Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 31
Текст из файла (страница 31)
3), однако в данном частном случае безвихревого соленоидального течения ограничения, налагаемые на распределения скоростей, оказываются настолько сильными, что сводятся к требованию, чтобы распределение скорости т в пространстве удовлетворяло простым линейным уравнениям (2.7.4) и (2.7.5) независимо ни от каких изменений во времени '). Уравнение (2.7.5) — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и относится к уравнениям эллиптического типа 9). Известно, что решения таких уравнений и все их производные по компонентам вектора х конечны и непрерывны во всех точках, за исключением, возможно, некоторых точек на границе поля.
(В противоположность этому ') Вонроо о том, допускают лн дянэмячеекие уравнения ооленаидельиое безвихревое распределение екорооти, требует, конечно, дополнительного исследования. Для определеыных условий ответ вв этот вопрае палошительный (ем. 9 9.9). В денном перегреве, ввозющемая толька кинемэтяки щидкооти, исследуются аеайатвз Сункпии т (х), вб определеявю удовлетворяющей урэенеииям (2,1.1) в денный момент времени, в который зэдвны (нулевые) екороеть рееширения Ь и зввихренноеть ю. э) па общей теоряп дяйбпрендиззьных уравнений е чэотными производными второго порядке ом. Эоммераезьд А., диаференпивльные уравнения в частных производных яиэики. ИЛ, М., 1950; Нурзнг Р., Уравнения а чэетными ироязводныыя, «Мир», М., 196М 438 2.7. Распределения сноростп прп Л = О и м = О решения уравнений гиперболического типа, например волнового уравнения, могут быть разрывными во внутренних точках области.) Таким образом, гладкость распределения скорости обеспечивается во всех точках жидкости, за исключением тех точек границы, в которых задаются некоторые особенности, например резкое изменение направления касательной плоскости при наличии угла или кромки; эти особенности входят в граничные условия.
Свойства решений уравнения (2.7.5) сильно зависят от топологии области пространства, в котором справедливо это уравнение. Если область, занятая жидкостью, односвязная, то любая пара кривых, соединяющих две точки 0 и Р и расположенных в жидкости, вместе составляют стягиваемую замкнутую кривую, при обходе по которой циркуляция равна нулю, так что функция ср, определяемая по формуле (2.7.3), представляет собой однозначную функцию х. Если область, занятая жидкостью, многосвязная, то разность ~р (х) — ~р (ха) также имеет одно и то же значение для всех тех путей, любые два из которых образуют стягиваемую замкнутую кривую, однако эта разность может принимать различные значения для других путей и поэтому может быть многозначной.
Пока будем считать, что жидкость занимает односвязную область; менее важный случай течения в многосвязной области будет изучен в з 2.8. Условия единственности для определения ~у~р Важный результат, касающийся условий, при которых функция ~р определяется однозначно с точностью до произвольной аддитивной постоянной, можно установить следующим путем. Запишем сначала тождество ~7 (<рт) =т 'Рр+(р~7т =г т и воспользуемся им, чтобы переписать следующий интеграл по объему, занимаемому жидкостью: ') т хну=- ~ ~7 (~рг) ~л". Если произведение ~рт представляет собой однозначную функцию координат, как это и бывает, если жидкость занимает односвязную область пространства, то по формуле Остроградского — Гаусса можно преобразовать этот интеграл в интеграл по поверхности А, ограничивающей рассматриваемый объем.
Следовательно, для области жидкости, ограниченной извне поверхностью Аа и, возможно, также ограниченной изнутри поверхностью А„имеем т чту= ~ ~рт-пзЫАз — ~ ~рт п~ ЫАо (2.7.6) 139 Гл. 2. Кинематика поля течения Рис. 2.7А. к рассмотрению обтаоти живности. ограниченное изнзтрн новерхноетью А, и извне поверхноотью А,. где и, и пз — единичные векторы нормалей к элементам поверхности бА, и бАю являющиеся внешними по отношению к замкнутым поверхностям А1 и Ах (рис.
2.7.1). Соотношение (2.7.6) дает замечательный результат, ааключающийся в том, что всегда, если нормальная компонента вектора ч равна нулю во всех точках внутренних и внешних границ, то ч «ог'=.О, и, следовательно, вектор ч должен быть равен нулю всюду в жидкости. Это означает, что никакое безвихревое движение несжимаемой жидкости, содержащейся в односвяаной области внутри твердых границ (через которые поток массы жидкости должев быть равен нулю), не может возникнуть, если хотя бы часть границы не движется с ненулевой компонентой скорости в направлении локальной нормали.
Тот факт, что только одно решение уравнений (2.7.1) (а именно « = 0) совместимо с нулевой нормальной компонентой скорости всюду на границах, показывает, что заданные значения нор. мальной компоненты скорости « на границах области единствев ным образом определяют значение скорости всюду внутри области Это именно так, в чем можно весьма просто убедиться, заметив, что если ч = 17<р и «» = 171р» — два решения уравнений (2.7.1), то их разность (ч — ч») есть также решение, и соотношения (2.7.6) можно переписать, подставляя в них вместо «разность « — «* и вместо ер — разность (1р — гр»).
Условия, при которых существует не больше одного репгения, т. е. при которых всюду « вЂ” «» =- = О, совпадают с условиями, которые тождественно обращают в нуль выражение (1р — ф ) (ч — «в) пхЫА2 — ~ (1р — врв) (« — «в) изаА1. (2.7.7) 140 2.7. Распределения скорости прп Л = 0 н ю = О Гслп нормальные компоненты скорости ч и ни имеют одинаковые заданные значения в каждой точке границ А~ и А, то (ч — чи) п=0 на поверхностях Аа и Аа, на которых выражение (2.7.7) обращается в нуль, и т =- ч* во всех точках жидкости. Аналогично выражение (2.7.7) обращается в нуль и в том случае, когда функции ~р и ~ри имеют одинаковые заданные значения в каждой точке этих границ, хотя такое условие единственности менее пригодно для практических задач. Равенство н и чи также выполняется всюду, если потребовать, чтобы было ф = гре в некоторых точках границ, а в остальных и ч = п.ч*.
Многие поля течений, рассматриваемых в механике жидкости, имеют ббльшую протяженность, чем соответствующие линейные размеры интересующей области, и полезная математическая идеализация в таких случаях состоит в том, что жидкость считается простирающейся до бесконечности. В частности, наиболее часто встречающийся тип течения создается твердым телом, движущимся через большое пространство, занятое жидкостью, которая в отсутствие тела находится в покое '); поэтому желательно установить теорему единственности для такого типа течения подобно тому, как это было сделано выше.
В доказательстве точно так же используется формула (2.7.6), причем в качестве поверхности А ° нужно взять сферу достаточно большого радиуса, заключающую в себе все внутренние границы. Однако оценка интеграла по поверхности А.. от произведения грч и требует тщательного изучения поведения функции ф на бесконечности, которое будет проведено в $ 2.9 и 2.10, и поэтому пока отложим обсуждение теоремы единственности для жидкости. простирающейся на бесконечность и покоящейся там.
Вывод состоит в том, что решение уравнений (2.7,1) для скорости ч единственно, если наложить некоторые альтернативные условия в каждой точке на внутренней границе, причем одно — наиболее важное — условие состоит в том, что нормальная компонента скорости р на границе принимает заданное значение.
Эти теоремы единственности имеют очень важные следствия для безвихревого течения несжимаемой жидкости. Распределение скорости в целом в таком течении (в односвязной области пространства) определяется единственным образом по заданным значениям нормальной компоненты скорости на любой внутренней илн внешней границах (если онн имеются) и. следовательно. в случаях. в которых ати границы представляют собой поверх- Х) Если скорость тела постоянна, ато течение идентпчно,конечно, течению при обтекании того же сапого неподвижного тела нотоиои жидкости, скорость которого а отсутствие тела была бы иостоннпою равной по велячине и противополон<ной во анан> скорости двюкения тела в ясходной аадаче.
141 Гл. 2. Кинематика поля течения ности твердых тел,— по заданному движению самих твердых тел. Таким образом, когда твердое тело движется через жидкость, которая в отсутствие тела неподвижна, ее поле течения определяется однозначно мгновенной скоростью тела (и его формой); ни ускорение, ни предыстория движения тела при этом несущественны '). В частности, когда жидкость ограничена неподвижными твердыми границами, она обязательно будет всюду неподвижна. Очевидно, что мгновенные движения тела и жидкости тесно связаны друг с другом (это укааывает на то, что уравнения (2.7.1) подходят для описания течения жидкости только при отсутствии у нее упругих и диссипативных свойств). Общее описание способа, которым определяется полное распределение скорости жидкости в односвязной области, можно закончить случаем, когда заданы распределения скорости объемного расширения и завихренности.
Как видно из (2.4.13), имеются три слагаемых в распределении скорости, одно из которых (и,) связано с заданным распределением скорости расширения, и оно определяется в явном виде по формуле (2.4.5), а другое (и,) связаыо с аадавным распределением завихренности и опредечяется явно выражением (2.4.11). Третье слагаемое (и = ~у(р) таково, что функция (р удовлетворяет уравнению (2.7.5), а скорость ч однозначно определяется по заданным значениям нормальной компоненты скорости и (или по заданным зыачениям функции ~р) ыа границе жидкости. Обычно бывает так, что выражения (2.4.5) для скорости и, и (2.4.11) для ы, имеют отличные от нуля нормальные компоненты ыа границе жидкости. Следовательно, значение нормальной компоненты скорости т, которое должно быть задано на границе, не будет просто нормальной компонентой действительной скорости жыдкости на границе, а равно разности между нормальными компонентами этой действительной скорости и суммы добавков от скоростей ц, и и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
