Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Условия на границе между двумя средами «п ' ,нинрнисение бгу джжрхнесжнее нетежение неяряигение б~~ Р и с. 1.»дн к выводу соотножения между нанрижениямн на двух сторонах грснвны двух жидностез. у 1 а~1Пу — агаву= — У 1 — + — ~ ПМ '1В, В,1 (1.9.8) где Л, и Вх — радиусы кривизны линий пересечения поверхности раздела любыми двумя ортогональными плоскостями, содержащи- 101 ством испарения жидкости, в результате которого должно возникнуть приближенное равновесное состояние, характеризуемое не непрерывностью состава среды на поверхности раздела, а скачком от устойчивой жидкой фазы к газу, «насыщенному» паром. Свойства сохранения, которые связаны с соотношениями переноса, также приводят к граничным условиям, которые легко сформулировать, если отклонения от равновесия малы в смысле 3 1.6.

Рассмотрим, например, условие сохранения тепла для малого прямого цилиндра, образующие которого параллельны направлению локальной нормали и к границе между двумя средами, а основания расположены по одному в каждой среде. Если длину цилиндра взять намного меньше любого его поперечного размера, то условие сохранения тепла требует равенства потоков через его основания, т. е.

Янп'тЛ)среда т = (йнп 'тттТ)среда г (1.9.7) в каждой точке границы. Значения коэффициента теплопроводности ян могут отличаться по обе стороны границы, и равенство (1.9.7) в общем случае означает разрыв градиента температуры и трТ при переходе через нее. Аналогичные соображения применимы к потоку количества движения через границу между двумя средами, хотя здесь необходимо учитывать эффект поверхностного натяжения. Мы еще не получили общего выражения для переноса количества движения в движущейся среде, но можем написать граничное условие через тензор напряжения агу из $1.3.

Когда длина упомянутого выше цилиндра стремится к нулю, сувума сил, действующих на два основания цилиндра, должна уравновешиваться результирующей сил натяжения, прилад'енных к цилиндру со стороны поверхности раздела вне цилиндра (рис. 1.9.4). Как уже было показано, эта результирующая сил натянтення эквивалентна (если поверхностное натяжение постоянно) давлению на поверхности раздела в направлении центра кривизны, поэтому граничное условие принимает вид Гл. 1. Физические свойства жидкостей ми нормаль и; величины ггг и ггт считаются положительными, когда соответствующий центр кривизны расположен по гу сторону поверхности раздела, в которую направлена нормаль и.

Когда две жидкости неподвижны, тензор напряжений имеет вид — рбьу н граничное условие (1.9.8) сводится к более простому соотношению (1.9.2), В более общих условиях, в которых поверхностное натяжение изменяется вдоль поверхности раздела двух жидкостей из-за неравномерности температуры или (чаще всего) концентрации адсорбируемого вещества на поверхности раздела, имеется касательная компонента результирующей силы, действующей на злемент поверхности раадела вследствие неоднородного поверхностного натяжения.

Нетрудно показать, что в атом случае к правой части равенства (1.9.8) нужно добавить (Чу)„где Чу — градиент величины у на поверхности раздела. Такая касательная компонента силы на поверхности раздела двух неподвижных жидкостей не может быть уравновешена напряжениями. Упражнения 1. Два сферических мыльных пузыря радиусами а~ и ат объединяются в один. Покажите, что радиус г вяовь образовавшегося пузыря определяется уравяением рсге + 4угт = ре (аг е+ ать) + 4у (ад а+ а~а), где ре — давление среды вне пузырей, у — натяжение па поверхиестк раздела воздух — жидкость. 2.

Твердая сфера радиуса а покоится на плоской твердой яоверхности, и точку контакта окружает небольшое количество жидкости в форме плоско- вогнутой линам, диаметр которой мал по сравнению с а. Угол контакта жидкости с каждой иа твердых поверхностей равен нулю, а натяжение вв поверхности раздела воздух — жидкость равно у. Покажите, что существует сила сцепления величиной 4яау, действующая иа сферу.

(Заслуживает внимания тот фант, что эта сила сцепленвя не зависит от объема жидкости.) 3. Несколько небольших твердых тел плавает на поверхности жидкости. Покажите, что действие силы поверхностного натяжения должно привести к сближению двух соседних тел, если оба тела вли смачиваются, илп не смачиваются жидкостью, и к удалению их друг от друга, если одно пз вих смачивается, а другое не смачивается. Лвтература к главе 1 Соыге11 АГ Н., Тпе Месйап(са1 Ргорегс(ев о1 Маттес, Уонип %11еу апд Бопв. 1964. [См.

также Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берл Р., Молекуляриая теория газов и жидкостей, ИЛ, М., 1961.— Ред.) КИНЕМАТИКА ПОЛЯ ТЕЧЕНИЯ 2Л. Основные понятия Гипотеза сплошной среды позволяет воспользоваться простым понятием локальной скорости жидкости, и нужно теперь обсудить вопрос о том, каким образом поле течения в целом можно представить в виде совокупности локальных скоростей жидкости. Возможны два различных представления.

Первое, обычно называемое представлением Эйлера, аналогично определению электромагнитного поля, в котором параметры течения определяются как функции координат х и времени П Основным параметром поля течения является вектор скорости жидкости, который записывается в виде и (х. г). Можно считать, что такое эйлерово представление течения дает картину распределения скорости жидкостн в пространстве (и других параметров, например, плотности и давления) в процессе ее движения для любого момента времени. Второе, или лаеранжево, представление использует тот факт, что некоторые динамические и физические параметры, так же как и в механике частиц, относятся не только к определенным точкам пространства, но также (и это более существенно) и к определенным частицазь В этом случае параметры течения зависят от времени и от выбранного элемента жидкости и изучается изменение со временем динамических параметров этого выбранного элемента.

Поскольку элементы жидкости изменяют форму при движении, нам нужно отождествить выбранный элемент так, чтобы его линейные размеры не затрагивались; один подходящий для этой цели способ состоит в том, чтобы определить элемент вектором а его центра масс в некоторый начальный момент времени 1, в предположении, что первоначальные линейные размеры элемента достаточно малы, чтобы обеспечить их малость в любые последующие рассматриваемые моменты времени, несмотряна деформирование элемента.

Поэтому основным параметром течения в представлении Лагранжа является вектор скорости ч (а, е), Представление Лагранжа полезно в некоторых специальных случаях, но оно приводит к довольно сложному анализу,и основной его недостаток состоит в том, что опо не дает непосредственно градиентов скорости жидкости. Нам нет необходимости систематически использовать это представление, и в дальнейшем в основном будет применяться представление Эйлера.

Тем не менее остаются 103 Гл. 2. Кинематика поля течения важными понятия о жидких объемах, поверхностях и линиях, которые всегда состоят из одних и тех же частиц жидкости и движутся вместе с ними, и они часто будут использоваться в рамках эйлерова представления поля течения. Итак, при анализе течения основной зависимой переменной будет функция и (х, с), а другие переменные течения, например давление, также будут рассматриваться как функции от х и й Когда скорость и не зависит от времени г, говорят, что течение установившееся (или стационарное). Линия в жидкости, касательная к которой в любой ее точке параллельна направлению скорости и в данный момент времени д называется линией тока; семейство линий тока в момент времени Е представляет собой решения системы уравнений вх вв вл и(х,б о(х0 и(хц' ( ' ' ) в которой и, и, ю — компоненты скорости вдоль осей прямоугольнои системы координат, а величины х, у, г — компоненты вектора х.

В установившемся течении линии тока имеют одинаковую форму в любые моменты времени. Родственным понятием является трубка тока, которая представляет собой поверхность, образуемую в некоторый момент всеми теми линиями тока, которые проходят череа данную замкнутую кривую в жидкости. Траектория движения элемента жидкости вообще не совпадает с линией тока, хотя она совпадает с ней в том случае, когда движение установившееся.

Кроме линий тока и траекторий, для целей наблюдения полезно определить линию отмеченных частиц, на которой расположены все те элементы жидкости, которые в некоторый более ранний момент времени проходили через определенную точку пространства; следовательно, когда краска или какое- либо другое помеченное вещество медленно выпускается в некоторой фиксированной точке в движущейся жидкости, видимая линия, воаникающая в жидкости, и есть линия отмеченных частиц.

Если течение установившееся, то линии отмеченных частиц, линии тока и траектории совпадают. Говорят, что поле течения двумерное (или плоское), когда скорость и (х, с) в любой точке составляет прямые углы с определенным направлением и не зависит от перемещений, параллельных этому направлению. Поэтому всегда можно выбрать прямоугольну)о систему координат (х, у, г) таким образом, чтобы компонентами скорости н в двумерном течении были и, и, О, где и и с не зависят от г.

Поле течения называется осесимметричним, если все компоненты скорости и, с, ю по отношению к цилиндрическим координатам (х, а, ~р) (при соответствующем выборе направления линии о .= О) не зависят от азимутального угла ~р. В некоторых осесимметричных полях азимутальная, или окружная, .1 04 2Л. Основные понятии компонента скорости ю всюду равна нулю и вентор скорости расположен в плоскости, проходящей через ось симметрии.

В некоторых других полях течений только компонента ю отлична от нуля и линиями тока являются окрул ности с центром на оси симметрии. Дифференцирование по направлению движения жидкости Очевидно, что в установившемся поле течения элемент жидкости может иметь ускорение, когда скорость и изменяется вдоль его траектории. Производная дп/д~ не равна ускорению элемента в точке х в момент времени д так как элемент находится в этом положении только в данный момент времени.

Правильное выражение для ускоРения элемента жидкости можно найти только учитывая, что элемент, находившийся в точке х в момент времени находится в точке х+ пбе в момент времени /+ бг' и что иаменение его скорости за малый промежуток времени равно и (х -)- пбс, 8+ 6/) — и (х, г) = бг ( — + и ~7п ) + 0 (6/в) . Таким образом, ускорение элемента жидкости прн (х, г) есть в +" ~п.

Характеристики

Список файлов книги