Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Следовательно, поток завихренности вдоль вихревой трубки не зависит от выбора открытой поверхности, используемой для г) Этот полезный термин, который будет встречаться в дальнейшем, означает, что вамкпутая кривая может быть стянута в точку нутем пеырерывной деФормации, не зкзодя ыэ абзасжк, заяжяап лсидяжтвзю. для стягпваемай замкнутой кривой, проведенной в жидкоагя, всегда можно укааать отнрытую (незамкнутую) поверхность, которая огранячена этой кривой и расположена целиком в жндкоагя (причем эта поверхноеть образуется замкнутой крявой в процессе сс непрерывного стягивания в точку). испи область, занятая жидкостью, адносвяэна, та все вамкнупзе пряные в жидкости стягиваенн; если область не адносвязна, та некоторые замкнутые кривые будут нестягиваемыми.
Поле течения, которое мы сейчас будем рассматривать, обусловлено цилиндром бесконечной дляны, движущимся в бесконечной массе жидкости; область пространства, занятого жидкостью, в дамном случае двусвязна, и замкнутые кривые в жю(пасти, охватывающие цилиндр, являются иеетягпваезпзня. 128 2.6. Распределение завпхренпостн его измерения, н называется интенсивностью вихревой трубки. В случае вихревой трубки бесконечно малого поперечного сечения ее интенсивность равна произведению площади поперечного сечения на величину локальной завихренности, при этом интенсивность одинакова в лтобом сечении трубки. Отметим, что вихревая трубка не может оканчиваться внутри жидкости.
Применение теоремы Стокса к замкнутой кривой, лежащей полностью на вихревой трубке и охватывающей ее один раз, дает ~ ю пйА=~ и с(х, (2.6.2) где пбА — элемент открытой поверхности, ограниченной этой замкнутой кривой. Криволинейный интеграл от скорости жидкости по замкнутой кривой называется циркуляцией; таким образом, циркуляция по любой стягиваемой замкнутой кривой равна потоку завихренности через открытую поверхность, ограниченную этой кривой, или, что эквивалентно этому, равна интенсивности вихревой трубки, образованной всеми вихревыми линиями, проходящими через эту кривую.
Вихревые нити Многие поля течений характеризуются тем, что в окрестности некоторой линии в жидкости значения завихренности значительно болыпе, чем в других местах течения ') (зта линк. обязательно всюду параллельна вектору ат, так как в противном случае не будет возможности удовлетворить уравнению ~г еб = О). Полезная математическая идеализация получается в таких случаях на основании предположения, что вихревая трубка, в которой оу ~0, сужае*ся и превращается в кривую линию с интенсивностью вихревой трубки, сохраняющейся постоянной и равной, скажем, х.
Таким образом, имеется особая линия в распределении завихренности, которая полностью определяется (поскольку речь идет о ее вкладе в поток завнхренности через любую поверхность) величиной и и положением самой линни; она может быть названа вихревой нитью интенсивности н (и ее не следует смешивать с вихревой линией или линией завихренности).
Соленоидальное распределение скорости, которое связано с существованием одиночной вихревой нити в нсидкости, всюду в которой завихренность равна нулю, сразу находится из выражения (2.4.11). Действительно, если 61 — векторный элемент длины вихревой вити, которая расположена в элементе объема б'зг, то ю с)1~ = кб1, б ') С подобной концентрацией завихренности связанм такие яввения, иак торнадо, водовоРоты, туманныс сведи, которые остаытся аа концами крывьев самолета, совершаювгего прутов разворот.
129 е-озуз Гл. 2. Кпнеиатпна поля течения Р и с. 2.ЕЛ. Соленоидальное распределение снорсстей течения, совдаваеного пряноли- нейнай вихревой нитью интенсивности и. так что выражение (2.4 11) дает х й вХо)(д') по =- ~' 42 У ве (2.6.3) где з = х — х', а криволинейный интеграл берется по замкнутому пути, продолженному, если нужно, за пределы жидкости, как объяснялось в з 2.4. Соответствующее соотношение для магнитного поля, создаваемого вокруг задвинутого проводника с постоянным током, называется законом Бно — Савара.
В очень простом случае прямолинейной вихревой нити бесконечной длины (всюду вне ее завихренность нулевая) скорость и„ всюду расположена в азимутальной плоскости относительно прямолинейной нити, ее направление соответствует положительной циркуляции относительно вихревой нити, а величина на расстоянии а от вихревой нити равна (рнс. 2.6 1) ха Г о( и (и„( =- — ) 4и,) (св+ (в)3!2 зяс (2.6.4) можно считать, что на бесконечности два конца прямолинейной вихревой нити соединены вихревой нитью в форме, например. полуокружности радиуса хх, поэтому добавок к скорости и, от этого криволинейного пути имеет порядок х( х, и, следовательно, им можно пренебречь.
Кроме того, распределение скорости (2.6.4) можно получить и непосредственно на основании осевой симметрии распределения завихренности и применения равенства (2.6.2) к дуге окружности с центром на вихревой нити. Дая е если вихревая нить искривлена, то значения скорости и, в точках вблизи нее будут приближенно определяться по формуле (2.6.4), так как тогда интеграл в выражении (2.6.3) в основном зависит 130 2Я. Расиределе>и>е зааихреииости от близлежащего приближенно прямолинейного участка вихревой нити (см.
з 7.1). Можно также отметить, что зто двумерное соленоидальное поле, связанное с прямолинейной вихревой нитью, моя ет быть описано с помощью функции тока; сопоставляя выражения (2.2.10) н (2.6.4), видим, что м = — !и о. 2и (2.6.5) В полностью двумерном поле течения соответствующий член с особенностью называется точечныл вихрез>. Другую формулу для соленоидального поля скорости, связанного с одиночной вихревой криволинейной нитью интенсивности и (всюду вне ее завихрениость нулевая), можно получить, обращаясь снова к выражению (2.4.10) векторного потенциала В„. По аналогии с теоремой Стокса для скалярной величины, интегрируемой по замкнутой кривой, имеем м Н! (хб и, (х) -- С7 х В, = >у х $ — 4 >>х ) (~' — ~ Хна(х), где пбА — элемент площади любой открытой поверхности, ограниченной вихревой нитью.
Используя тот факт, что л ! т7. Ч вЂ” =- — '(> — = О, л 8 находим скорость па (х) =. — 4 ~ в'>Ул (>7л' ) пА(х'). Она может быть записана в виде на (х) 4 у )~ (2.6.6) где Я(х) = ~ — зе)А(х') — телесный угол, стягнваемый вихревой нитью в точке х; положительное направление нормали и совпадает с положительным направлением циркуляции вокруг вихревой нити. Соответствующая формула в теории злектромагнетизма также хорошо известна. Подобно тому как точечный диполь и другие более сложные особенности строились посредством соответствующего наложения одиночных точечных источников, так и другие линейные особенности можно построить, исходя из вихревых нитей.
Линейный вихревой диполь можно получить, взяв одну прямую вихревую нить интенсивности и, проходящую через точку х' + (1/2) бх', и дру- Гл. 2. Кинематика полн течения Р н е. 2.2.2. линшг тока двувгерного еозеноидапьного течения, еоздаваемого вихревым дппопем. грункнггя тона возрастает на одну и тт же еелнчйну между каждой парой еоеедних линий тока. гую — интенсивности — к, проходящую через точку х' — (1/2) бх' (где через х' и бх' временно обозначены векторы в плоскости, нормальной к вихревым нитям), и устремив х к бесконечности, а ! бх' ! к нулю таким образом, чтобы произведение кбх' имело конечный предел Х. Получающееся при этом двумерное соленоидальное распределение скорости можно представить функцией тока т)(х)= — — )ь зух.(1по)= —, " ", (2.6.7) где и = ( х — д ~. Все линии тока в плоскости, нормалыюй вихревым нитям,— окружности 2), проходящие через точку х, с центрами на прямой, проходящей через ту же точку параллельно вектору 1 (рис.
2.6.2). Можно легко показать, что соленоидальное распределение скорости, связанное с вихревым диполем в двух 3) Зто еправедвиво дпя линий тока в случае любых двух параявеэьныь вихревых нитей, интенемвноетн которых равны па вепичнне и противопопожны по анаку н которые проходят через любые тачки х' и х' в ппоекооти, ортогопатьной к этим вихревым пинням; в этом можно убедиться, йоходя иа вмражения Етнкпни тока — 1п— к от 2п ог гпе о~=~я — х 1 и ! ее=~ х — х'1.
3 2.6. Распределение завохрвзвоств измерениях, совпадает с распределением скорости безвихревого течения, обусловленного диполем источников (в двух измерениях), расположенным в той же самой точке и перпендикулярно к вихревому диполю. Вихревая пелена Иа практике также встречаются случаи, в которых величина завихренности велика всюду в окрестности некоторой поверхности в жидкости (которая, кроме того, должна быть поверхностью, на которой расположены вихревые линии ю), например, в полях течения вокруг крыльев самолета и других несущих тел (з 7.8) и при некоторых движениях плохообтекаемых тел (3 5.11). Очевидно, что локальные свойства такой поверхности с концентрацией завихренности определяются вектором Г= ) юНх„, где х„— расстояние по нормали к поверхности, а интеграл берется по малой области с, содержащей эту поверхность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
