Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Уравнение (3.2.1) справедливо прн любом выборе жидкого объема т; если подннтегральные выражения являются непрерыв- ными функцнямн х, то это возможно только тогда, когда равенство р — =ррг+— Вм дат (3.2.2) 181 Гл. 3. Ураввеввя движения жидкости выполняется во всех точках жидкости. Полученное дифференциальное уравнение, выражающее ускорение жидкости через локальную объемную силу и тензор напряжений, обычно называется »уравнением движения».
Оно принадлежит классу уравнений сохранения, представляемых уравнением (3.1.14), в котором объемные и поверхностные силы приводят к росту количества движения на единицу объема со скоростью, определяемой правой частью уравнения (3.2.2). Поверхностные силы оказывают влияние на ускорение жидкости только в том случае, когда тензор напряжений изменяется в жидкости от точки к точке или, более точно, когда величина пы имеет ненулевую дивергенцию по второму индексу, определяющему направление элемента поверхности; если дац/дх~ — — О, то влияние поверхностных сил на элемент жидкости сводится к его деформации без изменения количества движения.
Уравнение (3.2.2) нельзя использовать для определения поля скорости жидкости до тех пор, пока ничего неизвестно о силе Р, и тензоре напряжений аы. Объемная сила, действующая на жидкость, во многих случаях возникает под влиянием гравитационного поля Земли, для которого Р = б; в других случаях выражения для Р обычно очевидны из заданных условий. Тензор напряжений вызывает больше затруднений, поскольку он выражает действие внутренних сил в жидкости и сам подвержен влиянию движения жидкости, о чем будет говориться в следующем параграфе.
Применение уравнения количества движения в интегральной Яорме Хотя в большинстве задач механики жидкости требуется использовать уравнения движения в дифференциальной форме (3.2.2) или в некоторой ее разновидности, существует несколько важных случаев, когда это уравнение в интегральной форме для количества движения в определенной области жидкости сразу позволяет получить нужную информацию. Если использование интегральной формы для уравнения количества движения позволяет достичь цели, а обычно это делается легко и быстро, то его следует предпочесть дифференциальному уравнению движения.
На практике более удобно рассматривать количество движения жидкости, содержащейся внутри неподвижной в пространстве поверхности А, чем количество движения массы жидкости, поэтому получим уравнение количества движения в интегральной форме для жидкого объема, которое так же отличается от уравнения (3,2.1), как (3,1.15) отличается от (3.1.13), а именно, ИУ = — ~ ри,и~а~ АА+ ~ Реарду+ ~ аыне АА, (3.2,3) 182 3.2. Уравнение лвяжеяяя где оба интеграла берутся по объему У, ограниченному поверхностью А. Обычные условия, при которых это уравнение количества движения полеано, состоят в том, чтобы все члены в нем можно было написать в виде интегралов по граничной поверхности А, поскольку тогда подробности движения внутри области, ограниченной поверхностью А, не имеют эначения. Вклад массовых сил можно представить в виде поверхностного интеграла, когда рГ ьюжно записать как градиент скалярной величины; это возможно, если плотность р однородна и массовая сила на единицу массы потенциальна; в этом случае рР = — Ч (рЧ'), где функция Ч' — потенциальная энергия единицы массы.
Остающийся интеграл по объему в левой части уравнения (3.2.3), который обычно мешает применению интегральной формы уравнения, обращается в нуль в важном частном случае установившегося двин;ения. В этом специальном случае уравнение (3.2.3) можно записать в виде ~ ри>и>п>НА= ') ( — рЖп>+а>>п>)АА, (3.2.4) представляющем собой запись в аналитической форме того факта, что конвективный поток количества движения иэ области, ограниченной поверхностью А, равен сумме результирующей поверхностных сил, приложенных к границе области со стороны окружающей ее среды, и результирующей сил на границе, эквивалентных массовой силе. Уравнение (3.2.4) для установившегося движения часто называется теоремой количества движения (или уравнением импульсов), а граничная поверхность А, которая может быть выбрана произвольно, наэывается контрольной поверхностью. Примеры использования теоремы количества движения будут приведены в последующих главах, и они проиллюстрируют тот факт, что, хотя основной смысл этой теоремы достаточно очевиден, подходящий выбор контрольной поверхности может привести к удивительно сильным реэультатам, которые другим путем было бы трудно получить.
Поля течения частного вида, к которым эта теорема применяется в $5Л5, существенным обраэом зависят от сил вязкости; в $6.3 рассматриваются близкие к беэвихревым поля течения несжимаемой жидкости, в которой силы вязкости пренебрежимо малы. Уравнения движения в подвижных осях Если внешняя граница жидкости движется, то может быть удобным выбрать систему координат, по отношению к которой 183 Гз.
3. Ураввенкя авяжеэвя жвдкоста эта граница будет находиться в состоянии покоя. Тогда ускорение элемента жидкости в подвижной системе координат может отличаться от абсолютного ускорения в ньютоновой (ннерциальной) системе отсчета и нужно соответствующим образом видоизменить уравнение движения. Наиболее часто встречаются системы координат, совершающие поступательное или равномерное вращательное движения, однако не составляет особого труда получить выражение для ускорения элемента в системе координат, совершающей произвольное движение. Такое выражение содержится в любом учебнике по механике, но для полноты изложения мы приведем его вывод. Предположим, что в данный момент времени подвижная система координат вращается с угловой скоростью Я вокруг точки О, которая в свою очередь движется с ускорением $э в ньютоновой системе координат. Следовательно, абсолютное ускорение элемента равно сумме го+ гы где $, — ускорение этого элемента в движении относительно точки О.
Связь между ускорением 1, и относительным ускорением элемента во вращающейся системе координат определяется следующим образом. Если (), ), )г) — тройка ортогональных единичных векторов, фиксированных в подвижной системе координат, то любой вектор Р можно записать в виде суммы его компонент Р = Р,! + Р~ + Рэй. Изменение вектора Р с течением времени Г происходит как в результате изменения его проекций Р„ Рз, Р, в подвижной системе координат, так и в результате изменения единичных векторов 1, ), к вследствие вращения системы координат вокруг точки О; тогда скорость изменения вектора Р для наблюдателя, поступательно движущегося вместе с точкой О, равна (3.2.5) где производная (ИР/Нг)„ обозначает относительную скорость изменения вектора Р для наблюдателя во вращающейся системе координат.
Это соотношение можно применить сначала к радиусу- вектору у элемента жидкости, проведенному из точки О, а затем к вектору скорости ч, (элемента жидкости относительно системы координат, поступательно движущейся вместе с точкой О); в ре- 184 3.2. Ураввенве движение зультате получим ч,=( — ) +ЯХу, (3.2.6) 1,= (-',",~-) +Я Х.,= =(,~,~) +2ЯХ(+) +(д ) Ху+Ях(ЯХу). (3.2.7) Производная (НАР), = 1 есть относительное ускорение элемента в системе отсчета, совершающей поступательное и вращательное движения, а (йу/й)„= ч — относительная скорость элемента в этой же системе координат; скорость иаменения вектора Я, конечно, одна и та же как в абсолютной, так и во вращающейся системах координат. Таким образом, абсолютное ускорение элемента равно Е+ (е+ 2Я х ч+-~- Х у ~- Я х (Я х у). (3.2.8) дй Это выражение можно приравнять к локальной силе, действующей на единицу массы жидкости, и получить уравнение движения в подвижной системе координат.
Используя прежнее обозначение скорости и (х, е) эйлерова представления поля течения в подвижной системе координат, имеем 1= — +( Ч) дв пв дй гл относительные радиус-вектор элемента у и его скорость ч в выражении (3.2.8) можно заменить на х и н. При этом уравнение движения жидкости в подвижной системе координат совпадает по форме с уравнением движения в абсолютной системе, если предположить, что в дополнение к реальным массовой н поверхностной силам на единицу массы элемента жидкости действуют силы инерции — 1е — 2Я Х н — — Х х — Я Х (Я Х х). (3.2,9) Здесь — 1е — сила инерции поступательного движения системы, — 2Я Х н — поворотная или кориолисова сила, которая перпендикулярна векторам п и Я, а — ЯХ (Я Х х) — центробежная сила.
Остающееся слагаемое — (ЫЯ/й) Х х не имеет общепринятого названия (иногда оно называется вращательной силой инерции), Случай осей координат, которые равномерно вращаются относительно абсолютной системы координат и для которых 1е — — О, представляет особый интерес и будет рассмотрен в последующих параграфах. В этом случае массовая сила (3.2.9) имеет вид — 2Я х н — Я х (Я х х). (3.2.10) 185 Гл.
3. уравнения движения жидкости 3.3. Выражение для тензора напряжений Механическое определение давления в двилсущейся жидкости В $1.3 было показано, что в покоящейся жидкости действуют только нормальные напряжения, причем они не зависят от направления нормали к элементу поверхности, на который они действуют, и тензор напряжений имеет внд (3.3.1) где р — статическое давление в жидкости, которое может зависеть от координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
