Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Предполагая далее, что малый обьем е постепенно стягивается к точке х', а интеграл ~ Л "Ы)г(х") е сохраняет постоянное значение. равное, например, т (это значит, что ) Ь ! -~- оо при е -н 0), приходим к математическому понятию точечного источника жидкости, для которого безвихрекое поле скоростей задается точными формулами Гл. 2. Кннематпна подя течения Р и с. 2.6л.
течение, возникающее при отсссе среды через открытмй понед трубы, приблизительно такое же, как и течение, создаваемое точечимм стоком. вается ') со скоростью М единиц объема в секунду, приблизительно такое же, как и течение, порождаемое в неограниченной жидкости точечным источником интенсивностью — 2М. Однако более важную роль точечный источник играет в теоретической гидромеханике в качестве одной из математических моделей, с помощью которых могут быть построены более сложные и более интересные поля течений. В оставшейся части этого параграфа показывается возможность построения полей течения с использованием в качестве основы такого источника.
Математическос понятие точечного источника получается путем локализации его в точке. Можно получить другую особенность, локализованную аналогичным образом, предположив, что источник и сток с равными интенсивностями т расположены в точках х' + (1/2) бх' и х' — (1/2) бх' соответственно. Если расстояние бх' между ними устремить к нулю, а интенсивность т — к бесконечности таким образом, чтобы проиаведение йчбх' стремилось к конечному пределу )з = 11ш тбх', бл' б то получится особенность, называемая дилолем (источников) интенсивности (д в точке х'. Безвихревое поле скоростей, связанное с диполем, представляет собой наложение полей, обусловленных Ч Причина того, почему жидкость должна втекать в трубу и е отверстие в плоскости, а не вытенать из низ, дзя того чтобм поле скоростей можно было представить точечвыз( источником или стоком, связана с влияняем вязкости жидкости на твердой границе.
жид ь, которая вытекает из трубы или из отверстия в плоскости, обычно принимает форму струи. Спичку нежно погасить, только подув на нее, а не втягивая в се еоаду кост, бя з' 124 2.5. Особенности скорости расширения. Источнпачг п стони Р м е. 2.5.2. Ляпни тока в осевой плоскости для течения, создаваемого диполем источников. Функдпя тона возрастает на одну и ту же величину между квкдой парой соседних линий тока. по отдельности источником и стоком, и повтому оно имеет потен- циал фг (Х) = — 11Ш 4 ~ х- ) Сх'-хе ~ х — х' — — бх' х — х'+ — Ьх' ~ 1 1 1 1 = — — ( ух — = — р Ч.— 4п ' х' з = 4гг ' х (2.5.3) к скорость пе (х) хтгре (х) ° -- )а ' 97х ~ 'ух ) 1 у 4 )а хух( ~ ) "= 4 ~ —,-'-3 — ", в~.
(2.5.4) Поле скоростей (2.5.4) имеет осевую симметрию (с нулевой азимутальной компонентой) относительно направления )з, и компоненты скорости п„ которая является соленоидальным вектором всюду, за исключением точки х = х', можно по этой причине выразить череа функцию тока тр (з 2.2). В сферических координатах (г, 8, гр) с началом в точке х' и О : О в направлении )а радиальная компонента скорости и,. согласно (2.2.14), записывается в виде Зр ., 1 Вн В с Е 9991пз Зй з 2п зз 2п где (а =- ()з (; следовательно, 9!вт О 4п з (2.5.5) 125 Гл. 2. Кииеметикв поля течеиия причем произвольная функция интегрирования определяется (равной нулю) из условий для поперечной компоненты скорости п„которая также находится из равенства (2.5.5). На рис.
2.5.2 показана картина линий тока в осевой плоскости для течения, обусловленного диполем. Заметим (это важно для дальнейших приложений), что при г -е оо скорость, связанная с изолированным источником в точке х', стремится и нулто как г ', в то время как скорость, создаваемая диполем, стремится к нулю как г '. Другое важное свойство состоит в том, что поскольку интенсивности источника и стока, составляющих диполь, равны, то результирующий полный поток жидкости через поверхность, охватывающую диполь, отсутствует; для непосредственного представления реальных полей течения жидкости это свойство делает диполь более полезным, чем отдельный источник. Аналогично можно получить другие, более сложные точечные особенности тем же методом, который был применен для построения диполя, исходя из отдельного источника.
Если диполь интенсивности р поместить в точку х' + ($/2) бх', а другой — интенсивностью — р — в точку х' — (1(2) бх' и если ( бх' ~ устремить к нулю и при этом ! )е ~ растет таким образом, что произведение р; 4х,' стремится к конечному пределу, например тце то получается точечная особенность, для которой связанное с ней распределение скоростей находится из выражения потенциала Эту особенность можно также рассматривать (в предельном случае) как наложение двух равных источников, расположенных в противоположных вершинах малого параллелограмма определенной формы вблизи точки х', и двух равных стоков такой же интенсивности, как интенсивность источников, в других его двух вершинах. Характер распределения скоростей, связанного с особенностями высшего порядка, непосредственно ясен из выражения потенциала (2.5.6).
Можно представить, что пики в распределении скорости объемного расширения жидкости находятся на некоторых линиях и поверхностях в жидкости, и тем самым определить линию и поверхность особенностей. Так же как полный объемный поток жидкости от точечного источника имеет заданную ненулевую величину, так и поток на единицу длины линии распределенных источников пе равен нулю, и он измеряет линейную плотность интенсивности источников (которая может быть неодинаковой во всех точках линии). Подобным же образом поток на единицу площади поверхности источников отличен от нуля и представляет собой меру поверхностной плотности интенсивности источников. 126 2.6. Распределение аавихрсиисстн Диполи и особенности более высокого порядка также можно распределить по линиям и поверхностям с ненулевой и конечной плотностью.
Если линейная плотность интенсивности источника равна т в любой точке (х', у') линии, параллельной оси з, то каждый элемент бг' линии можно рассматривать в качестве точечного источника интенсивности тбз', и безвихревое поле скоростей (и... пс, О), связанное с линией в целом, определяется по формулам ОО 4л 1 гз 2л оа С (2.5.7) и,(х, у) =- — ) да'= —, т Г у — у', ги у — у' 4л ) Ф 2л па где аа = (х — х')' + (у — у )"-. Скалярная функция, градиент которой имеет приведенные выше составляющие, записывается в виде ~р,(х, у) =- ~ )по.
(2.5.8) Следует заметить, что попытка получить функцию (2.5.8) непосредственно путем интегрирования выражения ~р, для точечного источника по всем значениям г' оказывается беауспешной, так как интеграл расходится; однако он расходится не по переменным (х, у) (появляется бесконечно большая постоянная) и функция (2.5.8) представляет собой конечную часть интеграла, которая зависит от (х, у) н которая вследствие этого и выражает поле скоростей. Эта однородная и прямая линия источников в трехмерном поле эквивалентна, конечно, точечному источнику в двумерном поле. Компоненты скорости (2.5.7) можно было бы вывести, исходя с самого начала из понятия точечного источника интенсивности т, расположенного в точке (х', у') двумерного поля; тогда результирующий поток жидкости на единицу площади (или объемный поток на единицу глубины поля течения) через все кривые в плоскости (х, у), охватывающие точку (х', у'), будет равен т.
2.6. Распределение завихреииости Имеется много причин, по которым более удобно представлять движение жидкости, исходя из понятия завихренности, а не скорости, несмотря на ее более простой физический смысл. Кроме того, оказывается, что во многих важных случаях можно и полезно разделить поле течения на две области с различными свойствами, причем в одной из них завихренность почти всюду приближенно равна нулю. Изучению того, как изменяется распределение 127 Гл. 2. Кинематика поля теченнн аавихренности, будет часто уделяться внимание в последующих главах. Мы еще не готовы описывать влияние на завихренность различных сил, действующих в жидкости, однако можем отметить чисто кинематические следствия определения вектора завихренности е в виде ~7 )( и или его эквивалентного определения как удвоенной локальной угловой скорости частиц жидкости.
Одно из таких следствий — тождество С7е =О. (2.6.1) Линия в жидкости, касательная к которой в каждой точке параллельна локальному вектору завихренности, называется вихревой линией, а семейство таких линий в любой момент времени определяется уравнением, аналогичным уравнению (2.1.1). Поверхность в жидкости, образованная всеми вихревыми линиями, проходящими через данную стягиваемую ') замкнутую кривую, проведенную внутри жидкости, называется вихрепой трубкой.
Поток завихренпости через открытую поверхность, ограниченную стягиваемой кривой и целиком расположенную в жидкости, определяется интегралом ~ е п(1А, где пб з — алемент площади поверхности; можно воспользоваться соотношением (2.6.1), чтобы показать, что этот интеграл имеет одно и то же значение по любой такой открытой поверхности, расположенной в жидкости и ограниченной любой замкнутой кривой, лежащей на вихревой трубке и один раз охватывающей ее. Действительно, если и'6А' и и "6А" — элементы площади двух таких открытых поверхностей (направления векторов и' и и" имеют одинаковый смысл по отношению к вихревой трубке), то по формуле Остроградского — Гаусса для объема жидкости, между этими поверхностями и связанной с ними частью вихревой трубки е' и'((А' — ~ е" и" дА"= ~ (7 е((У=О, причем добавок в интеграл на поверхности вихревой трубки равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
