Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(Часто встречаются течения с многозначными потенциалами, поскольку рассматриваемая область многосвязна, но мы исключим такой случай, чтобы можно было воспользоваться теоремой Грина.) Точка Р (х) окружается малым кругом, площадь которого нужно исключить из области интегрирования по е', и вместо (2.9.9) находим добавок — 2пф (х) к интегралу по Ап Выражение объемного потока (2.9.10) остается без изменений, а вместо (2.9.12) находим ф (х) = ф — — 1и В + — ~ (ф'~7а 1п г+ 1п г ~7 ф') и, НА~ (х'), в котором ф (х, В) = — „~ ~ ф'ЫА»(х') (2.10.1) Вместо (2.9.14) получаем путем интегрирования выражения для потока, соответствующего выражению (2.9АЗ), (2.10.2) ф=с+ — 1пн, 2я где С вЂ” постоянная интегрирования, не зависящая от В; тем же способом, что и раньше, убеждаемся, что, когда ~ф обращается в нуль на бесконечности, постоянная С также не зависит от х, т. е. координат центра окружности Аг.
Затем вместо (2.9.16) получается ф(х) =С+ 2 ~ (ф9а1пг+1пгЧф).п~ЫА«(х). (2АО 3) Теперь можно установить асимптотическое выражение для функции ф. Действительно, из выражения (2.10.3) при г- ос следует ф (х) — С вЂ” — 1п г = — ~ ( —, ф'+ 1п — Чф') и, ЫА, (х') -э О. Тот факт, что ф не стремится к постоянной на бесконечности, в данном случае связан с тем, что слагаемое типа «источника» в разложении функции ф в ряд, соответствующий выражениям (2.9.20), которое представляет собой член с наименьшей скоростью убывания при г-ч- со, в двумерном случае вообще не убывает, а возрастает как 1п г. 167 Гл, 2. Кинематика поля течения Несмотря на это различие в поведении ~р при г -~ оо, условия единственности для Щ имеют такой же вид, как и в трехмерном поле течения.
Величину ~р — (т/2п) 1п г можно рассматривать как (однозначный) потенциал скорости поля течения, а он, как известно, стремится к постоянному значению на бесконечности в плоскости движения; следовательно, формула Остроградского— Гаусса, примененная тем же способом, который приводит к (2.9.17), для объема жидкости, ограниченного двумя плоскостями, параллельными плоскости движения, показывает, что градиент разности у — (т/2п) 1п г определяется однозначно всюду, если задано значение ее нормальной проиаводной в каждой точке внутренней границы.
Однако если значение нормальной производной от ~р в каждой точке внутренней границы известно, то навестим и величина т (результирующий объемный поток жидкости через внутреннюю границу) и нормальная производная от ~р — (т/2я) 1п г в каждой точке внутренней границы. Следовательно, задание нормальной производной от у в каждой точке внутренней границы всюду однозначно определяет величину чу<р. (Аналогично, если заданы т и р в каждой точке внутренней границы, то может существовать по крайней мере одно решение чар уравнения относительно <р.) Сделанные вьппе замечания применимы к однозначным потенциалам скорости, и, следовательно, они применимы к разности двух многоаначных потенциалов скорости, про которые известно, что они имеют одни и те же циклические постоянные.
Поэтому, по аналогии с $2.8, можно утверждать вообще, что двумерное безвихревое соленоидальное течение в области, ограниченной изнутри н простирающейся в бесконечность (где жидкость покоится), определяется однозначно, если заданы циклическая постоянная (или постоянные, если порядок связности больше двух) и нормальная компонента от эчр в каждой точке внутренней границы. В случае течения в двусвязной области вне одиночного цилиндра с циклической постоянной к можно продвинуться еще дальше; простое решение уравнения Лапласа, имеющее такой же циклический характер (и не дающее никакого вклада в величину т), имеет вид (и6/2п), где 6 — полярный угол в плоскости движения относительно начала координат в пределах внутренней границы, так что в этом случае ~р (х) — — 6 2я представляет собой однозначную функцию, к которой применимы полученные выше выводы и, в частности, точное выражение (2.10.3).
Теперь можно подробнее рассмотреть изменения функции ~р на больших расстояниях от внутренней границы путем разложе- 168 2АО. Двумерные поля течеиии, проотиреиилиеея в бееиоиечиооть ння ф в степенной ряд по г-', Если (г'/г) ( 1, то 1в г можно представить в виде ряда Тейлора по х', подобного ряду (2.9А8), н подстановка этого ряда вместо 1п г в выражение (2.10.3) для ф в случае однозначной функции ф дает ф (х) = С+ с !п г+ с~ — (!и г)+ сц — +..., (2.10.4) д де (1п г) где с=— с; =- —, 1 Г с,)= — ) 2л .) и чфЫА= —, 2и ' ( — хрв ~7ф+л~ф) ЫА, (. 1 — ахун'Чф — х~птф ~ АА, Интегралы берутся по внутренней границе жидкости, элемент которой в дальнейшем обозначается через пбА.
Фундаментальные решения уравнения Лапласа в двух кзмереннях, порождаемые членами этого ряда, а нменно !пг, д(1в г) де(1пг) (2.10.5) де~ ' де~ дху ' 169 называются круеояыми гармониками целой степени, и онн аналогнчны по своей роли сферическим гармоникам нз $2.9. Величина зависит только от направления вектора х, а кз формы уравнения Лапласа в полярных координатах (см. приложение 2) следует, что еслн г-е߄— решение, то г Б„также будет решеннем, дающим соответствующую систему фундаментальных решений положительных степеней по г. В случае многозначной функции ф, соответствующей течению в двусвяэной области вне цилиндра с циклической постоянной к, ряд (2.10.4) заменяется рядом ф(х)=С+ — „О+ — !пг+сф ) +сы ( ) + ° ° ° ° (2,10.6) в котором коэффициенты и, с„сп,...
равны соответствующим интегралам от функции ф — (к!2п) 6 н от ее нормальной пронзводной на внутренней границе. Первый переменный член в правой части разложения (2.10.6) представляет собой потенциал, обусловленный точечным вихрем (т. е. прямолинейной вихревой нитью в трехмерном пространстве, см. (2.8.5))'интенсивности к в начале координат, н учитывает многозначность функции ф; второй член представляет собой потенциал, обусловленный точечным нсточвиком интенсивности т в начале координат, к учитывает, как уже отмечалось, результнрующкй поток через внутреннюю гра- Гл. 2. Кинематика поля течения ннцу (как н в трехмерном пространстве он равен нулю, когда внутренняя граница твердая); третий член определяет потенциал от днполя источников (векторной) интенсивности — 2ясг в начале координат н т.
д. Многие нэ зтнх результатов можно естественно выразить через комплексный потенциал, введенный в $2.7. Аналитическая функция от з = х+ 1у, действительная часть которой представляет сумму потенциалов точечного вихря н точечного источника в разложения (2.10.6), имеет внд 1 — (лг — 1к) 1п г. 2п Функция тока гр, соответствующая этому комплекснолгу потенцкалу, многозначна вследствие существовання ненулевого потока через внутреннюю границу, как можно было ожидать яз определення функции ф в э 2.2. Многозначность функции гр аналогична многозначности функции ~р с заменой лг на циклическую постоянную к, я в этом состоит другое проявление сопряженности функций ~р н ф в двумерном безвкхревом соленоядальном течении. Комплексный потенциал, соответствующий другим членам в разложения (2.10.6), можно обнаружить с помощью соотношения дп1пт тг / дп1пг 1 7(.п т дп1пг г длт ддп-т т длт дгп-т ) ( дгп котороепоказывает,между прочим, что имеется только две незавнскмые круговые гарлюнккк степени — я, а именно действктельная я мнимая части от Ы" 1в г/~й", т.
е. г-п соз пО к г-и э1п пО. Таким образом, комплексный потенциал, соответствующий всему разложенню (2 10.6), люжно записать в виде ряда О 1 Ип1п г ю(г) = — (т — йе) 1пг+С+ ~>', В„ 2я и дап п=1 = — (пг — 1х) 1пг+ '~ ~А„г " 1 п=э (2.10.7) с комплексными константами 11„н Ап.
Действительная к мнимая части от А„ связаны с действительными коэффициентами С, сн с», ... разложения (2.10.6), например Ао = С, Аг = сг + гсг Аг = сгг — см 1сгг~ 170 где индексами 1 н 2 обозначены компоненты в направлениях осей х н у соответственно. Ряд в выражении (2.10.7) называется рядом Лорана для функции, аналитической н однозначной в области вне круга с центром в начале координат плоскости э я стремящейся к постоянной на бесконечности. ЗЛО. Двумерные поля течения, простирающиеся и бесконечность Бегвихревое соленоидальное течение, вызываемое поступательным движением твердого тела Так же как и в 3 2.9, можно получить специальные выражения функции ф, когда нормальная производная от ф на внутренней границе удовлетворяет простому условию и Чф =п.У, где П вЂ” скорость движения твердого тела, ограничивающего жидкость изнутри.
Однозначная функция ф, стремящаяся к нулю при и- оо, также удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям, которые линейны и однородны относительно ф и У и определяют ее однозначно, поэтому функция ф должна иметь вид где а — постоянная, а г и Π— полярные координаты, б = 0 в направлении скорости Ю. Соответствующая скорость жидкости имеет компоненты дф с7 соя О $ дф УеСпΠ— = — а , — — = — а дг ге ' г оО гг (2.10ЛО) и удовлетворяет как внешним, так и внутренним граничным условиям, если ~ ==Успей при и= — а, дср дг т. е. если а = — а'.
(2.10.11) Это единственно возможное решение, когда функция ф однозначна. Заметим для дальнейшего испольаования, что если оси координат движутся влсесте с цилиндром, а их начало расположено в его центре, то в зтих осях р(х)= — Ц х(1+ — ',) = — Ус зЕ(г+ — '„). (2ЛОЛ2) Если же в потоке вокруг тела, движущегося со скоростью У, имеется циркуляция н, то потенциал скорости можно записать 171 ф(х) =Ю Ф(х). (2.10.8) Неизвестная функция Ф (х) не зависит от 1) и зависит только от координат точки в нсидкости относительно тела.
В частном случае тела в форме круга радиуса а с центром, расположенным в данный момент времени в начале координат, никакой вектор или направление не являются предпочтительными для выбранной формы границы. Следовательно, единственным среди системы решений (2.10.5), которое вместе с У может иметь вкд (2.10.8), является второе. Позтому в рассматриваемом случае ср(х) =ал) Ч()п г) — — а — ', =а, (2Л0.9) Гл.
2. Кинематика поля течения в виде суммы слагаемого щ, представляющего собой течение, создаваемое тем же самым телом, движущимся со скоростью У и нулевой циркуляцией вокруг него, и слагаемого ф„описывающего течение с циркуляцией и вокруг того же самого тела в состоянии покоя; потенциал у, имеет выражение (2.10.8), а уэ во всяком случае не зависит от 1) и должен линейно изменяться по м,поэтому можно принять <рзь и ( — + Ч'(х)~, (2.10ЛЗ) где Ч' — однозначная функция от х, не зависящая от и.
Функ- ция Ч" удовлетворяет уравнению Лапласа, имеет нулевой гра- диент на бесконечности и на поверхности тела удовлетворяет условию .ч ( — „+зр) =О, (2.10Л4) поэтому она определяется единственным образом с точностью до адднтивной постоянной. В частном случае тела в форме круга с центром в начале координат (в данный момент времени) единственно возможный вид функции Чг есть просто Ч' = сопз1 (например, Ч" = О), так что в данном случае полный потенциал скоро- сти р = — 6 — аз— т (2.10Л 5) Линии тока и другие свойства этого и связанных с ним полей течения описаны в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
