Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Примеры семейств линий тока, описывающих двумерные поля течений с равными интервалами значений функции ф между всеми парами соседних линий тока, приведены на рнс. 2.6.2, 2.7.2 и др. Выражения для компонент скорости вдоль любых ортогональных координатных линий можно непосредственно получить через функцию ф либо путем использования (2.2.9), либо с помощью соотношения между функцией ф и объемным потоком жидкости между двумя точками. В полярной системе координат (г, 0) путем вычисления потока мея ду парами соседних точек на координатных линиях г н О н последующего прнравнивання его к соответствующим приращениям функции $ (при этом учитываются знаки, согласно выражению (2.2.8)) находим 1 д~) дФ г г доз Читатель может установить полезное общее правило для двумерного течения, которое состоит в том, что дифференцирование функции ф в определенном направлении дает компоненту скорости, повернутую на 90' по часовой стрелке от этого направления.
Наконец, для двумерного течения несжимаемой жидкости нужно отметить, что функция ф может быть многозначной функци- 110 2.2. Сохранение массы ей координат. Предположим, что через некоторый замкнутый контур в жидкости существует результирующий объемный поток жидкости т; этот поток может возникнуть в результате образования избыточного количества жидкости в области, ограниченной этим контуром (например, когда жидкость из трубки вытекает в эту область) или вследствие изменения объема части замкнутой области, не занятой жидкостью (например, когда газовая каверна, окруженная водой, расширяется или сжимается). Если теперь выбрать два различных пути, соединяющих две точки О и Р, которые вместе образуют замкнутую кривую, охватывающую указанный контур, то объемные потоки через две объединенные кривые отличаются на величину и (илн в более общем случае, на величину Рт, где Р— число, показывающее, сколько раз замкнутая кривая обходит внутренний контур).
Тем самым разность (тр — тус) в точке Р зависит от выбора пути, соединяющего эту точку с начальной точкой О, и она может принимать любое из ряда значений, кратных т. Такой вид многозначности скалярной функции связан с распределением скоростей в области, которая не является односвязной, и будет более подробно рассмотрен в з 2.8. Это присуще не только двумерному течению, хотя в последнем такая неоднозначность встречается чаще всего. Если теперь течение симметрично относительно некоторой оси, скажем а = О, то уравнение сохранения массы для несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах (х, а, гр) с соответствующими компонентами скорости и, и, ш имеет вид ') ди ь д (по) С7 и = — + — =-О. дл ' и до Отсюда видно, что выражение (пибп — ообх) — полный дифференциал, равный, например, бф Текиле образом, 1 дтр У= — —— с дл и =- —— $ дФ и дп (2.2.11) и функция тд (х, а, г) определяется интегралом тр — тра= ~ а(игло — лтслх), (2.2.12) ') Выраигения для дивергенции и других векторных операторов в проиввольнсй ортогональной криволинейной системе координат и в частности в цилиндрической, приведены в прилоягении 2.
111 где криволинейный интеграл берется вдоль произвольной кривой в осевой плоскости, соединяющей некоторую начальную точку О и точку Р с координатами (х, а). Следует отметить, что азимутальная компонента скорости ш не входит в уравнение сохранения массы в случае осевой симметрии и ее нельзя получить из функции тока т(ь Гл. 3. Уравнения движения жидкости течении, имеем Вр .ой —,=0 —, =0. 0Ф ' Р Согласно теореме Бернулли, величина Н = —.д*+ — +Ч' р 2 (3.5Л6) с' т р где грТ = — = — —.
Для газа, движущегося с большими 7 т т т р скоростями (болыпимн по сравнению со скоростями, получающимися при свободном падении в диапазоне рассматриваемых высот), влиянием массовой силы тяжести можно пренебречь, и тогда остается простое соотношение между скоростью д и температурой Т на любой линии тока в установившемся изэнтропическом течении.
Газ теплее в тех местах на линии тока, где его скорость меньше, имеет максимальную температуру Те в критической точке (еслн она существует); произведение срТе для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями равно знтальпии торможения. Если движение отнесено к осям, вращающимся с постоянной угловой скоростью Й, мы должны предположить, что на единицу 212 в установившемся нззнтропическом течении принимает одно и то же значение во всех точках линии тока. Поскольку р не изменяется вдоль линии тока, а Ч' — известная функция координат (она равна — й х в случае однородной силы тяжести), теорема Бернулли дает простое соотношение на линии тока между двумя важными переменными, скоростью д и давлением р, Как мы увидим из последующих глав, зто простое соотношение весьма полезно, когда сжимаемостью реальных жидкостей можно пренебречь.
Для совершенного газа мы имеем термодннамическое уравнение состояния (см. (1.7Л5) и (1.7.19)) р = (ср — ср) рТ (3.5Л7) н интегральные выражения для Е, 1 и Я ((1.7.20) и (1.7.21)). С их помощью находим Т=Е+ — "= ( ори= 1 — 'Ыр. (3,5.18) В этих соотношениях удельные теплоемкости ср и с, — функции только температуры. В обычных условиях, описанных в 3 1.7, величины ср и с, приближенно постоянны; в этих условиях связь между давлением р и плотностью р прн иззнтропическом изменении состояния выражается формулой р рт, а Н= , 'де+с,Т+ Ч', (3.5Л9) 2.3.
Анализ отиеситсльиаго движения а окрестности точки 2.3. Анализ относительного движения в окрестности точки Сила, приложенная со стороны одной части жидкости к соседней, зависит от того, как деформируется жидкость в процессе двннсения, и прежде чем перейти к рассмотрению динамики движения, нужно проанализировать характер движения жидкости в окрестности каждой точки. Этот анализ аналогичен производимому в теории локальной деформации упругого твердого тела при замене деформаппи и угла поворота частицы твердого тела на скорость деформации и угловую скорость вращения частицы жидкости.
Скорость жидкости в точке х в момент времени г обозначена н (х, 1), а ее мгновенная скорость в соседней точке х + г равна и + 6и; тогда в прямоугольной системе координат ди; би>=г;— да1 с точностью до величин первого порядка малости по сравнению с расстоянием г меи ду двумя точками. Геометрический характер относительной скорости 6и, рассматриваемой как линейная функция г, можно выяснить путем разлонсения производной ди>/дх,, которая представляет собой тензор второго порядка, на две части— симметричную и антисимметричную по индексам и >'. Итак, 6и> = 6иР> + 6и<'>, > > где 6и!'> = г>еы, 6и1а> = гД>п (2.3.2) 1 ди; ди> > 1 ди> ди> да; Два слагаемых 6и>,'> и 6й'>> выра>кают отдельные и по существу различные часта относительной скорости, к рассмотрению которых мы и приступаем.
Очевидно, что первое слагаемое можно представить з виде и1 > г>е» д (2.3.4) где Ф = (1/2) гаг>еа> (2.3.5) поскольку е>1 — симметричный тензор второго порядка. Поверхности, на которых Ф, рассматриваемая как функция от г, постоянна, образуют семейство поверхностей второго порядка, и вектор 6н>о параллелен локальной нормали к такой поверхности, проходящей через точку с. Природа этой части величины 6п станет яснее, если выбрать направления ортогональных осей координат так, а-езтз Гл.
2. Кинематика поля течения чтобы внедиагональные элементы тензора егт обратились в нуль, что всегда можно сделать. Тогда эти оси координат совпадут с главными осями тензора ем и семейства поверхностей второго порядка, а Ф =-. —, (аг,' +- Ьг," + сг',*), (2.3.6) где г'„г,', г,' — компоненты вектора г в новых осях.
Коэффициенты а, Ь и с — диагональные компоненты тензора е;';, полученные по общей формуле преобразования деа дг~ е(/=- —, —, еы, де' де' (2.3.7) и они удовлетворяют инвариантному соотношению ди; а+ Ь+с — — е е= ем = —. (2.3.8) 114 Величина биге в новых осях имеет три компоненты (аг'„Ьг,', ет ).
Поэтому любой линейный элемент жидкости вблизи точки х, параллельный оси г', (так что для всех точек на линейном элементе значения г,' н г,' одинаковы), сохраняет свое направление и растягивается со скоростью е'и = а. Подобным же образом все линейные элементы жидкости, параллельные осям г,' и г,', растягиваются со скоростями Ь и с без поворота (поскольку рассматривается только лишь величина бпоа ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
