Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Сначала рааложим функцию г 8 в ряд Тейлора ПО Х'1 Гл. 2. Кинематика поля течения Написанные интегралы берутся по всей внутренней границе жидкости, элемент которой обозначается далее через пбА без индекса 1. Этот интересный ряд покааывает, что в области вне сферы с центром в начале координат, содержащей внутреннюю границу, потенциал зр можно записать в виде суммы слагаемых с целыми степенями г-з, каждое из которых удовлетворяет уравнению %к~р = О (так как тр = г ' удовлетворяет атому уравнению и, следовательыо, ему удовлетворяют все производные от г-з по координатав1) и каждое из которых представляет собой потенциал, обусловленный точечной особенностью, расположенной в начале координат и составленной из точечных источников, как было описано ранее в з 2.5. Система независимых решений уравнения туззр = О имеет фундаментальное значение в теории гармонических функций, и они известны как объемные сферические функции (гармоники) степеыи — 1, — 2, — 3, ...
з). Соответствующие козффициеыты при г ', г ',... в общем виде Я„=г"'з ( — ) (п=О, 1, 2, ...) (2.9.22) зависят только от направления вектора х или, что равносильно, от положения точки на сфере с центром в начале координат и известны как поверхностные сферические функции (гармоники) целого порядка. Из уравнения Лапласа в сферических координатах (сы. приложение 2) непосредственно следует, что если произведение г-и-зЯ„есть решение, то решением будет также и функция зр (х) = гиЯ„; зто значит, что каждой объемной сферической функции степени ( — и — 1) соответствует такая же функция степени и (и — целое полозкительное число).
Объемные сферические функции отрицательной степени необходилзы и достаточны для представлеыия потенциала цз в виде степенного ряда вне сферы в области, простирающейся в бесконечность, где жидкость находится в состоянии покоя, в то время как функций положительного порядка достаточно в области внутри сферы, В области, ограниченной сферами как изнутри, так и извне, необходимы оба типа функций.
Следует отметить, что второй член в правой части ряда (2.9А9) (который стаыовится первым в соответствующем разложении для т = ~7<р) выражает поле скоростей, связанное с точечным источ- П См., иарример, ди«еезрио Г., С«прае В., Метрам математической физики, «мио«, м., !ото 1а тамйез Смариое В. и., Каро апашей математиии, т.
3, ч. 3, гиттл, м.— л., шао.— р«в,п 162 2.9. Трехмерные полн течения, простирающивсн в бесконечность ником интенсивности ~ и ЧАНА = т в начале координат. Другими словами, влияние результирующего потока скорости ч через внутреннюю границу на больших расстояниях от нее преобладает, я скорость ч окааывается такой же самой, как если бы поток возанкал в одиой-единственной точке (точное положение этой точки проиавольио, поскольку рассматривается главный член разложения для скорости т). Как уже отмечалось, в наиболее распространенных случаях жидкость ограничена изнутри твердой границей и для безаихревого течения несжимаемой жидкости (для которого скорость т есть действительная скорость жидкости) вне такой границы реаультирующий поток т обязательно равен нулю; следовательно, на больших расстояниях от границы скорость ч имеет порядок г-'.
Такое же заключение справедливо и в более общих случаях, когда т7 и ю отличны от нуля, а скорость т есть одно из трех слагаемых действительной скорости жидкости, так как вюжно показать, что результирующий объемный поток через твердую внутреннюю границу, соответствующий слагаемым и„ и и„, равен нулю. Этот поток равен (ас ~ пн)'увдА= ) 'т''(па+па) ~Л'~ где интеграл по объему берется по области внутри замкнутой твердой границы; слагаемые и, и и, не имеют прямого физического смысла в атой области, однако они определяются в точках х этой области выражениями (2.4.5) и (2.4.11) и являются в ней соленоидальнылви векторами.
Таким образом, величина т, определяемая выражением (2.9.10), представляет собой действительный результирующий поток жидкости через внутреннюю границу, и он должен быть равным нулю, когда внутренняя граница твердая и непроницаемая. Бегвихревое соленеидальное течение, вызываемое поступательным движением твердого тела Выражение скорости т принимает специальную форму, когда условие, которое должно удовлетворяться на внутренней границе, имеет вид пр=п в) во всех точках данной замкнутой поверхности; здесь У вЂ” заданная векторная постоянная; скорость ч — действительная скорость в безвихревом соленоидальном течении, соадаваемом поступательным движением твердого тела со скоростью ау через жидкость, котораяпокоитсяна бесконечности ').
В данном случае ') Напсинкы вщс раа, чтс услсвия, при которых дсйствитвльисс тсчвнис, выввввнсс движущаыси твердым тслсч, будет сслснсидальнсс и бсввихрсвсс, всв сщс подлежат спрсдслсиию на сснсвс дннав~ичсских уравнениЯ. 163 Гл. 2. Кинематика поля течения определение скорости ч сводится к нахождению решения уравнения Чззр = О, которое удовлетворяет условиям зр (х) -~ сопз2 при г -~- оо, и и зузр = и Ю на поверхности тела. Из теоремы единственности следует, что существует только одно решеыие уравнения для з)узр, которое может удовлетворять этим условиям. К функции зр можыо прибавить произвольную постоянную, ые изменяющую скорости у, уравнения для <р или условия на внутренней границе; следовательно, постояыную, к которой функция )р стремится на бесконечности, можно в даыном случае выбрать произвольно, и для удобства будем считать ее равной нулю.
Дифференциальное уравнение и условия, которые должны удовлетворяться на границах, линейны и однородны относительно зр и Ю, и, поскольку решение должно быть справедливо при любом заданном Ю, оыо должно иметь вид ~р(х) =Ю Ф(х), (2.9.23) где Ф (х) — неизвестная векторная функция, ые зависллрул ни от величины, ни от направления скорости П з). Поскольку функция Ф определяется внутренним граничным условием, она аависит только от координат точкк в жидкости относительно тела, т. е. только от разности х — хо, где хо определяет мгновенное положение некоторой точки тела. Кроме того, выражение для гр в аиде (2.9.23) справедливо (по тем же самым причинам) и в том случае, когда твердое тело движется через жидкость, которая ые простирается в бесконечность, а ограничена извне неподвижной твердой границей, хотя в этом случае Ф зависит не только от координат точки относительно твердого тела.
Равенство (2.9.23) полезно в ряде случаев и из него можно даже непосредственно определить функцию зр. Например, из него видно, что в случае твердой сферы с центром, находящимся в данный момент времени в начале координат, никакой вектор или направление не являются предпочтительными при описании формы границы и вектор х оказывается единственным, от которого может зависеть функция Ф. Отсюда следует, что единственным частным решениезб из системы независимых решений (2,9.21), которое в комбинации с П может иметь вид (2.9.23), является второе ') Некоторые чвтетелн могут счвтеть очезндвым, что функция ф должна быть лвнейной н однородной Функпней трех компонент скорсстя Ю. во не быть знзкомымя с подобноге роде прецлюзювяем длн зентороз.
Урззкекве в грзнячные услозян, определяющне функцню е, были предстззлены з Форме, ве зависящей от системы коордвнзт, я вырвженне длз ф через компоненты скоростн П тзнже не должно зезнсеть ст свстемы координат; зто знзчнт, что трв компоненты скорости П могут зстречзться только в тзкой кокбявзцнн, мсторую дает вентор и, входящнй з зырзжевяе (2.2.22). 164 2.10. Двумеряно поля течеипя, простирающиеся з бескоиечяость и функция 1 11х <р(х) =аУ зу — = — а— (2.9.24) где а — постоянная, представляет собой искомое решение. В сферических координатах при О = 0 в направлении 0 соответствующая скорость жидкости имеет компоненты др д 1 исовО1 2исозŠ— = — з — а )=а з дг дг гз 1 гз 1 др ГУв!пз — — =а г де гз Внутреннее граничное условие удовлетворяется для сферы радиуса а, если — =Е7совО при г=а, до дг т.
е. если 1 а= — а з. 2 следовательно, зр(х) и а)'Ч 2 а з = 2 азс7 —,. (2.9.26) ,и. 1, свЕ Эти формулы справедливы для скорости в точке в системе координат, неподвижной относительно жидкости на бесконечности и имеющей начало в мгновенном положении центра сферы. Прн другом начале координат, когда центр сферы находится в точке х„распределение скорости, очевидно, останется тем же, если только координата х отсчитывается от хо, т. е.
если <р (х) = — азЮ.зр = — — аз '(х — о (2 9 27) 2 ~х — хо~ 2 !х — хз!з ' Заззетнзс также для дальнейшего использования, что в системе координат, движущейся вместе со сферой и с началом в ее цент- ре, потенциал скорости течения <р (х) = — П х ( 1 + —. —, ) . (2.9.28) 2ЛО. Двумерные поля течения, простирающиеся в бесконечность 165 Если жидкость не простирается в бесконечность в плоскости движения, то формулы предыдущих параграфов (и в частности 3 2.8, когда жидкость ограничена изнутри и, следовательно, аанимает многосвязную область) легко приспособить к случаю двумерного движения. В направлении нормали к плоскости дви- Га.
2. Кинематика поля течения жения жидкость обязательно простирается на бесконечное расстояние (при математическом описании задачи), но поведение скорости «на бесконечности» в данном случае известно, н никаких трудностей не возникает; там, где поверхностный интеграл приходится брать по границе жидкости, иногда целесообразно предположить, что поле течения ограничено двумя плоскостями, параллельными плоскости движения, на которых нормальная компонента скорости жидкости равна нулю. Однако двумерное течение в жидкости, ограниченной изнутри и простирающейся в бесконечность в любом направлении в плоскости движения, все же обладает некоторыми специальнымн свойствами, которые требуют отдельного рассмотрения. Предположим, что на больших расстояниях от начала координат в плоскости движения жидкость покоится, а начало координат находится вблизи внутренних границ жидкости.
Доказательства формул э 2.9 и, в частности, формул, определяющих поведение функции ~р на больших расстояниях от внутренней границы, нуждаются в изменениях. Поскольку они основаны на предположении, что скорость жидкости мала всюду на сфере большого радиуса с центром, расположенным вблизи внутренних границ, необходимые изменения не представляют особых трудностей, и поэтому их можно только наметить в общих чертах. Рассуждения, подобные тем, которые привели к выражениям (2.9.1) и (2.9.2), снова приводят к заключению, что если модуль (Л( на больших расстояниях от внутренней границы достаточно мал, то поле скоростей, связанное с заданным распределением скорости объемного расширения й, асимптотнчески ведет себя так, как будто все объемное расширение происходит в начале координат; если случайно окажется, что ~Л'дг'(х') = О (теперь элемент объема представляет собой цилиндр единичной высоты в направлении нормали к плоскости движения и с площадью поперечного сечения 6У), то распределение скоростей на достаточном удалении от внутренней границы совпадает с распределением скоростей от диполя источников в начале координат.
Результаты, соответствующие формулам (2.9.3) и (2.9.6), можно получить для скорости п„свяаанной с заданным распределением завихренности в двух измерениях. Важная задача определения поведения функции ~р (х) при больших значениях г = (х), если известно, что Ч~р -ч. О прк г-~ оо, может быть исследована тем же самым общим методом. Формула (2.9.8), полученная по теореме Грина, справедлива н и двух измерениях при тех же условиях, налагаемых на функции г" и С, только 6А, и 6Ат в данном случае означают элементы длины, а 6$' — элемент площади в плоскости движения (точно так, как если бы они относились к слою жидкости единичной толщины 166 2АО, Двунеркые поля течения, простирающиеся в бесконечность в направлении нормали к плоскости движения); внешняя граница Ат теперь представляет собой круг с центром в точке Р (х) достаточно большого радиуса Л, охватывающий все внутренние границы. Выберем функции Р(х') =ф(х'), С =1пг, каждая из которых удовлетворяет уравнению Лапласа в двух измерениях; здесь, как и раньше, г = (х — х'(, а ф — однозначный потенциал скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
