Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Несмотря на то что зто простое рассуждение сразу дает полезную теорему единственности, представляет интерес рассмотрение способа, с помощью которого должны быть видоизменены соотношения, подобные (2.7.6), когда )р — многозначная функция координат. Как и ранее, начнем с тождества 1 ч дР=~Ч (фч)ау, где интегралы берутся по двусвязной области, занятой жидкостью. Для того чтобы можно было преобразовать интеграл по поверхности, предположим, что в жидкости поставлена перегородка (нулевой толщины), вроде описанной ранее в этом параграфе а). Если х) Метод, с помощью которого константа я опредедяется динамнчеснвми процессами в течении, обусвоввеявом движением цяаиндра опредеаевного типа, рассматрязвегся в б вл; там же бУдет показано, что слУчай и чь с часто встРечаетса и имеет важное вначение.
з) Термин «перегородка» имеет здесь топоаогическиа, а не механяческиа смысл. Введение втой перегородка не оказывает някакого влияния на течение, и ее можно просто считать поверхностью, проведенной в жядкостя. 15) Гл. 2. Кянеяатина поля течения Р п ю, 2,8Л, Ввевевве яерееюрюлвн 3 в арюееравствю вевееу ивуяа яааввлраяв. обе стороны этой перегородки рассматривать как часть границы жидкости, то течение будет происходить в одяосвязкой области, внутри которой ~р — однозначная функция координат; путь, выбираемый для соединения исходной точки О с текущей точкой Р (х), не должен пересекать перегородку (поскольку он не должен выходить из области, занятой жидкостью), и, следовательно, эсе пары путей образуют стягиваемые замкнутые кривые.
Теперь можно применить формулу Остроградского — Гаусса, так как объем е односэяэен, и получить ~ т те(е'= ~ ~р» пИА+ ') <р т пИЯ вЂ” ~ сьт пИЯ, (2.8.6) где А — действительная граница жидкости, включающая внутреннюю и внешнюю границы, соответственно А, (с нормалью и = — п,) и Ав (с нормалью и = па), там, где ови имеются, а нормаль и к перегородке Я имеет то же направление по отношению к действительным границам, что и нормаль, используемая для определения положительного значения к. Функции «ре и <р представляют собой значения функции ер по обе стороны от перегородки, причем ер+ относится к той ее стороне, направление которой определяется нормалью и.
На рис, 2.8А приведены эти обозначения для случая двусвязной области между двумя бесконечно длинными цилиндрами. Когда точка Р (х) движется в положительном направлении из одного положения ва одной стороне перегородки з соседнее положение на другой ее стороне, ве пересекая перегородку, изменение функции ер равно <р — ~р+ — — ~ т дх=х.
(2.8.7) 152 2.8. Беаввхревое соленовдальвое течевне в двусвяакых областях Следовательно, ~ ч тдг'= ~ ~рт нЫА+м~ т пИЯ. (2,8.8) Последний интеграл равен объемному потоку жидкости через перегородку. Далее, правая часть равенства (2.8.8) равна нулю для движения, характеризуемого разностью у — ~ре, если только циклические постоянные движений, определяемых по отдельности функциями у и гре, равны и обеспечивают выполнение условий описанного ранее вида, накладываемых на граничной поверхности А как на функцию у, так и на функцию «ре. Другой способ обращения в нуль правой части равенства (2.8.8) для движения с потенциалом ~р — фе состоит в том, чтобы установить, что движения, определяемые по отдельности функциями ~р и ~р», создают одинаковый объемный поток жидкости через перегородку.
Однако такой способ установления единственности течения практически менее полезен, чем способ определения циклической постоянной. В случаях циклического течения, в которых нормальная компонента скорости т заранее аадана на всей гравице А жвдкости, можно и полезно для дальнейшего представить скорость т в виде двух, определяемых единственным образом частей, каждая из которых по отдельности вносит свой вклад в правую часть равенства (2.8.8). Одна часть, например уы определяется однозначным потенциалом «р„таким, что произведение в.чпр, имеет вполне определенную величину ч в во всех точках границы А, а другая— тт — определяется многозначным потенциалом грт, который имеет заданную циклическую постоянную к и удовлетворяет уравнению и ьг<ра — — О во всех точках границы А.
Тогда ~ т,.ттбр= ~ Ч.(<рг~.„т<рт)НК= ~ ~ргп '(г<рзг(А=О (2.89) т. е. обе части т, и те взаимно ортогональны в интегральном смысле, и соотношение (2.8.8) принимает вид 3 т «г(Р = тг.тг ЫУ+ ~ тт.тздр = = ~ <р1тг вИА+ к ~ тв ° в ИЯ. (2.8АО) 153 Упражнение Покажите, что интеграл по перегородке Я в соотвошенкн (2.8ЛО) не ааекснт от ее выбора, в то время как в общем случае для соотношения (2.8.8) втого утверждать вельая. Гл. 2.
Кннематнна поля течения 2.9. Трехмерные поля течения, простирающиеся в бесвонечиость Асимптотические варавкения для скоростей и, и и, Если жидкость простирается в бесконечность во всех направлениях и находится там в состоянии покоя, а в дальнейшем будет предполагаться, что это именно так, то скорость объемного расширения Л и завихренвость со обычно также обращаются в нуль на бесконечности.
Интегральные выражения (2.4.5) и (2.4.11) для слагаемых и, и в, скорости н (х), обусловленной ааданными распределениями Л и ю, по-прежнему будут решениями основных уравнений (2.4.2) и (2.4.7), если только соответствующие интегралы по бескояечной области жидкости сходятся. Во многих случаях, представляющих практический интерес, величины ~Л ~ и )ю ~ быстро стремятся к нулю с увеличением расстояния от внутренней границы жидкости и можно наложить довольно сильные ограничения на порядки их величин, чтобы получить полезные результаты для асимптотических выражений скоростей п, и и, при больших значениях ~х~. Рассмотрим сначала безвихревое поле скорости п,(х), связанное с заданным распределением величины Л и определяемое выражением (2.4.5). Если ~Л (х') ~ достаточно быстро убывает при г' -~ оо, то величина интеграла в выражении (2.4.5) будет определяться главным образом центральной областью, окружающей начало координат; поскольку для этой области 1 1 в г' с ошибкой порядка г в, когда г велико (в =)х — х'~, г =(х~), можно приближенно считать, по .(х)яс — —,' ~~А йу(х)~ у — ' (2.9Л) при г- ао, Это можно доказать путем рассмотрения отдельных частей интеграла (2.4.5) по области г' ( аг (интеграл 1,) и по области г' ) аг (интеграл 1з), где а ~ 1.
Если Л (х') изменяется как г' ", когда г' велико, то ввтеграл 1з пропорционален гг "при больших г. В подинтегральном выражении интеграла 1, имеем г'( г, и, следовательно, можно разложить в-г в ряд Тейлора по х', причем достаточно написать только первый член с с-', и учесть, что остаточный член имеет порядок г-'.
При подходящем ограничении, наложенном на и, а именно при и ) 3, интегралом 1з можно пренебречь, и тогда получается выражение (2.9Л). Асимптотическая формула (2.9.1) определяет безвихревое поле скоростей, связанное с одиночным источником в начале координат, выделяющим объем жидкости со скоростью, равной 154 2.9. Трехмерные поля течення, простнравнлнеся в бесконечность А (х') ЫУ (х').
Если интенсивность этого источника обращается в пуль, то второй член ряда Тейлора для фувкции в-т вужио сохранить, причем фупкция з ' в подинтегральпом выражении 1, заменяется с ошибкой порядка г в па 1 — *' ч —; г г ' отсюда следует, что при г - со и более строгом ограничении и ) 4 имеем и (х) ж 4 ~ ~ х'Л ЫУ(х )~ Ч (Ч вЂ” ) . (2.9.2) В данном случае асимптотическое выражение определяет безвихревое ноле скоростей, свяаанпое с диполем источников интенсивности ~ х'Л'Ыт' (х') в начале координат (9 2.5).
Если и этот последиий интеграл равев нулю, то тем же способом находится приближение более высокого порядка. Аналогичные замечавия можно сделать относительно слагаемого и„ (х), представляющего собой солепоидальвое поле скоростей, связавиое с задаипым распределением вектора от и определяемое по формуле (2.4.11). Можно показать точно таким же образом, что если )от(х)~ имеет порядок г " (и ) 3), когда г велико, то (2.9.3) и (х) ж — — ~ ~ от'с5'(х )~ х 17 —. 4н () г Это асимптотическое выражепие определяет распределевие солеиоидальпой скорости, связанное с постояпвой завихреиностью внутри элемента объема в качало коордиват (ср.
(2.4.12)), причем произведеиие завихрепяости иа элемент объема равио ) от'Ыг' (х'), или, иначе говоря, связано с элементом вихревой нити в пачале координат, причем произведевие (векторпого) элемента длины па интенсивность вихревой нити равно ~ от'Иг'(х'). Однако все вихревые линии являются замкнутыми кривыми, расположевяыми в жидкости (или в некоторой расширеииой области, которая выходит за пределы виугреивей границы и по которой должен браться объемный интеграл в (2.4.11) и (2.9.3), как объяснялось в $2.4); вследствие этого интеграл в выражении (2.9.3) обращается в нуль; в этом формально можно убедиться с помощью тождества ~ ю~(х) НУ(х) = ~ ~г (х~ю) НУ(х), формулы Остроградского — Гаусса и яа основании предполагаемой малости )ее~ при больших г. 155 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
