Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В качестве первого приближения для напряжения всюду в газе можно взять — р,бц, где р, — его постоянное давленяе. Поэтому сравнение скачка напряжения на поверхности раздела и нормальной силы, вызванной поверхностным натяжением. дает в каждой точке поверхности следующие приближенные граничные условия для течения жидкости (предполагается, что оно происходит на той стороне поверхности раздела, от которой направлена нормаль п): (3.3.19) (3.3.20) Гл. 3. Уравнения движения жндкости Обычно можно считать, что на поверхности раздела Ь = О, если иметь в виду эффективную несжимаемость жидкости. Условия (3.3.19) и (3.3.20) соответствуют тому, что называется свободной поверхностью жидкости.
Условие непрерывности скорости на поверхыости раздела, как правило, в данном случае не используется; это следует из приближенного выражения напряжений в газе, поэтому распределение скоростей в газе интереса не представляет и может оставаться неизвестным '). Оба соотношения перехода на поверхности раздела необходимо использовать только в том случае, когда нужно найти распределения скоростей в жидкостях по обе стороны от жидкой границы. Уиралгнение Покажите, что адемент жидкой линна, который в начальный момент времени нормален к свободной поверхности жидкости, остается таким все время, пока он еупираетснз в нее. 3.4.
Изменение внутренней энергии движущейся жидкости Более глубокое понимание того, как поверхностные силы влияют ыа движение жидкости, может быть достигнуто при рассмотрении баланса энергии объема жидкости т, содержащейся внутри жидкой поверхности Я. Работа ыад этой массой жидкости совершается как объемными, так и поверхностными силами, и, кроме того, может подводиться тепло путем его переноса через границу. Некоторая часть полного увеличения энергии проявляется в виде увеличения кинетической энергии жидкости, а остальная часть, согласно первому закону термодинамики (см. 4 1.5), тратится ыа увеличение ее выутренней энергии.
Чтобы представить этот баланс энергии аналитически, мы обычным путем выведем, исходя из баланса энергии для данной массы жидкости, дифференциальное уравнение, справедливое в любой точке жидкости. Сыачала нужно сказать ыесколько слов об определении некоторых термодинамнческнх величин, связанных с элементом жидкости, при неравновесных условиях. Как было объяснено в 1 1.6 и 3.3, при обычных условиях элемент жидкости, скорость и температура которого не постоянны, можно рассматривать как элемент, проходящий через ряд последовательных состояний, в каждом из которых отклонение от равновесия мало. Для некоторых целей отклонеыием от равновесия в любой момент времени можно пренебречь; з других случаях (например, при расчете девиатора напряжений) эти отклонения важны.
Это свидетельствует о необ- ') В задачах переноса количества дзнжения я в аадачах теплопроводиоств амеегся аналогкя ыежну предельнь|ка случаяыи полностьж дроводажих и полностьж изолврозакяых границ к раесмотрекными случаямя твердых я свободных границ еоотзегстзенио; поверхностное натяжение з згон анааогии, конечно, не учитывается, 198 Гл. 3.
Уразяеяяя лвзжеявя жядкоетя связанной с поверхностными силами, приложенными на границе объема со стороны окружающей среды. Таким образом, полная скорость совершения работы на единицу массы жидкости с учетом уравнения движения (3.2.2) имеет выражение и,/г, + — — + — — же в/ — + — — . (3.4.1) и/ дац оц ди/ Ри/ оц ди, р ди/ р ди/ Р/ р ди/ Можно видеть, по первый из двух членов, возникающих из-за работы поверхностных сил, а именно член р-ем/до///дх/, связан с малой разностью напряжений на противоположных сторонах элемента и приводит (наряду с работой массовых сил) к увеличению кинетической энергии движения элемента как целого; второй член, р-'о//ди,/дх/, связан с малой разностью скоростей на противоположных сторонах элемента и зависит от работы, совершаемой при деформации элемента без изменения его скорости.
Эта работа деформации элемента полностью идет на увеличение внутренней энергии жидкости. Предположим, что тепло переносится в жидкости с помощью молекулярной проводимости; тогда скорость подведения тепла к массе жидкости за счет теплопроводности через жидкую граничную поверхность 8 равна ~ й — л ЫЯ вЂ” ~ — (й — )Ит где Т вЂ” локальная температура и й — коэффициент теплопроводности ($1.6). Следовательно, скорость подвода тепла к элементу жидкости на единицу его массы равна (3.4.2) Мы можем считать все члены равенства (1.5.2) отнесенными к изменению состояния элемента в единицу времени. Величина работы И' в данном случае определяется вторым членом уравнения (3.4.1), а величина теплоты Ч вЂ” членом (3.4.2).
Следовательно, скорость изменения внутренней энергии на единицу массы элемента равна РЕ оц ди/ 1 д / дТ 1 // Р/ р дя/ р ди/ ( ди// (3.4.3) Подстановка тензора напряжения (3.3.11) в равенство (3.4.3) дает РЕ рй 2р / Ле~ 1 д / дТ Р/ р р — = — — + — ( ецец — — ) + — — / й — ) . (3.4.4) 3 / р дя/ 1 ди/ 200 3.4. Измвввнне внутрвннев энвргнв хвссжтшествн жвдвоств 2сс с ав г Ф= — с ецец — — ) 3 ) (3.4.5) для этой скорости диесипации механической энергии (па единицу массы жидкости), вызываемой вязкостью, и отметим, что по своему воздействию иа жидкость оиа эквивалентна необратимому подводу тепла.
Естественно предположить, что первый член в правой части равенства (3.4.4) представляет собой скорость изменения потенциальной энергии сжатия, способной без потерь возвратиться в механическую систему, когда элемент жидкости расширяется, Это верно, хотя только приближенно, из-за влияния (вообще говоря) отклонения от равновесия иа механическое давление р в равенстве (3.4.4), заслуживающего специального рассмотрения.
Давление р определяется как среднее нормальное напряжение (со знаком минус) и представляет собой измеряемую величину. Плотность р и внутренняя энергия Е, как объяснялось ранее в этом параграфе, являются функциями состояния элемента жидкости, определения которых не нуждаются пи в каких видоизменениях и которые имеют определенные значения, когда элемент пе находится в состоянии равновесия; данным значениям р и Е соответствует определенная величина давления, вычисляемая из (равиовеского) уравнения состояния жидкости, Назовем эту последнюю величину еравковесиым давлением» и обозначим ее через р,. При отсутствии какого-либо относительного движения жидкости давление р и равновесное давление р, элемента ясццкости совпадают; если же имеется относительное движение, то они могут отличаться друг от друга.
Для выяснения смысла производной (3.4.4) полезна другая ее запись: РЯ 1 — = — ( — рбц) ( — бц)+ — сец — — бс1) (ест — — бц)+ Рс р в которой выделены две слагающие работы, совершаемой при деформации элемента: первая слагающая соответствует изотропиой части тензора напряжении (давлению) и изотропной части теизора скоростей деформации (скорости объемного расширения), а вторая соответствует девиатору напряжений и пеизотропяой части теизора скоростей деформации (скорости сдвига). Вторая слагающая пеотрицательяа; это значит, что любое движение сдвига в жидкости неизбежно сопровождается односторонним переходом энергии от механических источников, вызывающих движение, во внутреннюю энергию жидкости, что и следовало ожидать для напряжений, вызываемых трением. Введем специальное обозначение Гл.
3. Уравнении движения жидкоств Приближенная величина разности (р — р,) для элемента движущейся жидкости может быть определена с помощью точно такого же рассуждения, которое было использовано при определении девиатора напрянеений. Предположим, что разность (р — р,) зависит только от мгновенного локального градиента скорости и для достаточно малых величин этого градиента скорости представляет собой линейную функцию от различных ковшонент тензора ди;/дхм т. е. до~ 1 Р Р = ВЫ д = Вмен — З Вмемвыв е ~ дят где тензорный коэффициент В» зависит от локального состояния жидкости, а не от распределения скоростей.
Кроме того, предполон им, как и раньше, что реакция жидкости на приложенный градиент скорости одинакова в любом направлении, поэтому тензор Вы должен быть изотропным. У изотропного тензора второго порядка все оси должны быть главными, что возможно только при условии Вы = — кбм, (3.4.7) где н — скалярный коэффициент (с той же размерностью, что и коэффициент вязкости р), зависящий от локального состояния жидкости. Тогда (3.4.6) сводится к равенству Р Ре = яд 1 (3.4.8) из которого видно, что квазитвердое вращение жидкости снова не оказывает никакого влияния на определяемую величину.
Скорость, с которой изотропная часть тензора напряжения совершает работу, переходящую во внутреннюю энергию жидкости на единицу ее массы, можно теперь написать в виде Рз Реа, кб (3.4.9) Р Р Р Первый член в правой части равенства (3.4.9) представляет собой обратимое преобразование энергии, связанной только с равновесным давлением, соответствующим мгновенным значениям плотности р и внутренней энергии Е, а второй член имеет постоянный знак и определяет (при выборе к ) О) диссипацию механической энергии. Скорость относительного расширения представляет собой единственную часть локального градиента скорости, от которой зависит разность (р — р,), к, следовательно, к есть коэффициент сопротивления объемному расширению.
Величину х можно также назвать коэффициентом вязкости расширения жидкости г) в отличие от величины р, которую тогда следует назвать коэффициентом Ю другие исвояввуеиые ивевевия: ковфзиииеис обвеииой вявкости и второй ковэфи- Ииеит вязкости. 202 3.4. Изменение внутренней заергкк движущейся жкккостя вязкости сдвига. В принятых выше условиях второй из двух членов в правой части равенства (3.4.9) имеет малую величину по сравнению с первым, однако, поскольку второй член постоянно положителен, он может приводить к значительной полной диссипации энергки, если скорость расширения периодична и совершает много колебаний. Процесс, в котором молекулярный перенос количества движения приводит к появлению касательных напряжений и к диссипации механической энергии при простом сдвиге, достаточно очевиден; это — трение в его обычном смысле.
Молекулярный процесс, который мог бы быть причиной демпфирования при расширении, менее очевиден, и, хотя природа молекулярного механизма не играет роли в нашем феноменологическом подходе при выводе равенства (3.4.8), сейчас вполне уместно рассмотреть этот вопрос. Во всяком случае, явное представление о действии молекулярного механизма необходимо, если нужно оценить величину х для различных жидкостей. Равенство (3.4.8) можно рассматривать как соотношение, определяющее величину запаздывания при согласовании механического давления с непрерывно изменяющимися значениями плотности р и внутренней энергии Е при движении жидкости с расширением; предположительно коэффициент к отличен от нуля для любой жидкости, в которой механическое давление р иначе зависит от характера движения молекул и их строения, чем величины р и Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
