Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Линейные элементы жидкости, не параллельные какой-либо одной из осей координат г,', г,', г,', в общем случае подвергаются как растяжению, так и вращению, но только в тех пределах, которые необходимы для чистого растяжения линейных элементов, параллельных наной-либо одной из ортогональных осей.
Говорят, что величина бпоэ определяет чисто деформационяое движение. Величина сы называется птенаором скоростей деформации и полностью задается направлениями своих главных осей и тремя главными скоростями деформации а, Ь, с. Другое описание поля относительных скоростей бпол состоит в том, что оно превращает элемент жидкости вблизи точки х из сферического в эллипсондальный с главными осями, которые не поворачиваются и скорости растяжения которых равны а, Ь, с. Для несжимаемой жидкости этот эллипсоид имеет постоянный объем и ем равно нулю (см. равенство (2.3.8)). Для сжимаемой жидкости чисто деформационное движение можно рассматривать как наложение, во-первых, изотропного расширения, при котором скорость растяжения всех линейных элементов равна (1/3)ец, а соответствующий добавок в выражение для Ф равен (1/6) гагаеп, и, во-вторых, деформационного двняеения без изменения объема, для которого добавок в выражение Ф равен (1/2)г,г, (ею — (1/3) ембы).
2.3. Анализ относительного движения в окрестности точки где го„о>з, гоа, очевидно, представляют собой колшоненты вектора оц коэффициент ( — 1/2) выбран для упрощения последующего выражения (2.3.10). Соответствующая часть величины би,равна 1 бинг 1=- ГДц = — — Зг/аГ1ГОа, т. е. представляет собой 1-компоненту вектора (1/2) ю Х г, Поэтому величина бпоэ есть скорость в точке с координатой г по отношению к точке, относительно которой происходит вращение элемента как твердого тела с угловой скоростью (1/2) ю.
Явные выражения компонент вектора ю получим из выражений (2.3.3) и (2.3.9): диа д"е «о, = — —— дхт дха дие диг юа= — —— дх, дхе или в векторной форме ю=Чхп. (2.3.10) Вектор ю играет важную роль в механике жидкости н называется локальной завихрекностью жидкости или вектором вихря. Обычно в практике общего векторного анализа векторную функцию координат, имеющую нулевой ротор, принято называть безвихревой в связи с указанной связью между вектором Ч Х и и локальным вращением жидкости.
Можно непосредственно убедиться, что вектор тг' х и равен удвоенной локальной угловой скорости жидкости. По теореме Стокса ) (~г х и) и ЫА = ~ и г(г для любой незамкнутой поверхности А, ограниченной замкнутой кривой, элемент которой равен бг. Для площадки, ограниченной окружностью малого радиуса а с центром в точке х и единичной нормалью и, касательная компонента скорости, осредненная по окружности и отнесенная к радиусу круга а, равна —, ~ п Ыг — —, (17 х и) в. 1 (2.3.11) Жидкость не вращается как твердое тело относительно точки х, так что нельзя говорить, что она имеет локальную угловую скорость в обычном смысле; для деформируемой жидкости требуется несколько более общее определение угловой скорости, и выраже- 115 8а Обращаясь к слагаемому бп<ю, видим, что величина зц представляет собой антисимметричный тензор только с тремя независимыми компонентами, н его можно записать в общей форме 2ц = — (1/2) зцьгод, (2.3.9) Гл.
2. Кинематика поля течения иие в левой части равенства (2.3.11) естественно считать определением компоненты локальной угловой скорости, параллельной нормали и. Чисто деформационное движение, представляемое величиной бпо>, никак не влияет на эту угловую скорость. Полезно также рассмотреть выражение для момента количества движения сферического элемента яеидкости с центром в точке х, а именно интеграл ",) дке е>зет/(ил+ т, — ) р е>т'(г). При интегрировании по объему элемента величина ие и ее производная дие/дх, постоянны; поэтому первый член суммы обращается в нуль и момент количества движения относительно оси х равен е>де — ~ т/т>р Ы(/ = — зма — /ЬП = — «>>1, (2.3.12) деь Г 1 дие де> 3 2 '> де> 2 где 1 — момент инерции элемента жидкости относительно любой оси, проходящей через его центр.
Это как раз та величина момента количества движения, которую имел бы сферический элемент, если бы он вращался как твердое тело с угловой скоростью (1/2)еь Следует отметить, что этот вывод не справедлив для элемента произвольной формы, так как тогда момент количества движения, вообще говоря, зависит от деформационного движения, представляемого величиной бпо> (это ясно из рассмотрения момента количества движения элемента в виде длинного тонкого эллипсоида, когда его большая ось не параллельна одной из главных осей деформации), а также от вращательного движения, представляемого величиной бпы>. В заключение отметим, что с точностью до величин первого порядка малости по сравнению с линейными размерами малой области, окружающей точку х, поле скоростей в этой области в целом представляется наложением а) однородного поступательного движения со скоростью и (х); б) чисто деформационного движения, характеризуемого тензором еы скоростей деформации, которое может быть разложено на изотропное расширение и деформационное движение без изменения объема; в) поворота как твердого тела с угловой скоростью (1/2) е>.
Аналитически это сводится к тому, что скорость в точке х+ + г представляется приближенно как (2Л.13) и> (х) + — ( —, т/те е/е ) + —, з > /ее>/те, где е» и ю> вычисляются в точке х. 11Е 2.3. Анализ относительного движеиия в окрестности точки Простое движение сдвига Типичным примером относительного поля скоростей, которое часто встречается на практике, является простое движение сдвига (коротко сдвиг), в котором плоские слои жидкости скользят друг относительно друга. В этом случае относительная скорость 6и имеет всюду одно и то же направление и изменяется только в одном направлении.
перпендикулярном к направлению бп. При соответствующем выборе осей координат производная ди;/дхт не обращается в нуль только при 1 = 1, / = 2, и, следовательно, 6п= (гг — ', О, 0) и Ф= —,' (. +Ь;.*)— = 4 (а+ Ь) г -+ 4 (а — Ь) (г1' — гл'), где г' =- г", + г",. Затем повернем оси координат еще на 45' так, чтобы вектор г имел компоненты (г",, г,") и Ф = 4 (а+ Ь) гл — — (а — Ь) г",г,". 1 л 1 (2.3.15) 117 Ф= —,г,гг — ', ю= ~0, О, — — '). (2.3.14) Главные скорости деформаций равны (1/2) ди,/дхг, — (1/2) ди,/дхз и нулю соответственно вдоль главных осей, направления которых относительно исходной системы координат определяются единичными векторами (1/)/2, 1/г'2, 0), ( — 1/ 2, 1/к'2, 0) и (О, О, 1) соответственно.
На рис. 2.3.1 показано, каким образом деформационное и вращательное движения суммируются в точках окружности на плоскости (г„гг), образуя простой сдвиг. Такое представление простого сдвига в виде налолеения чисто деформационного движения (с нулевой скоростью расширения) и вращения как твердого тела позволяет выбрать его в качестве основного элемента при изучении поля относительных скоростей более общего вида; иногда зто оказывается весьма полезным. Прежде чем приступить к общему случаю, покажем, что любое двумерное поле относительных локальных скоростей можно представить путем наложения симметричного расширения, простого сдвига и квазитвердого вращения жидкости.
Сначала разложим поле относительных скоростей на чисто деформационное и вращательное движения, подобно сделанному выше, и повернем оси координат так, чтобы они совпали с главными осями тензора скоростей деформации. Тогда Гл. 2. Кинематика поля течения Р н с. Й.ЗЛ.
Простое движение сдвига вблизи точки, разложенное на чиста деформационное двшкение и вращевие. Главные оси деформациониого движения наклонены под углами сб' к осям г, а гз Результирующее движение обозначено сплошными стрелками, деформационнос — пунктирными стрелнами, а вращение — штриховыми. Первое слагаемое дает симметричное расширение, в котором все жидкие линии растягиваются со скоростью (1/2)(а + Ь) = = (1/2) ~ и, а из равенств (2.3.14) видно, что второй член совместно с квазитвердым вращением с угловой скоростью (1/2)(а — Ь) относительно нормали к плоскости движения дает простой сдвиг; отсюда следует сформулированный выше результат.
Аналогично в общем трехмерном случае любое поле относительных локальных скоростей может быть представлено наложением симметричного растяжения, двух простых сдвигов и одного квазитвердого вращения. Как и раньше, разлагаем движение на вращение и на чисто деформационное движение, причем для последнего в главных осях координат Ф = — (Дгз + ЬГз л- СГз ) = = — г е, г + —, с и — — е; ~) (г' — г' ) + — ( Ь вЂ” — еп ) (г' — Г' ). =С 2( З / г ' 2( З "! Первый член дает сферически симметричное расширение, при котором объем жидкого элемента увеличивается со скоростью згг.п на единицу объема, а второй и третий соответственно определяют двумерное чисто деформационное движение с нулевым объемным расширением, которое, как было показано ранее, может быть представлено наложением простого сдвига и подходящего квази.
твердого вращения; отсюда и получается указанный результат. Следует отметить, что два простых сдвига, которые необходимы для представления данного поля относительных скоростей, можно 118 2.4. Распределеппе скоростей прп аадаппыа й и се выбрать несколы ими различными способами (в соответствии с тем. что внедиагональный элемент тензора скоростей деформаций определяет простой сдвиг с точностью до любого из двух квази- твердых вращений с равными по величине и противоположными по знаку угловыми скоростями). 2.4. Распределение скоростей при заданных скорости расширения и завихренности Дивергенция и ротор векторной функции координат являются основными дифференциальными операторами векторного анализа, не зависящими от выбора системы координат.
Применительно к полю скоростей они дают его локальную скорость расширения (дивергенцию) Л и локальную завихренность (ротор) вк (2.4.$) чхи=ю. В $ 2.3 было показано, что мгновенное относительное перемещение жидкости вблизи любой точки состоит из 1) некоторого изотропного расширения, при котором скорость увеличения объема жидкого элемента на единицу объелаа равна Л, 2) чисто деформационного движения без изменения объема и 3) квазитвердого вращения с угловой скоростью (1(2) ю.
Очевидно, что значительная часть информации о распределении скоростей в целом обеспечивается распределениями величин Л и ю во всей жидкости. Иногда случается. что распределения величин Л и ю заданы или могут быть найдены из условий движения жидкости, и тогда полезно проверить аналитически, в какой степени при этом определяется поле скоростей. Поскольку рассматривается относительное движение вблизи некоторой точки, то чисто деформационное движение без изменения объема остается пока неопределенным; однако далее мы увидим, что имеются весьма сильные ограничения, налагаемые на распределение этих чисто деформационных движений по всей жидкости в целом.
Наша задача состоит в том, чтобы построить распределение скорости, дивергенция и ротор которой задаются значениями га и е во всех точках жидкости, а затем (в 4 2.7 и последующих) рассмотреть свойства полей скоростей с нулевой скоростью объемного расширения и нулевой завихренностью. Начнел» с известного распределения скорости расширения Л и определим любую возможную скорость, например и„такую, чтобы везде выполнялись соотношения (2.4.2) ~гхи,=О, не касаясь других свойств и,. Один способ выбора скорости и,. удовлетворяющей соотношениям (2.4.2), заключается в том, что Гл, 2. Кинематика поля течекпя можно полол)ига п„= ~?с))„'(у'тр, = Л. (2.4. 3) (Этот выбор, конечно, не произволен; из векторного анализа известно, что при достаточно общих условиях любая векторная функция координат может быть представлена в виде суммы двух векторов час)) и )) Х В, из которых только первый может илють ненулевую дивергенцию и нулевой ротор.) Известно, что решение уравнения Пуассона (2.4.3) относительно функции )р, есть ') ср, (х) = — — ) — с))г(х'), ) Г Ь' 4п,) а (2.4.4) где в — модуль вектора в = х — х', штрих означает значение в точке х', а интеграл берется по объему, занятому жидкостью; заданное распределение Л должно, конечно, быть таким, чтобы интеграл в правой части выражения (2.4.4) существовал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
