Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Действительно, в конце $1.7 мы уже видели, как может появиться аапаздывание в установлении механического давления совершенного газа из многоатомных молекул. В таком газе среднее нормальное напряжение пропорционально энергии поступательного движения молекул, в то время как внутренняя энергия включает также энергию вращательных и (если температура достаточно высока) колебательных форм движения молекул; запаздывание в установлении (в процессе столкновения молекул) равного распределения энергии между различными формами движения молекул для данных значений внутренней энергии Е и плотности р приводит к большой по сравнению с равновесной величине среднего нормального напряжения, когда газ сжимается, т.
е. к положительному значению х. Кроме того, поскольку величвна (1/3) рпз (где и, как в $1.7, скорость молекулы) равна среднему нормальному напряжению в совершенном газе, как в состоянии равновесия, так и в неравновесном состоянии, а величина (у — 1) рЕ равна равновесному нормальному напряжению в зависимости от р и Е, мы видим, что соотношение (1.7.32) есть просто разновидность равенства (3.4.8) для совершенного газа; из этого следует, что для такого газа из многоатомных молекул, вращательные формы движения которых обладают временем релаксации порядка нескольких интервалов столкновения и вносят существенный 203 Гл. 3.
Уравипиия движения жидкости вклад в величину внутренней энергии, отношение )г/к должно быть постоянной величиной порядка единицы. Исследования затухания звуковых волн достаточно высокой частоты в некоторых двухатомных газах подтвердили точность линейного соотношения (3.4.8) н дали значения отношения )в/к порядка единицы.
Однако для более высоких частот (например, выше 101 гц в азоте при стандартных условиях) линейная зависимость р — р, от гд нарушается. При условиях, в которых колебательные формы движения молекул делают заметный вклад в величину внутренней энергии газа, равенство (3.4.8) обычно неточно вследствие очень большого времени релаксации для этих форм их движения. В этих случаях требуется другая теория, которая до некоторой степени учитывает историю движения 1). О пригодности линейного соотношения (3.4.8) и о величине ы в жидкостях имеется мало сведений. Скорости относительного объемного расширения в подавляющем большинстве течений много меньше скоростей сдвига по той очевидной причине, что изменения среднего нормального напряжения, сопровождающиеся изменением объема, оказываются значительно больше типичного касательного напряжения.
Следовательно, условия, в которых вяакость при расширении жидкости играет важную роль, редки, причем большей частью они ограничиваются исследованиями затухания высокочастотных звуковых волн и структуры ударных волн. В атой книге у нас не будет другого случая обратиться к объемной вязкости, кроме обсуждения свойств жидкости, содержащей малые газовые пузырьки в суспензии Я 4 11), и в дальнейшем давления р и р, будут считаться одинаковыми без дополнительных пояснений.
Наконец, приведем выражение для скорости относительного изменения Энтропии на единицу массы жидкости в ее элементе. Соотношения (1.5.20) между различными переменными, описывающими изменение состояния среды, дают т — = — +р, РЯ РК Р (1/р) РТ бТ Ррс Р1 Рг ' Рг и Рг р Р1 ' = ср — — — — '. (3.4 10) Используя уравнение сохранения энергии (3.4.4) и уравнение сохранения массы, можно получить РЯ РТ бТ Рр и!Ьт 1 !д 1 дТ У вЂ” =ср — — — — ' —— — +Ф+ — — ~/г — ); (3.4.11) р Р)ии р р дл1 1 длг / ' это уравнение — аналог уравнения (1.6.10) для движущейся жидкости, и оно является более общим, чем уравнение (3.1.18). ') Такая теория впервые была при)попеле Мвксвеллои и опислпв Леатдиллои (ЫвюЫП М.
Л., у)гсов!!у енсе!в 1л игопб иегев о1 ил!те ыпрквобе, в сборпике Зжгеув )п месьвп)св под род. Вегсье!ог о. к., пет1ев к. м., сыоьг!бде ппжегв!!у рееве, 1999). 204 3.5. Теорема Бернулли для устаноииашетося течения Все последние члены в правой части уравнения (3.4. И) связаны с явлениями молекулярного переноса. Имеется много течений, в которых, как будет показано, эффектами молекулярного переноса можно пренебречь, и тогда (3.4Л2) Течения этого вида, в которых энтропия элемента жидкости постоянна, называются иээнтролическими. Другой полезный, еще не общепринятый термин — гомоэнтроличгског течение означает, что энтропия Я на единицу массы постоянна по всей жидкости.
3.5. Теорема Бернулли для установившегося течения невязкой и нетеплопроводной жидкости Уравнение движения материальной точки массы тл, движущейся под действием силы, которая представляет собой функцию только от координат вида — т17«Р, дается соотношением «Ь ' Л'(а) Й Й где 3 (1) — радиус-вектор точки, а з (1) — ее скорость. Это соот- ношение можно проинтегрировать и найти «интеграл энергии» вЂ” в' -'; Ч' (а) =- сопи«; 1 2 потенциал силы Ч" в этом равенстве определяется как «потенциальная энергия» на единицу массы точки. Условия существования интеграла такого типа состоят в том, что сила, под действием которой движется точка единичной массы, равна пространственному градиенту скалярной функции — Ч' и одновременно функция Чт зависит только от координат. Второе требование так часто встречается в динамике точки, что оно обычно принимается как должное.
При определенных условиях существует аналогичный интеграл энергии для отдельных элементов жидкости. Полная действительная энергия (такое название подчеркивает отсутствие в ней потенциальной энергии) яа единицу массы элемента жидкости, движущегося со скоростью н, представляет собой сумму кинетической анергни (1(2) и» движения элемента как целого и его внутренней энергии Е. Эта полная энергия может изменяться в результате работы, производимой объемными и поверхностными силами, действующими на элемент, и в результате переноса тепла (предполагается, что этот перенос происходит только за счет теплопроводности) через поверхность, ограничивающую элемент, и, как 205 Гл.
3. уравнения движения жидкости показано в 3 3.4, Если массовую силу на едвпицу массы (и) можно представить в форме — ~7Ч' и если Ч~ — функция только координат, а не времени, то можно написать дЧ ВЧ и~У~ = — и~ — = —— дар 08 и рассматривать Ч' как «потенциальную энергию» поля массовых сил. Далее, хотя давление действует как нормальное напряжение на поверхность, ограничивающую элемент жидкости, результирующая сила давления на элемент оказывается такой же, как массовая сила на единицу объема, равная — Ч7р.
Это свидетельствует о том, что при определенных условиях давление может играть роль потенциальной энергии, поскольку речь идет об интегрировании дифференциального уравнения (3.5Л). В правой части уравнения (3.5.1) давление входит в слагаемое 1 д (нарды) Р тър иг др В(Р1Р) 1 др (3 5 2 р дхг ръ Ш р дх~ Ж р дъ и поэтому в том случае, когда поле давления установившееся, непосредственное влияние давления на энергию элемента жидкости оказывается тем же самым, как если бы он двигался в поле массовой силы с потенциальной энергией р/р на единицу массы. Отметим, что давление, входящее таким образом в уравнение (3.5.1), включает работу, производимую как при сжатии элемента, так и при ускорении его как целого.
Таким образом, если и = — ъУъх, а также если и Ч', и р не зависят от времени 1, то уравнение энергии (3.5Л) можно написать в виде — ~ — и'+ Е+ ~ +Ч") = — — ~2ню)ъ (~ы — — ~ц)~ + причем в качестве выражения для тензора напряжений оы взято (З.З.И). Если, кроме того, оказывается, что два оставшихся члена в правой части уравнения (3.5.3) равны нулю, то уравнение энергии элемента жидкости можно проинтегрировать, как это было сделано для материальной точки.
Тогда мы получаем очень важный результат, состоящий в том, что в движущейся невязкой и иетеплопроводной жидкости с установившимся распределением 206 3.5. Теорема Бернулли для установнвшегосн течения давления величина Н, определяемая выражением Н вЂ” 2 Д +Е-т- — +Ч', (3.5А) Однако в установившемся поле течения энергия жидкости, содержащейся между двумя фиксированными поперечными сечениями трубки тока, постоянна, и ее приращение, возникающее в результате переноса энергии и работы, совершаемой давлением в одном 207 имеет одно и то же значение во всех точках траектории жидкого элемента (здесь д = ( и) — модуль скорости).
Если поле давлений установившееся, то поле скоростей обычно также установившееся и траектория движения элемента жидкости становится линией тока. Используя энергетическую терминологию, можно сказать, что для установившегося движения невязкой и нетеплопроводной жидкости полная энергия Н на единицу массы постоянна для каждого элемента жидкости, если только эта энергия включает в себя не только кинетическую и внутреннюю энергию, но также и потенциальную энергию, связанную с внешним полем массовых сил и с полем давления.
В более общих условиях эта полная энергия элемента жидкости непостоянна обычно вследствие а) вязких напряжений, действующих на границу элемента и совершающих работу при его ускорении (в таком случае изменяется кинетическая энергия) и деформации (в этом случае изменяется внутренняя энергия), б) подвода тепла к элементу или отвода тепла от него и в) нестацнонарности поля давления, из-за чего связанная с ним потенциальная энергия изменяется независимо от других видов энергии элемента жидкости. Тот факт, что величина Н постоянна вдоль линии тока в установившемся движении невязкой нетеплопроводной жидкости, известен как теорема Бернулли; впервые она была установлена Даниилом Бернулли в 1738 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
