Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Два контура в области нааываются совмещаемыми, ') Мы ечвтаем оамоочеввдным то, что волн аанкнутая крявая не огягвваетоя, то невозможно надтн открытую поверхность, ограввченную еюа кривой в целиком лежащую в жндноетв, так что нельвя непольвовать теорему Стокса, чтобы покавать, что крнволяневныа внтеграл от векторе т по етоз крввон равен нулю. Несмотря нв очевидность етого утвержденяя, она в дезотввтельноетв корректно тлько для областей нроетранотва доотаточно простой топологвчеекоз етрунтуры в чвело ноторых входят облаотя, обычно встречающиеся в механнке жвдкоотя).
Вообще в проетранетве можно поотроять оеобые облаетн е выеоквы порядком овяейоотм, еодерягащяе некоюрме неетягнваемме кривые, которые тем не менее огранячввают открытые поверхноопг, целиком лежюнве в жидкОсти. $47 Гз. 2. Квнематкка поия течекня если их можно совместить друг с другом путем непрерывной деформации, не выходя из атой области, "иногда совмещаемость такова, что имеется взаимно однозначное соответствие между точками на обоих контурах (т. е. каждая точка одного контура совпадает только с одной точкой другого), а иногда при совмещении один из контуров превращается в двух-или многократный.
В односвязной области все контуры оказываются совмещаемыми (и стягиваемыми). В двусвязной области, такой, как внешняя область тора, все стягиваемые контуры совмещаемы друг с другом, а все нестягиваемые контуры, которые нанизаны на тор, совмещаемы друг с другом; однако никакой контур первой группы не совмещается ни с одним из контуров второй группы. Таким образом, существует в точности два несовмещаемых контура, которые можно провести з двусвязной области.
В л-связной области можно провести и несовмещаемых контуров, один из которых будет стягиваемым, а (и — 1) — нестягиваемыми. Каждая из (и — 1) перегородок, которые можно ввести в п-связную область без разделения ее на несвязные части, исключает один контур из общего числа [п — 1) несовмещаемых нестягиваемых контуров, которые можно провести в этой области.
Двусвязные области имеют большое значение в механике жидкости. Течение, создаваемое длинным твердым цилиндром, движу~цвмся в направлении нормали к своей оси, происходит именно в такой области, н тот факт, что некоторые замкнутые кривые в таком случае нестягиваемы, положен в основу теории подъемной силы ($6.6 и 6.7). Внешняя область тора двусвязна, и это используется при анализе движения такого рода, как движение дымового кольца (т 7.2). Течения в областях с порядком связности, большим двух, встречаются нечасто, но, во всяком случае, опираясь на результаты для двусвязной области, нетрудно получить результаты для областей с порядком связности три и четыре. Поэтому остальная часть этого параграфа будет посвящена течениям в двусвязных областях пространства.
Удобно использовать терминологию, относящуюся к конкретному случаю течения в двусвязной области вне твердого цилиндра конечной длины. Рассмотрим различные замкнутые кривые, которые можно провести в жидкости. Некоторые нз них оказываются стягиваемыми, и криволинейный интеграл от скорости т по этим кривым, согласно теореме Стокса, равен нулю. Те же кривые, которые один раз поляостью обходят вокруг цилиндра (делают один виток), будут нестягнваемыми. Любые две кривые, которые делают один виток вокруг цилиндра, являются совмещаемыми, причем для точек этих кривых выполняется взаимно однозначное соответствие; поэтому поверхность, образуемая этими кривыми в процессе совмещения, образует поверхность, расположенную в жидкости и ограниченную двумя замкнутыми кривыми.
По тео- 148 2.8. Беанихреиое оолеиоидадьное течение и диуоняаных областях реме Стокса для такой открытой поверхности ') криволивейпые интегралы от ч по двум замккутым кривым, взятые в одном и том же ваправлекии по отяошеиию к циливдру, равны; следовательно, ~ ч йх=к (2.8.1) для всех контуров, охватывающих циливдр один раз; иеизвестная величива н называется циклической постоянной ') поля скорости ч. Другие иестягиваемые кривые обходят цилиндр больше одного раза, например р раз. Любые две из таких кривых совмещаемы при наличии взаимно одпоэкачпого соответствия их точек, и теорема Стокса, примеяекиая, как и раньше, к полосе, образуемой при деформации их в процессе совмещения, показывает, что криволипейпые интегралы от ч по двум таким замкнутым кривым имеют одно и то же значение.
Однако среди контуров, обходящих цилиндр р раз, содержится коитур, который повторяет р раа замкнутую кривую, обходящую циливдр только один раз. Следователько, для всех контуров, обходящих цилиндр р раз, ~ч йх =рн. (2.8.2) Это равенство дает циркуляцию (связанную со скоростью ч) по любой замкнутой кривой, проведепвой в жидкости, при условии, что для кривой, не обходящей цилиидр, р равно нулю. Если теперь определить фупкцию )р (х), )р(х)=гр(хо)+ ч йх, (2.8.3) где интеграл берется по некоторому пути, лежащему в жидкости и соединяющему точки 0(хо) и Р (х), то, очевидно, значение фувкции ~р (х) зависит от выбора пути. Разпость между двумя виачекиями )р, соответствующими двум выборам пути из точки 0 в точку Р, равна криволинейному интегралу от ч по замкнутой кривой, образованной этими путями вместе, а этот ивтеграл, как показывает равепство (2.8.2), должен быть равен некоторому целолту числу, умиожекпому па циклическую постоянную н.
Таким образом, в двусвязкой области функция гр в общем случае мпогозначиа, причем разность между возможными значениями )р представляет собой величину, кратную к. Безвихревое солекои- ') Коли теорыеа Стокеа применяегея к открытой поаерхнооги, граница которой постоит иа двух или более нееаяаных аамкнутых криаых, то направление иитегрироеания для кРиволинейного интеграла по границе аыбараетея прогна чаеоаой отрелми относительно ноомали к соседнему е граняцей элементу поаерхноенг.
ю В п-еаяеиой области проотранотеа е полем екороегы т оаяаано (я — 1) циклачееких поотояниых. Гл. 2. Кннекатнка поля течения дальное поле течения в двусвязной области называется циклическим, если к не равна нулю; если же к = О, то оно называется ациклическим, и функция ~р однозначна, как в случае течения в односвязвой области. Следует отметить, что функция у, определяемая выражением (2.8.3), представляет собой, однако, непрерывную функцию от х (когда ~т ~ конечно). По мере того как точка Р движется непрерывно вокруг цилиндра в направлении против часовой стрелки, функция ~р изменяется непрерывно и увеличивается на величину к, когда точка Р возвращается в исходное положение после завершения одного полного обхода цилиндра. Для всех точек жидкости бесконечно малов изменение бх вектора х точки Р приводит к бесконечно малому изменению ч бх величины ~р, и, как и раньше, справедливо выражение т (х) = Чср (х).
где Я вЂ” телесный угол, стягиваемый замкнутой вихревой нитью в точке х. Как и ожидалось, функция ~р (х) возрастает на величину к, когда точка с координатой х пробегает один раз по любому замкнутому пути вокруг вихревой нити в положительном направлении по отношению к вектору ее завихренности. В предельном случае прямолинейной вихревой нити бесконечной длины вихревую нить можно замкнуть полуокружностью бесконечного радиуса, так что р(х)= — "Е, зн (2.8.5) где 6 — полярный угол, отсчитываемый в направлении против часовой стрелки в плоскости, вормальвой к вихревой нити, причем в точке с координатой х направление 6 = 0 относительно $50 Конечно, вектор т представляет собой однозначную функцию от х в любых условиях.
Одним примером циклического безвихревого соленоидального течения может служить течение, создаваемое вихревой нитью, подобное описанному в 3 2.6. Поле скорости и, в безграничной жидкости, связанное с одиночной вихревой нитью (которая обязательно либо замкнута, либо ее концы простираются в бесконечность), по определению всюду соленоидальвое и безвихревое, за исключением точек на самой вихревой нити; позтому в двусвязной области всюду вне вихревой вити и, = ~ц, и циклическая постоянная для функции ~р равна интенсивности вихревой нити.
В самом деле, выражение (2.6.6) определяет в явном виде именно потенциал скорости течения, связанного с замкнутой вихревой нитью интенсивности к, т. е. ~р (х) = — — Й, (2.8.4) 2.8. Безвихревое соненоидадьнов твчвняе в двусвяапмх областях вихревой нити считается проиавольным. Следует отметить, что этот потенциал скорости дает то же самое поле течения, что и функция тока (2.6.5), и выражение для комплексного потенциала течения в плоскости д, нормальной к вихревой нити, имеет вид и (г) =- — — )пх. )и 2н Условия единственности для определения Чч~ Обсухсдение в 8 2.7 граничных условий, при которых решение уравнения Лапласа относительно функции ф единственно (с точностью до аддитивной константы), было связало с использованием формулы Остроградского — Гаусса при написании равенства (2.7.6), которое справедливо только в том случае, когда )р— однозначная функция координат.
Для течения в двусвязной области это обсуждение неприемлемо, если только циклическая постоянная не окажется равной нулю '). Однако существует простой способ использования полученных ранее результатов для нахождения достаточных условий единственности Ч<р, когда функция )р — многозначный потенциал скорости. Пусть )р и )р»вЂ” два решения уравнения Лапласа, которые, как известно, имеют одну и ту же циклическую постоянную; тогда разность этих решений «р — зря дает потенциал скорости ациклического движения и является однозначной функцией координат, к которой применимы полученные ранее выводы. Следовательно, безвихревое соленоидальное течение в двусвязной области определяется единственным образом, если наложены граничные условия, необходимые для получения единственного течения в односвязной области, и определена циклическая постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
