Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 38
Текст из файла (страница 38)
6. Упражневвя к главе 2 1. Покажите, что скорость объемного расширения жидкого линейного элемента в точке Р жидкости изменяется с изменением направления, как (Ро) з, где отрезок РО параллелен линейному элементу, а точка О расположена на эллипсоиде тензора скорости деформации с центром в точке Р, 2. Покажите, что векторный потенцяал В, (х) = — ~ — Ы)г(х ) — — ~ — ЫА(х ) 1 Г ю з 1 г пкк соответствует завихрениости е всюду е объеме У, ограниченном поверх- ностью А; обозначения соэпадают с обозначениями из 1 2.4. 172 3.
Используя теорему Грина, покажите, что любое ациклическое безвихревое соленоидельное движение с потенциалом скорости и е данкой области можно рассматривать как движение, вызванное 1) распределением источников ва гравице области с интенсивностью п Че (х) на единицу площади э точке х границы совместно с двполями источввков интенсивности — пю (х) на единицу площади, где и — единичная нормаль к гравице, направленная внутрь жидкости; ели 2) распределением источников на граввце с интенсивностью и Ч (е + ее), где еэ — потенциал такого ацвклического 2.(О. Двумерные поля течения, простирающиеся в бесковечвость безввхревото солепопдальпого движевпя в остальном бесконечном пространстве, для которою де = Ч ва общей гравице в Чпе = О (вли Чю = О, если подходит) ва бесконечности; или 3) распределением диполей источников интевсиввоств — п (Ч вЂ” ~ре), тде ~ра — потевдиал такого ацвклического движения в остальвой части пространства, для которого п Ч~ре = и Чю на травице и Чюе = О (влв Чй = О) ва бесконечности.
4. Покажите, что беаввхревое солевоидальвое дввжепве, обусловлеввое вихревой нитью ввтевсввпостя к, совпадает с движением, вызванным распределеввем дпполей источников по открытой поверхности, гракячвая кривая которой является вихревой нитью, с ввтевсивпостью ва единицу площади нп, где п — единичная нормаль к поверхности. Вихревая пелена вквквалавтва поатому распределеввю двполей источников по поверхности, совпадающей с пеленой, п по порвали к вей, если аамквутые вихревые лвввп стягвваемы ва пелене, в обратно.
В связи с атим покажите, что любое беавпхревое солевопдальвое движение, беараалвчво ацвклвческое влп циклическое, можно рассматрквать как движение, выавапвое некоторой вихревой пеленой, совпадающей с граввцей области, в которой происходят движение. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 3 1. Интегралы по объему движущейся жидкости — = ~ ~< п<(т=Ч пбт+о(бт); ЛЬт л< зт адесь скорость относительного объемного расширения ~7 и вычисляется в мгновенном положении элемента, а о(бт) означает величину меньшего порядка, чем бт.
Удобный способ получения точного соотношения из равенства (3.1.1) состоит в том, чтобы рассмотреть отношение объема бт к его значению бт(гэ) в некоторый начальный л<омент времени З„а затем сделать этот объем бт (<„) бесконечно малым. Таким образом, — =ч «т~ <и (3.1.2) где т' =- 1пп Ьт(<] зт«ы о Ьт <<о) 174 Динамические уравнения, описывающие движение жидкости, по существу связаны с реакцией определенной части или массы жидкости на приложенные к ней внешние воадействия.
Поэтому полезно разработать способы физического описания движения частицы жидкости, которая мон<ет деформироваться, а также изменять свое положение в пространстве. В вводной кинематической части мы рассмотрим изменения размера и ориентации элементов жидкого объема, жидкой поверхности, жидкой линии при движении. Будем предполагать, что линейные размеры элементов столь малы, что в любой момент времени они совершают чисто деформационное движение и квазнтвердое вращение (а также и поступательное движение), как показывает равенство (2.3.13).
Однако при рассмотрении изменения объема, вектора площади или вектора длины соответствующих элементов жидкости оказывается, что удобнее не разделять явно изменения в элементе на чистую деформацию и квазнтвердое вращение. Рассмотрим сначала элемент жидкости, объем которого равен бт. Скорость изменения этого объема, как отмечалось в 3 2.2, равна 3.1. Интегралы ио объему движущейся жидкости Здесь те — безразмерный мгновенный удельный объем элемента жидкости, очевидно равный р (!е)/р (1), где р — плотность той же самой частицы жидкости. Скорость нзмененкя вектора 61, изображающего элемент жидкой линии, который приближенно остается прямолнпейным, равна просто разности скоростей двух концов элемента, т. е.
—, = 6! ~ум+ о ( )6Ц ), дб! Это соотношение также можно сделать точным путем введения величины ~6! (!е) ! н последующего перехода к пределу прн !61 (1,)! О. Скорость относительного изменения объема элемента жидкости зависит от величины объема, но не аавнснт от формы его поверхности. 5!ы можем выбрать элемент жидкости в виде цилиндра, два торца которого представляют собой одинаковые элементы жидкой поверхности с вектором площади И, а образующие— элементы жидкой линии 61; такой элемент жидкого объема остается цилиндрическим прн чистой деформации нлн квазнтвердом вращении, хотя векторы 61, 68 н углы между ними изменяются, н бт =6! 68+о(бт) (3.1.4) в любой момент времени.
Подставляя выражение (3.1.4) в (3.1.1) с учетом (3.1.3), находим 61; ( ' +681 д" — 63~ — ") =о(бт) (векторные обозначения здесь менее удобны), н поскольку это соотношение должно быть справедлнвым прн любом выборе вектора 61, нмеем — ' = 68~ — ~ — Ы~ — — ""г + о ( ! 68 ) ). дс дт! де~ (ЗЛ.5) И снова точное равенство можно получить путем деления на !М (1е) ! н последующего перехода к пределу прн !И (8е)1-~-О. Другой способ напнсання этого выражения для скорости изменення площади элемента жидкой поверхности, который следует нз уравнения сохранения массы (2.2.3), дает равенство (ЗЛ.6) где плотность р берется в данном положеннн движущегося элемента.
Своеобразная общность в поведении векторов 61 н р68 выясняется прн вычислении скоростей изменения нх величин 61 н рбмк. С помощью (ЗЛ.З) н (ЗЛ.6) можно найти, что — -ит~ту — ' прн 6! — иО 1 д(бй дн; б! гд дтт (ЗЛ.7) 175 Гл. 3. Уравяеяия движения жидкости — — — п~пг — прк бд — О, (ЗЛ.8) а (рбд) до~ за ю дгг где ш к и — единичные векторы, параллельные векторам 61 к 68 соответственно. Скалярная величина т,тгди;lдхг представляет собой скорость относительного растяжения жкдкости в направлении вектора 61, а величина — п,гуди;)дхг — скорость относительного сжатия жидкости в направлении вектора 68.
В частном случае несжимаемой жидкости р н бт — инварианты элемента жидкости и множитель р в соотношениях (3.1.6) и (3.1.8) сокращается. Скорости изменения субстанциональных интегралов Криволинейный интеграл от какой-нибудь величины по жидкой линии, которая движется вместе с жидкостью и состоит всегда из одних и тех же частиц, можно назвать субстанциональным интегралом.
Интегралы по поверхности и по объему также могут быть субстанциональными в том же самом смысле. Такие интегралы часто встречаются в механике жидкости, иногда из-за необходимости представить полное количество какой-нибудь величины, связанной с данной массой жидкости, а также кз-за необходимости определения скорости изменения этого количества во времени.
Ниже обосновывается простоя непосредственный метод вычисления скоростей изменения субстанциональных кнтегралов, которыя будет использоваться в дальнейшем. Рассмотрим сначала криволинейный интеграл е пожкдкойлкнин, соединяющейдветочкирндв жидкости, где 6в некоторая переменная в жидкости, обычно зависящая от радиуса- вектора х и времени д Если жидкая кривая определена, то интеграл зависит только от времени д его производная по времени будет связана как с изменениями величины 6 в точках пути интегрирования, так к с изменениями формы и ориентации этого пути. Чтобы определить влияние изменения формы и ориентации пути интегрирования, предположим, что криволинейный интеграл определяется в некоторый момент времени обычным способом как предел прк з -+ О суммы слагаемых от большого числа бесконечно малых отрезков длиной з. Если эти отрезки, элементы линии интегрирования, рассматриваются далее как элементы жидкости, то они будут изменяться в процессе движения вместе с жидкостью, однако тем не менее кх все же можно продолжать использовать 176 ЗЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
