завихрепности жидкостк по отношению к абсолютной системе координат, и если она всюду равна нулю, то величина Н постоянна во всей жидкости, так же как в установившемся течении в неподвижной системе координат. Сохранение величины Н лри пересечении области перехода в одномерном установившемся течении Отметим теперь важный результат, который выходит за пределы условий теоремы Бернулли, но который используется вместе с ней при рассмотрении ударных волн и других областей быстрого изменения параметров потока.
Если течение установившееся и одномерное (все параметры — функции только одной скалярной координаты х, а вектор скорости и всюду параллелен оси х), то полное уравнение энергии (3.5.3) записывается в форме Р рл Ри д д (зрид )+д ((с д ), (3.5.21) ВН дН д 4 ди ~ д ду 213 Гл. 3. Уравнения движения жядкостя а уравнение сохранения массы принимает вид †, (ри) =О, д Интегрирование уравнения (3.5.21) между двумя точками х, и хв дает Ри[Н[! [ 3 Ри д +Й д 1[ ' (3.5.22) Из выражения (3.5.22) видно, что даже если жидкость вязкая и теплопроводная, то величина Н имеет одно и то же значение в любых двух точках течения, в котором градиенты скорости и и температуры Т обращаются в нуль; хотя в данном случае величина Н изменяется вдоль линии тока, ее увеличение и уменьшение на различных частях линии тока, обусловленные силами вязкости и теплопроводностью, взаимно компенсируются во всей области, ограниченной этими двумя точками.
Смысл этого результата раскрывается при его приложении к двумерным и трехмерным установившимся течениям жидкости, когда р и Й малы и когда существует тонкий слой перехода, внутри которого параметры течения резко изменяются. Нам нет необходимости входить в детали этого вопроса, а будет вполне достаточно краткого изложения. Для некоторых тонких слоев перехода течение вблизи слоя можно считать локально одномерным и параметры течения рассматривать как локально однородные на каждый из двух сторон слоя. Вне слоя, где градиенты скорости и температуры невелики, теорема Бернулли приближенно справедлива, а поперек слоя не происходит никакого результирующего изменения в величине Н, как было показано вьппе, несмотря на то что внутри слоя возможны большие градиенты и заметные эффекты вязкости и теплопроводности.
Ганям образом, величина Н имеет одно и то же значение во всех точках линии тока, за исключением только расположенных внутри самого слоя перехода. Отметим, однако, что энтропия Я не имеет одно и то же значение на обеих сторонах слоя перехода, так как из уравнения (3.4.11) следует, что в установившемся одномерном течении т дл )[ +Г~ ~[ т + т +т (а ) )'[х; (3.5.23) член с интегралом обязательно отличен от нуля и отражает возрастание энтропии на единицу массы при переходе через слой в направлении течения. Если ударная волна не слабая (т. е. отношения давлений, плотностей или скоростей среды по обе стороны от ударной волны значительно отличаются от единицы), то ширина слоя перехода, образующего ударную волну, может быть такой малой, что «ньюто- 214 3.6.
Ползая система ураииеиий дзижеиия жидкости новскне» выражения для вязкого напряжения и теплового потока, использованные выше, становятся недействительными, Однако правая часть уравнения (3.5.21) дивергентна, и независимо от свойств молекулярных потоков количества движения и тепла внутри слоя перехода равенство Н(х~) = Н(хт) все еще справедлвво, если, конечно, напряжение и поток тепла обращаются в нуль в крайних точкат х, и хз, подобно тому, как они обращаются в нуль в том случае, когда точки х, н хз расположены в приближенно однородных областях по обе стороны от ударной волны.
3.6. Полная система уравнений двюкения жидкости Полезно свести воедино различные уравнения, которые, как было показано, определяют движение однородной по составу ньютоновой жидкости. Было установлено, что закон сохранения массы жидкости (см. (2.2.3)) требует, чтобы выполнялось уравнение — — +Ч в=О. 1 Ор р Р! (3.6 1) Ускорение жидкости, создаваемое различными действующими на нее силами, определяется уравнением движения (3.3.12) Рбу=рг~ з + з (2Р(св з )~* (3.6.2) в котором еп — тензор скоростей деформации, определяемый формулой (2.3.3), и Ь = ем = Ч в. Расс»ютренне взаимного перехода внутренней энергии и других видов энергии жидкости приводит к соотношению (3.4.11) (замети»6 что в данном случае влияние объемной вязкости не учитывается) Т вЂ” ср — — — в Ф+ — — (й — ), (3.6.3) юл Вт бт пр 1 д с дт» П1 Э ЮС р И Эк~ ( зе~ ~ ° где функция Ф, определяемая выражением (3.4.5), есть скорость диссипации механической энергии на единицу массы жидкости, обусловленная вязкостью жидкости при сдвиге, а р 1 (эР) — коэффициент теплового расширения жидкости.
Коэффициенты молекулярного переноса р и й в уравнениях (3.6.2) н (3.6.3) представляют собой функции локального состояния жидкости, вид которых можно считать известным из предварительных исследований рассматриваемой жидкости (см. 3 1.7 215 Гл. 3. Уравнения дзажеакя жидкости и 1.8). В качестве параметров состояния удобно выбрать р и Т, тогда можно положить и=р(р,т), й=й(р,Т). (3.6.4) Две величины ер и () в уравнении (3.6.3) также являются функциями локального состояния, вид которых можно установить из предварительных наблюдений.
Уравнения (3.6 1), (3.6.2) и (3.6.3) содержат скорость и, плотность р, давление р и температуру Т в качестве неизвестных зависимых переменных, и, чтобы сделать возможным определение поля течения, необходимо еще одно скалярное уравнение. Этим добавочным соотношением является уравнение состояния жидкости (з 1,5), которое в общем виде может быть записано как ~(р,р, Т)=О. (3.6.5) Конкретный вид уравнения состояния связан с природой той или иной жидкости. Иээнтролическое течение Поля течения, в которых нет эффектов молекулярного пере- носа, образуют важный специальный случай, на который постоянно ссылаются в теоретической гидродинамике.
Поэтому временно положим, что в приведенных выше уравнениях величины р н к равны нулю, не зная пока еще условий, при которых это может быть подходящим приближением. Уравнение (3.6.3) показывает, что в этих условиях (ВЯ(хИ) = О, и, как отмечалось в $3.5, тогда говорят, что течение является изэнтропическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
