Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Нет оснований ожидать, что зто справедливо для движущейся жидкости, и наблюдения показывают, что это действительно не так: в движущейся жидкости касательные напряжения в общем случае отличны от нуля, а нормальная компонента напряжения, действующего на элемент поверхности, зависит от направления нормали к элементу. Простое представление о давлении, действующем одинаково во всех направлениях, неприемлемо в большинстве случаев движущейся жидкости.
Тем не менее полезно иметь подходящую скалярную величину, характеризующую движущуюся жидкости, которая аналогична статическому давлению в том смысле, что является мерой локальной интенсивности «сжатия» жидкости. Такая величина определяется в любой ортогональной системе координат как средняя трех нормальных напряжений (со знаком минус).
Из тензорной алгебры известно, что величина (1/3)пи инвариантна относительно вращения осей координат, и этой величине можно дать физическую интерпретацию, не связанную ни с какой специальной системой координат. Среднее значение нормальной компоненты напряжения на элементе поверхности в точке х по всем направлениям нормали и к элементу равно 1 Г 1 1 4„о" ) п»п'~й)(п) з о"бы= з о где 6И (и) — элемент телесного угла вокруг нормали и; можно сказать, что величина (1/3)оц представляет собой среднее значение нормальной компоненты напряжения по поверхности малой сферы с центром в точке х.
Таким образом, величина — (1/3) аи, которая сводится к статическому давлению, когда жидкость покоится, имеет механический смысл н позволяет обобщить элементарное понятие «давления» на состояние, в котором нормальная компонента напряжения зависит от направления нормали к элементу поверхности. В силу сказанного определим давление в точке движущейся жидкости как среднее нормальное напряже- 186 3.3, Выражапяа яяя теяаора папряжаяяй иие, взятое с обратным знаком; для него удобно сохранить обозна- чение р = — Юп.
$ (3.3.2) Следует отметить, что это чисто механическое определение давления, и на основании такого определения пока ничего нельзя сказать о связи между этой механической величиной и термодинамическим понятием давления. Точная связь между ними не проста, поскольку термодинамические соотношения, такие, как уравнение состояния жидкости, относятся к равновесным условиям, в то время как элементы жидкости в относительном движении не находятся в строгом термодинамическом равновесии. Величина, которую мы назвали давлением в движущейся жидкости, является ее реальным параметром и доступна прямому наблюдению, в то время как любая величина, рассчитанная на основании равновесных соотношений, представляет собой а лучшем случае приближение к реальному параметру движущейся жидкости.
К этому вопросу мы вернемся в 3 3.4 при обсуждении применимости равновесных термодинамическнх соотношений. Теперь удобно представить тензор напряжений аы в виде двух частей: изотропной, — рбьь имеющей такую же форму, как и тензор напряжений в покоящейся жидкости (хотя величина р для движущейся жидкости не обязательно будет такой же), и неизотропной части, ды, в которую входят касательные напряжения и некоторые диагональные члены, в сумме равные нулю, аы = — рбы+ ды. (3.3.3) Неизотропная часть ды может быть названа девиатором напряжений, и его существование связано исключительно с движением жидкости.
Связь между девиатором напряжений и скоростью деформации дяя ньютоновой жидкости Поскольку напряжение в любой точке жидкости отражает взаимодействие соседних частей жидкости вблизи этой точки, естественно рассмотреть связь между напряжением и локальными параметрами жидкости. Для покоящейся жидкости это простой вопрос, поскольку напряжение полностью определяется одной скалярной величиной р, статическим давлением в жидкости, которое в свою очередь можно найти из равновесного уравнения состояния, когда известны значения двух локальных параметров состояния (например, плотности и температуры); если же известно распределение массовой силы на единицу объема жидкости, то не обязательно рассматривать локальные параметры более чем в одной точке, так как давление определяется всюду из уравнения 187 Гя.
3. Уравиеияя дввжеиия жидкости механического равновесия (1.4.2). Бслк жидкость находитсв в относительном движении, то связь между напряжением и локальными параметрами жидкости окааывается более сложной по двум причинам: во-первых, тензор напряжений кроме изотропной части содержит еще неизотропную часть и, во-вторых, скалярная величина р, определяемая его изотропной частью, не является одним из параметров состояния, используемых в равновесной термодинамике. Первое из этих двух отклонений от состояния равновесия связано с переносом количества движения или внутренним трением, и оно, несомненно, наиболее важно для большинства течений, как будет показано позднее.
Рассуждение, используемое при нахождении связи девнатора напряжений Иы и локальных параметров жидкости, аналогично рассуждению, приведенному в $1.6, и отличается от него только лишь аналитическими выкладками вследствие векторного характера переносимой величины (а именно количества движения жидкости). Читателю рекомендуется еще раз посмотреть 4 1.6 и вспомнить, что внутреннее трение в движущейся жидкости представляет собой один из нескольких видов переноса, возникающих при отклонении среды от состояния равновесия; в частности, нужно еще раз прочитать обсуждение в конце 5 1.6 молекулярного переноса количества движения в случае простого сдвига. Кроме того, к рассматриваемому вопросу относится также часть $ 1.7 и 1.8, касающаяся коэффициентов переноса, таких, как коэффициент вязкости, и параметров газов и ясцдкостей, хотя в этих параграфах, как и в 4 1.6, принят феноменологический подход и ищутся соотношения, вид которых не зависит от природы молекулярного механизма внутреннего трения.
Предполагается, что часть потока количества движения через элемент жидкой поверхности, связанного с взаимодействием сред посредством трения в относительном движении по обе стороны от этого элемента (напряжения трения представляются девиатором напряжения), согласно общей гипотезе из 1 1.6, должна зависеть только от мгновенного распределения скорости жидкости в окрестности элемента, а точнее от величины отклонения этого распределения от однородного.
Локальный градиент скорости, типичная компонента которого есть ди~/дхп представляет собой, следовательно, параметр поля течения, наиболее тесно связанный с девиа- тором напряжения, а поскольку производная ди~/дх~ обычно постоянна на всех расстояниях, больших по сравнению с характерными для механизма молекулярного переноса количества движения, то мы примем, что девиатор напряжений Иы зависит только от одного этого параметра. Более того, Иы обращается в нуль в покоящейся жидкости и, следовательно, обращается в нуль вместе с ди,/дхп У нас нет способа вывести зависимость с(ы от ди;/дхт для жидкостей в общем случае, поэтому мы вернемся 188 З.З. Выражение дяя твивора иаиряжоиий к гипотезе, введенной в 3 1.6 и состоящей в том, гго тенэор А1! (аналогичный вектору потока иэ т 1.6) представляет собой в первом приближении линейную функцию различных компонент градиента скорости для достаточно малых нх величин.
Математически эта гипотеза записывается в виде Эпа А! =.4мы —, да! ' где коэффициент А!19! — тенэор четвертого порядка — зависит от локального состояния жидкости, но не зависит непосредственно от распределения скоростей и обязательно симметричен по ! и 1, как и 11!д Формула (3.3.4) есть тенэорный аналог линейного соотношения (1,6.1) для скалярной переносимой величины. На этой стадии удобно писать производную диа/дяг, как в $ 2.3, в виде суммы ее симметричной еы (тенэор скоростей деформации) и анти- симметричной — (1/2) еа! 99 частей (ау — вектор завихренности), поэтому формула (3.3.4) становится такой: ! И!! = Амыею — — Амыеюмм .
(3.3.5) Тенэор А !191 принимает простой вид, если молекулярная структура жидкости статистически иэотропна, т. е. если девиатор напряжений, возникающих в элементе жидкости под действием заданного градиента скорости, не зависит от ориентации элемента. Все гаэы обладают иэотропной структурой, как и простые жидкости, хотя в суспензиях и растворах, содержащих очень длинные линейные молекулы, могут появляться некоторые предпочтительные направления вследствие выравнивания ориентации этих молекул в зависимости от предыстории движения. Рассмотримжидкости с изотропной структурой, для которых коэффициент Аыд! — изотропный тенэор, т.
е. такой, что для него нет предпочтительного направления в пространстве. В руководствах по тенэорному анализу ') показано, что основным иэотропным тенэором является дельта-тензор Кронекера и что все иэотропные ортогональные тензоры четного порядка можно записать в виде суммы произведений дельта-тензоров. Поэтоыу А !ы! = )!б!961! + )!'6, гбуа + р"б!169 „(3.3.6) где р, р' н р" — скалярные коэффициенты, а поскольку тензор Амат симметричен по 1 и у, должно быть )в = )в КРоме того, тепеРь виДно, что тензоР Амат симметРичен и по индексам й и 1, и в результате этого член, зависящий от вектора ю, И Си.
Лвкгвув Н.. Свито!во твпвогв, Свтьгмав Пп!твгвкуРгевв, 1991 !в твнжв Ко- чйа Н. Е., Ввпторпов аочвопвавв, М., 19И,— РгоЛ. 189 Гл. 3. Уравнения дввжевия жидиости должно выполняться для всех значений Л; отсюда следует, что 2р+зр" = О. (3.3.8) Выбирая р в качестве единственной независимой скалярной постоянной для девиатора напряжений, получаем выражение г(О= 2р (ег1 — — быб), 1 3 (3.3.9) где величина внутри скобок есть просто неизотропная часть тензора скоростей деформации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
