Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 46
Текст из файла (страница 46)
для частного случая несжимаемой жидкости. Другой вывод теоремы начинается с прямого вычисления баланса энергии невязкой и нетеплопроводной жидкости, текущей вдоль трубки тока малого поперечного сечения. Если величины д, р, Е, р и Ч' представляют собой значения соответствующих величин в том месте трубки тока, где ее поперечное сечение равно 6А, то скорость, с которой энергия жидкости (включая обычную потенциальную энергию, связанную с полем внешних массовых сил) переносится через зто поперечное сечение, равна ( — 7з + Е+ Ч') дрбА; скорость же, с которой нормальная поверхностная сила совершает работу в этом поперечном сечении, есть рдбА.
Гд. 3, Уравнения движения жидкости поперечном сечении, должно полностью компенсироваться теми же величинами в другом поперечном сечении. Таким образом, величина ( ~ я'+Е+ ~ +Чу) дрбА постоянна вдоль трубки тока, а поскольку поток массы дрбА также постоянен, то из написанного выражения очевидно следует теорема Бернулли. Выше было установлено, что конкретные свойства жидкости, достаточные для справедливости теоремы Бернулли,— нулевые значения коэффициентов вязкости р и теплопроводности Й— имеют значение для скорости изменения энтропии элемента жидкости.
Часто говорят, что необходимым условием для выполнения теоремы Бернулли является полное отсутствие процессов, изменяющих энтропию. Вообще это нестрого 1), так как запаздывание в установлении механического давления р по отношению к изменению внутренней энергии представляет собой процесс с возрастанием энтропии (со скоростью, определяемой членом выражения (3.4.11), содержащим коэффициент вязкости расширения м), который тем не 5(енее не приводит к изменению величины Н вдоль линии тока в установившемся течении.
Однако редко бывает так, что вязкостью сдвига и теплопроводностью жидкости можно пренебречь, учитывая в то же время вязкость расширения, и для практических целей мы можем утверждать, что теорема Бернулли справедлива тогда и только тогда, когда течение изэктропическое (т. е. РБ(РЗ = О) и установившееся. *) это утверждение нестрого и по более аушеатвевным прячииам. Автор выводит «теорему Бернулли», т. е. заключение о постоянстве Н (3.5.4) вдоль ливии тока, как еледетвве >раэнения «вертим (3.5.3) для невяакой (в О, з О) н негеплопроеадпай (Ь = О) жидкости. Однако такой вывод обедняет еодержапие теоремы Бернулчи. Обычно ана эызадитая иначе, как интеграл уравнений уетановиоюегоея движения (и поатому иазываетая пе теоремой, а интегралом) и в более слабых преддоложенлях, а именно: результирующая еил трейия, дейагвующих ва элемент нащнаати, равна нулю (но аамв евлм трения могут еушеетаозать) и движение яащкаати баразвроюю, т.
е. имеетая однозначная чавиекмееть р = р (р). Тогда таким же иутеи, нан ато вделано в кинге для неажимаемой жидкости (еи. 6 6.3) вли вепоередетвевно из ураввеввя (3.5.7) получаегея ккжмрал Б«рнрлли (аналогичный интегралу жявых авл в динамвке точки)1 — + ( — + 'У= С =вол«1 ез " др д \ р (е) вдоль линий тока и вихревьш линий (вли во веем потоке, если в х м 6). интеграл Бернулли, вообще говоря, не зависит ат уравнения энергии, хати дейетвительно завладает е вим для изэвтропичеекого и абаабазвач««вага движения завершенного газа и тогда константа Бернулли С резва зеличяне полной зиергви Н е (3.5.4) и одновременно в (3.5.15).
Раюзичме между велачинами С и Н проявляется в некоторых епедиальных елучаях, правда, выходящвх эа рамка раоаматрения в 6 3.5. Велячину Н нельзя назвать конетавтоай Бернулли, так кан оиа может быть поотояннай за счет пЬдаада тепла (по еушеагву тамаз случай рааематризаегея в конде 6 3.5) плн за ечетпейетвия вешненпизльной маееавой силы, причем, конечно, велячнна С не еахраияетея. С другой азаровы, е Олучае течения вязкой нжжимаемой жкдкаази при О х м О (н, в частности, при м = О, т. е.
в потеядизльном патоке вязкой жидкости) а уравнении дэижения (3.3.14) поеледйнй член, завиеяший от эяэкаетн, согласна (3.3.16) равен нулю, поэтому ийтчграл Бернулли («) еушеатзует, хотя еяакие напряжения не равны нулю, диеандадия иеханнчееной энергии происходит, к величине Н вдоль линий тока вазраетает. Уравнение анергии (3.5,3) в этом случае имеет аамаетоятедьное значение, и д> пего (павле решения двнамичеакой задачи) можно определить раепределеняе температуры Г.— Приз«.
р«6. 208 З.о. Теорема Бернулли для установившегося течении Величина Н, определяемая выражением (3.5.4), также есть функция координат, и равенство (3.5.5) можно записать в другой форме: ЧН = ТЧБ+ Ч (++ Ч') + — Чр. (3.5.6) Это весьма общее соотношение, если не считать предположения, что Г = — ЧЧ'. Далее, если течение установившееся и нзэнтропическое, то уравнение движения (3.3.12) сводится к уравнению рп Ч м = — РЧЧг — Чр, которое с помощью векторного тождества и Х (Ч Х и) = —,Чдз — и Чп 2 может быть переписано в виде в хе =Ч ( — () +Ч) + — Чр (3.5.7) Тогда подстановка его в правую часть выражения (3.5.6) дает уравнение ЧН = ТЧЕ + н х е, (3.5.8) полученное Крокко (1937) 2). Из этого уравнения видно, что «) Это такое еоетояние, ноторое в прияпипе можно получать преем мгновенной изолнпяя елемента и предоогавлевяя ему возможноегя прийти в еоетояиие равновеевя адиабатичееки и без повержения работы.
° ) Уравкекие движения в аиергетичеекой форме (3.9.8) иыеегея в книге А. А. Фридмана «Опыт гятромехаиики ежямаемой жидкоети», ОНТИ, М.— Л., 1934, етр. (93 и 239, повтоыу его еледуег называть уравнением Фридмана — Крокко. Отметим одновремеяно, что уравнение (3.3.7) ееть частный елучай (пра дп/д( = 9 и р = — ЧФ) уравнеаий Эйлера в верне Громекн — пемба.— При». р»д.
209 (4 — 9872 Однако ничего еще не было сказано о том, как изменяется постоянная Н при переходе от одной линии тока к другой в установившемся изэнтропическом течении; болев того, нельзя было и рассчитывать на получение каких-либо сведений об этом, поскольку значение Н для каждой линии тока должно зависеть от того, каким образом возникло течение. Самое большое, на что мы можем надеяться,— это установить определенные зависимости между изменениями величины Н и энтропии Я поперек линий тока. Если жидкость всюду имеет один и тот же состав, то каждый элемент жидкости имеет некоторое равновесное состояние 3), определяемое однозначно двумя независимыми переменными, в качестве которых в данном случае мы возьмем внутреннюю энергию Е и плотность р.
Тогда разность между значениями энтропии Я двух элементов в любой момент времени связана соотношением (1.5.8) с соответствующими им значениями внутренней энергии Е и плотности р, поэтому в любой точке жидкости ТЧЕ = ЧЕ + рЧ (1!р). (3.5.5) Гл. 3. Урввяеявя дввжевяя жвдяостя постоянство обеих величин Н и Ю поперек линий тока, как и вдоль них, в установившемся изэнтропическом течении возможно только в том случае, когда всюду или ю = О (т. е. в безвихревом течении), нли — что значительно менее вероятно — если векторы и и ег всюду параллельны. Подобно тому как поле течения, в котором энтропия Я постоянна во всей жидкости, называлось гомоэнтропическим (т 3.4), так и поле течения, в котором энергия Н постоянна во всей жидкости, может быть названо гемогнгрггтичггким.
Установившееся течение невязкой и нетеплопроводной жидкости в зависимости от условий может быть гомоэнтропическим или гомоэнергетическим, тем и другим одновременно или негомоэнтропическим и негомоэнергетическим. Уравнение (3.5.8) показывает, что в случае установившегося гомоэнтропического течения всюду в потоке т1Н = и х ге. (3.5.9) Поэтому в данном случае величина Н постоянна также и вдоль вихревых линий, и поверхности уровня Н совпадают с пересекающимися семействами линий тока и вихревых линий. Если, кроме того, распределение скоростей безвихревое, то величина Н имеет одно и то же значение всюду в жидкости.
Отметим теперь еще две формы теоремы Бернулли. В $1.5 была введена термодинамическая функция 1, определяемая выражением 1=Е -'- — ' е и она была названа энтальпией или теплосодержанием единицы массы жидкости. Следовательно, величина Н, постоянная вдоль линий тока в установившемся изэнтропическом потоке, может быть написана в виде Н= 1 де+ 1+Ч.
(3.5 10) В течениях газа изменения потенциальной энергии Ч' часто значительно меньше, чем изменения величин (1/2)ег и 1, и тогда приближенный вариант теоремы Бернулли состоит в том, что величина (3.5.11) Н= —, де+1 2 постоянна вдоль линии тока. В указанных условиях постоянную Н для какой-либо одной линии тока можно рассматривать как гптальпию торможения, т. е. как величину энтальпии в той точке на линии тока, где д = О, или, когда такой точки пе существует, как то значение, которое принимала бы энтальпия любого 210 З.о. Теорема Бернулли аля установившегося течения элемента жидкости на линии тока, если бы он изэнтропически был приведен в состояние покоя.
Другая форма теоремы Бернулли, в которую термодинав(ическая функция Е не входит явно и которая содержит только механические величины, может быть получена с использованием второго закона термодинамики (см. (1.5.8)) в виде () ( р ( ьго 1 згр — (Е+ — ) =Т вЂ” + — —. ))( ( р) ()1 Р ()1' Давление можно считать функцией двух параметров состояния р и Я, и поскольку в изэнтропическом течении (Ро(Р() = О, то из этого следует, что изменения давления р любого элемента жидкости в данном случае полностью определяются изменениями его плотности р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
