Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Это выражение для г(гг было выведено Сен-Венаном (1843) и Стоксом (1845) по существу изложенным выше способом, после того как оно было получено Навье (1822) и Пуассоном (1829), исходя из специальных предположений относительно молекулярного механизма внутреннего трения. Для иэотропных упругих тел существует аналогичное линейное соотношение между напряжениями и деформациями. Ч В бопьжянстве изложений механяки жидксстя прняимаетсл беа докааательсгва, что девяатор иапряжеияй не может возникать при чистом нраженпи, независимо от строения жидкостя, просто ясходя пз соображення, что тогда жпвкссть не дееормяргетсл: однако талое соображение не имеет снлм строгого докавательства. 190 выпадает из равенства (3.3.5), и тогда г(ц = 2Реы + Р"бг1Л, (3.3.7) где Ь вЂ” скорость объемного расширения, А=еле = Ч к, как и в главе 2.
Это выражение для тензора с(г1 в случае иэотропной жидкости можно вывести из формулы (3.3.5) другим способом, не используя явно тождество (3.3.6). Рассмотрим сначала жидкость, совершающую чистое вращение. Из формулы (3.3.5) следует, что изменение направления вектора ю на противоположное приводит к изменению знака всех компонент девиатора напряжений, что невозможно в иаотропной жидкости, так как эта операция равносильна сохранению фиксированного направления вектора ез и выбору другой ориентации осей (замене направлений хг на противоположные); следовательно, тензор Аггаг должен иметь такую форму, чтобы член с ю в равенстве (3.3.5) обращался тождественно в нуль ').
Далее, для чисто деформационного движения можно утверждать, что поскольку свойства жидкости одинаковы в любом направлении, то главные оси тензора с)гг должны определяться тензором ег г и, следовательно, совпадать с главными осями последнего; формула же (3.3.7) является единственно возможным линейным соотношением между тензорами с(гр и е,п удовлетворяющим этому условию. Наконец вспомним, что по определению тензор г(г1 не дает добавка к среднему нормальному напряжению, поэтому равенство г(гг — — (2р + Зр") Ь = 0 З.З.
Выражение дия тенвора напряжений Следует отметить, что при сферически симметричном деформационном движении, для которого еы = (1/3) бабья девиатор напряжений равен нулю. Это простое следствие сферической симметрии движения и нашего определения тенаора Ыы как отклонения полного тензора напряжений от изотропного. Возникает вопрос: имеются ли какие-нибудь неравновесные эффекты при изотропном расширении? Ответ состоит в том, что такие эффекты возможны, хотя они только в редких случаях имеют какое-либо значение, и что они учитываются в нашем анализе величиной р, определяемой как среднее нормальное напряжение во всех случаях. Влияние на среднее нормальное напряжение отклонения от равновесия лри изотропном расширении рассмотрено в следующем параграфа. Значение параметра )г, который зависит от локального состояния жидкости, можно оценить по формулам, получающимся из равенства (3.3.9) в случае простого движения сдвига.
Если ди,/длг — единственная отличная от нуля производная скорости, то все компоненты тензора Иы равны нулю, за исключением касательного напряжения ди1 Аг="гг=)г —. двв (3.3 10) 191 Таквм образом, )г есть коэффициент пропорциональности между скоростью сдвига и касательной компонентой силы на единицу площади, когда плоские слои жидкости скользят относительно друг друга; он уже был введен в формуле (1.6.15) и назван коэффициентом влдяосяги жидкости.
Тот факт, что )г — единственная скалярная постоянная, необходнмая в приведенном вылив общем выражении для д,п связан е полученным в $2.3 результатом, что относительное движение общего вида вблизи любой точки можно представить как наложение двух простых движений сдвига, каждое нз которых порождает касательное напряжение, определяемое коэффициентом )г и соответствующим градиентом скорости, а также квазитвердого вращения и изотропного расширения; ни одно из этих последних слагаемых не оказывает какого-либо влияния (в изотропной жидкости) на неизотропную часть тенаора напряжения; итак, выражение (3.3.9) можно, конечно, рассматривать как единственное возможное линейное тензорное соотношение, содержащее один скалярный параметр, между тензором еы и симметричным тензором И,п сумма диагональных элементов которого равна нулю.
На основании многочисленных опытов известно, что сила, действующая между слоями жидкости при их относительном скольжении, всегда есть сила трения, противодействующая относительному движению, чему соответствует 9) О, как и ожидалось, исходя из того, что молекулярный перенос количества движения, происходящий в результате случайного движения или располо- Гв.
3. Уравнения движения жидкости жения молекул жидкости, стремится сгладить любые пространственные неоднородности в распределении средней скорости независимо от ыеханизма переноса. Кроме того, формула (3.3.9) показывает, что положительное значение р соответствует также таким знакам главных напряжений, возникающих от Иц, чтобы противодействовать главным скоростям деформаций (ср. обсуждение в $ 1.7 реакции газа при сжатии его поршнем); так, например, малая жидкая сфера, по мере ее деформации в эллипсоид, действует на окружающую жидкость силами трения, нормальная компонента которых направлена вовне (внутрь) эллипсоида в тех местах его поверхности, где она смещается внутрь (вовне) относительно сферы одинакового с эллипсоидом объема.
Эксперименты с различными жидкостями и полями течений показывают, что приведенное выше линейное соотношение между скоростью деформации и неизотропной частью тензора напряжений может оставаться справедливым в исключительно широком диапазоне значений скорости деформации.
Наблюдения потока жидкости в круглой трубе малого радиуса при наличии перепада давления на ее концах (см. $4.2) особенно подходят для этой цели. Хотя исключение всех членов, кроме линейного по градиентам скоростей в правой части исходного выражения (3.3.4), было проведено исключительно в виде гипотезы, которая, казалось бы, может годиться только для малых градиентов скорости, из наблюдений следует, что эти «малыев градиенты скорости включают и те значения, которые обычно встречаются на практике.
Для воды и для большинства газов линейный закон, по-видимому, выполняется весьма точно при всех условиях, за исключением, возможно, самых крайних, таких, как в ударной волне. Жидкости, длн которых линейное соотношение (3.3.9) выполняется точно, обычно называются ньютоновыми зсидкостллси (в ознаменование факта, что простая формула (3.3.10) для движения сдвига была предложена Ньютоном).
Для жидкостей со сложной молекулярной структурой и, в частности, с длинными линейными молекулами, а также для некоторых эмульсий и смесей выражение девиатора напряжений (3.3.9) может нарушаться при весьма умеренных скоростях деформации; для некоторых же жидкостей типа каучука напряжение, очевидно, зависит от истории деформации, а также и от мгновенной скорости деформации. Мало известно о том, как следует изменить выражение (3.3.9) для таких жидкостей. Инженеры-химики часто встречаются с жидкостями, которые при обычных рабочих условиях проявляют неньютоновы свойства, однако, несмотря на промышленное значение неньютоновых жидкостей, мы не можем уделить им внимания. Тот факт, что линейноесоотношение между девиатором напряжений и тензором скоростей деформации выполняется в большом диапазоне скоростей деформации для многих жидкостей, стано- 192 3.3.
Выраженне для тенаора напряжений вится понятным, если рассмотреть молекулярный механизм внутреннего трения. Относительное движение яащкости в целом может выаывать только малые изменения статистических свойств молекулярного движения, если характерное время движения, т.
е. величина, обратная характерной скорости деформации, велико по сравнению с характерным временем молекулярного движения (которое в случае газа определяется средним временем между столкновениями молекул). Это и есть условия, при выполнении которых можно ожидать, что физические предположения, используемые при выводе соотношения (3.3.9), будут справедливы.
Для воадуха при нормальных температуре и давлении среднее время между столкновениями составляет приблизительно 10 'а сек, так что по крайней мере для газов очевидно, что обычно встречающиеся на практике значения скорости деформации в самом деле «малы» в указанном вьппе смысле. Для капельных жидкостей нельзя так просто оценить характерное время молекулярного движения, однако любое время, связанное с молекулярным движением, по-видимому, чрезвычайно мало по сравнению с обратной величиной обычных значений скоростей деформации. Типичные аначения вязкости газов и жидкостей прн различных условиях уже обсуждались в $1.7 и 1.8, а наблюдаемые значения коэффициента р для воздуха, воды и некоторых других обычных жидкостей приведены в приложении 1. Для воздуха при нормальных температуре и давлении (г = 0,00018 г/см сек, а для воды р = 0,011 г/см сек. Ни в одном из зтих случаев )г не изменяется заметно с изменением давления, но для воадуха )г возрастает с температурой вблизи ее нормальных значений со скоростью приблизительно 0,3% на 1 'С; для воды )г убывает с температурой со скоростью около 3% на 1 'С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
