Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

2. Кинематика ноля течения Чтобы найти приближение более высокого порядка для скорости и„, следует разложить в ряд Тейлора функцию а ' и сохравить в ием ва один член больше, как при волучепии (2,9.2), При более сильном ограпичевии, состоящем в том, что ~ет ~ имеет порядок г- (п>4), когда г велико, для г — а со получается выражение и, (х) ж — ~ от Х ~х' Ч ( Ч вЂ” ) ~ яу (х') = = — — „Ч Х ~ ю'х' Ч вЂ” с(р(х'). (2.9.4) Это выражение можно легко обосяовать, заметив, что ва основаяии формулы Остроградского — Гаусса и предполагаемой малости величины ~ат! при больших г ~ (х;ю1+ л1ат~) Ну (х) = 7~Ч (л~х1ю) Ыу(х) = О.

В результате получается 1, 1((,, 1,, 11 ге'х'Ч вЂ” пУ(х')= — 1 (ет'х' Ч вЂ” — х ш'Ч вЂ” 1 ИУ(х') = 2 = — — (Ч вЂ” „) Х ~ х' Х ет' ИУ (х'). (2.9.5) Таким путем приходим к асимптотическому выражению скорости и, (х) ял — Ч 1( Ч вЂ” ) ° ~ х' Х ю' ЫУ (х') ~, (2.9.6) которое, очевидно, имеет такую же форму, как и асимптотическое выражение (2.9.2). В случае отдельной замквутой вихревой нити интенсивности и, ливейвый элемент которой есть 61, имеем — ~ х Х га ЫУ (х) = — и ~ х Х И! (х) = и ~ и ЫА = мА, (2.9.7) 1 г 1 где пбА — векторвый элемент любой открытой поверхности, огравичеввой вихревой питью (ваправлеиие нормали и выбирается в егорову вращения вихревой вити, характеризующегося вектором е), а вектор А — полвый вектор площади этой поверхности, зависящий только от формы замкнутой вихревой нити.

Следовательно, асимптотическое выражение для скорости н„дает распределевие солевоидальвой скорости, связанное с одввочкой замкнутой вихревой питью с бесконечно малыми размерами, расположеявой в начале коордиват так, что произведение ее ивтеисиввости иа вектор площади, ограниченной этой нитью, рав. во (1/2) ) х Х едУ (х). Итак, мы иашли, что в случае, когда полная скорость объем. ного расширения ) Лпр(х) равна нулю, скорости и, и и, при 156 2.9.

Ч'рехмерние поля течення, нростнра>опщеся в бесконечность г — оо имеют одинаковые асимптотические выражения, представляют собой величины порядка г-8 и изображают поле скоростей, связанное либо с диполем источников, либо с одиночной замкнутой вихревой нитью, расположенной в начале координат. Поеедение потенциала >р на болыаих расстояниях (РЧ6 — СААР) пзАА2 — ~ (Р276 — 6С~Р) п>дА>= = ~ (РЧ'6 — 6Ч9Р) суР. В качестве Р и 6 выберем в данном случае (2,9,8) Р (х') ф (х'), 6 (х') = е 2, >> Это вэеестная теорема на векторного аналяаа и теорня пстевпнала.

Соотноженве (2.9.8> можно получать, применяя к оеьему у в вектору рта — отр формулу Острограяското — гаусса. 257 Если полная скорость обращается в нуль на бесконечности и распределения скорости объемного расширения и завихренности таковы, что там скорости и, и и, также обращаются в нуль, то и остающееся слагаемое скорости т (х) ~у>р должно обращаться в нуль на бесконечности.

В дальнейшем будем использовать предположение, что ч -+ О при г-е оо, чтобы определить поведение скорости ч и функции >р при больших значениях г; полученная таким путем информация будет полезна при дальнейшем изучении соленоидального течения, которое, как известно, безвихревое во внешних частях жидкости бесконечной протяженности. Сначала будет показано, в частности, что функция >р стремится к постоянной при г ->.

оо вследствие того, что >р удовлетворяет уравнению ура>р = О. Предполо>ким сначала, что функция <р— однозначная функция от х, как в случае односвязной области, занимаемой жидкостью; необходимые видоизменения для неоднозначной функции >р рассматриваются в следующем параграфе, Поверхность внутренней границы жидкости будем обозначать как и раньше, через А, с внешней единичной нормалью и, к элементу атой поверхности; через Аз обозначим поверхность сферы в жидкости с центром в точке Р (х), с внешней единичной нормалью па и с достаточно большим радиусом 12, заключающей в себе все внутренние границы; область вне сферы полностью занята жидкостью (рис.

2.9А). Мы воспользуемся теоремой Грина 2), одна из форм которой гласит, что если Р и 6 — две скалярные функции координат, однозначные, конечные и непрерывные вместе со своими частными производными по координатам всюду внутри объема >т, ограниченного поверхностями А, и Ат, то Гл. 2. Кинематика поля течения Р п е. 2.9л. схепа обоепачеппа ппя жщщоетп, проетправщеаеп е беекопеепОсть и тен покохщеаея. где б = ~х — х') — расстояние между точкой Р (х) и точкой х', в которой расположен элемент интегрирования. Функция ф обладает всеми требуемыми свойствами, будучи однозначной, конечной и непрерывной всюду внутри объема У, однако функция г-' не является конечной в точке Р, поэтому точку Р нужно окружить сферой малого радиуса е, которая исключается из объема У и поверхность которой нужно отнести к внутренней границе жидкости.

Это дополнительное слагаемое при интегрировании по поверхности в левой части равенства (2.9.8) прн и-е- О есть — ~ ~ ф' ~ — — — ) е' ЫЬ2 (х') 4пф (х), (2.9.9) где бье — элемент телесного угла, под которым видев влемент поверхности из точки Р, а штрихом, как и раныпе, отмечены значения функции в точке х'.

Учтем далее, что обе функции, ф и л-', удовлетворяют уравнению Лапласа, поэтому правая часть равенства (2.9.8) обращается в нуль и остается ф(х)= — ) (ф Чх — — — Чф ).п«НА«(х)— )(х'е — — ~ ««р Чх.— — — Чф ) ппИА9(х ), х' а поскольку г = В на поверхности А„ то ф(х) =- — — '„) ~,ф'Чх —,' + —,Чф') п«АА«(х')+ + — ~ ф'е«Аз(х')+ 4 ~ вп Ч«р ««Ах(х ). 158 2.9.

Трехмерные поля течения, простирающиеся в бесконечность Так как С~ т = 0 всюду внутри й', то пг ~т»р' ИАг (х') = ~ и».'7»р' »1А» (х') = нг, (2.9.10) где ш — объемный поток жидкости через внутреннюю границу А» (в направлении внешней ее части), обусловленный полем скорости т. Кроме того, можно написать равенство — ~ »р'ЫАг(х') = »р(х, Я), (2.9Л1) выражающее среднее значение»р по сфере Аг радиуса В с центром в точке х. Тогда Ч»(х)=%+ 4„д — ~„~ (»Р'»7х — +-»7»Р') п,ИА»(х'). (2.9Л2) Это соотношение удобно для определения поведения функции»р при больших значениях г, поскольку все члены в его правой части, за исключением первого, стремятся к нулю по мере того, как г = ~х~, а следовательно, и г возрастают (радиус В также увеличивается таким образом, что сфера Аг с центром в точке х постоянно содержит внутренние границы).

Однако теперь необходимо подробнее рассмотреть первое слагаемое»р. Для етого воспользуемся теоремой, установленной Гауссом для гравитационного потенциала, который в свободном пространстве также удовлетворяет уравнению Лапласа. Результат Гаусса сводится к приведенному ниже соотношению (2.9.14), а его доказательство заключается в следующем. Выражения (2.9.10) для объемного потока жидкости можно записать в виде Вг ~ ( — )»М(х') =В дп ~ (»р')в=в»И(х')=шэ (2.9.13) где 51с, как и раньше, — элемент телесного угла с вершиной в точке Р. Следовательно, интегрирование в (2.9ЛЗ) по В дает »р (х, В) = — ~ ('р') н с»гх (х') = С вЂ” 4 ' (2.9.14) где С не зависит от В.

Чтобы установить, зависит ли С от х, центра сферы Аг, вычислим производную от С по любой компоненте вектора х, например по х», сохраняя В постоянным, дС д»р» д» вЂ” — = — — »»р»1Аг(х') = дх» дх» 4л»»г дх» (2.9Л5) Последнее выражение представляет собой среднее значение компоненты скорости и» по сфере Аг, которая, как известно, обра- 159 Гл. 2. Кзнвматика поли течавая щается в нуль для больших звачевий В, поскольку скорость ч равна нулю всюду ва бесковечвости.

Следовательно, С ве зависит как от В, так и от х. Подставляя (2.9.14) в (2.9.12), определяем Функцию ф(х)=С вЂ” 4 ~ (фЧа — + — '(гф) п1ИА~(х'), (2.9Л6) которая зависит только от х и условий ва ввутреввей границе. При г- оо величина г также становится большой, а подивтегральвое выражение в (2.9А6) — малым всюду ва ковечвой поверхвости А,; следовательво, получается, что ф (х) -ь С при г -1- оо. Услоеия единстеенности для определения Щф Уставовлеввый факт, что ф стремится иа бесковечвости к постояввой, можно в дальвейшем использовать наряду с равевством (2.7,6), чтобы уставовить условия единственности для фф. Если в качестве ввешвей гравицы Аз взять сферу болыпого радиуса В, содержащую все ввутреввие границы, то ивтеграл от проиаведевия ч ч по всему объему жидкости будет равен ч чбтр=-11ш ~ фч п,ИАз — ~ ф» и, ЫА,.

Величина интеграла ~ ч пз ЫАз ковечиа (и равна объемному потоку жидкости т через ввутреввюю гравицу), так что ч чЫК=1!га ~ «р — С) ч пзИА=- — ) «р — С) ч п,ИА,=— я = — ') (ф — С) л, ИАо (2.9.17) Для жидкости, простирающейся в бесковечиость, это соотвошевие замевяет равенство (2.7.6), и очевидно, что условие, при котором два решевия фф ильфа обязательно совпадают, имеет вид — ) «р — ф') (ч — ч') п~дА1+(С вЂ” С') (т — т') =О, где С и С* — постоянные значения потевциалов ф и фа на бесковечвости, а т и та — объемные потоки жидкости через ввутреввюю границу, соответствующие этим двум решевиям. Снова мы видим, как и в $2.7, что Чф определяется едивствеввым образом, если значение его вормальвой компоненты в каждой точке гракиц жидкости (в данном случае имеются в виду только внутренкие границы жидкости) заданы, поскольку это условие требует еыполвевия в каждой точке гравицы А, равенств ч и, = ча п, 2.9.

Трехмериие поля течеиия, простирающиеся в бесиоиечность и т = и«е. Здесь опять существует другой, хотя и мевее важный, путь обеспечепия единственности Ч«р, состоящий в том, чтобы задать значение «р в каждой точке границы А, и еще либо значение объемного потока т, либо константы С, к которой функция «р стремится иа бесконечности. 1 1 . д «11 1 ,, д« «11 — = — — т« — — + — х«х) « — ) + ..., (2.9.18) « г дс« ~ г ) 2 дя« дл7 1 г ) который, очевидно, сходится при г' ( г в случаях, когда х х' = =т гг', а следовательно, и для звачевий угла между векторами х и х'. Ряд (2.9Л8) можио подставить в выражение (2.9Л6) и выполнить почленвое иптегрировавие при условии, что при интегрировании г превосходит наибольшее звачевие и', в результате получим «р(х)=С+-+с« — ( — ) +си ( — ) -«-..., (2.9.19) где Г «л с= — ) и Ч«р«(А=— 4 ) 4 1 1 Г д« = 4 ) (х«в Ч«р — и««р) ИА, 4л ) с«7= — ) ( — — х«х«п Ч р+х«х7«рЧ ИА, 4л,) ( 2 (2.9.20) 161 11 — 0878 Предппаелеяие потенциала «р са«дланями рядам Точное выражение функции «р (2.9Л6) использовалось выше для того, чтобы показать стремлеиие «р к постоянному звачеиию ва бесконечности.

Кроме того, ово представляет и самостоятельный интерес, так как дает яввое представление функции «р всюду в жидкости в зависимости от условий ва ввутреввей границе. (Отметим, однако, что выражение (2.9.16) ве определяет в явном виде фуикцию «р(х) только через вормальвую компопенту Ч«р ва ввутревней границе; в него входит также и распределевие функции «р. На первый взгляд кажется, что зто ве согласуется с теоремой единственности, которая указывает, что функция «р (х) определяется едивствевным образом с точностью до аддитивной постоянной по задаввому распределению скорости в Ч«р на внутренней гравице. Объяснение состоит в том, что распределения скорости и Чр и функции «р ва внутренней границе ве являются независимыми, и в принципе одво из вих можно исключить.) Воспользуемся выражением (2.9.16) для представления функции «р (х) степенным рядом по г-', в котором первым членом возьмем константу С.

Характеристики

Список файлов книги