Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Остающуюся часть уравнения (3.6.3), а именно Ср — — — — —, пт бт пр р пс р пс ' (3.6.6) вместе с уравнением состояния (3.6.5) можно использовать для нахождения зависимости между р и р при изэнтропических изме- нениях состояния каждого элемента жидкости р (р.л). (3.6.7) Наличие в этой зависимости энтропии Я напоминает нам, что если поле течения негомоэнтропическое, то плотность р может выражаться разными функциями от давления р для различных элементов жидкости. Уравнение (1.7.24) является частным случаем уравнения (3.6.7) для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями. Уравнения (3.6.1) и (3.6.2), дополненные соотношением (3.6.7) между р и р, достаточны для определения поля течения, а равенство (3.6.6) служит для определения связанного с ним распределения температуры.
Характерная 216 3.6. Полная система уралненнй длвження жидкости особенность иззнтропического течения, упрощающая рассмотрение, заключается в том, что обмен между внутренней энергией и другими видами энергии происходит обратимо, а внутренняя энергия и температура играют пассивную роль, изменяясь только вследствие сжатия элемента. Таким образом, основные уравнения изэнтропического течения можно написать в виде — — +~у н=О, 1 Вр рот И (3.6.8) Р 1 =Рг' — тур (3.6.9) и еще уравнение (3.6.7), причем се = (др/др)з считается известной функцией плотности р (или давления р), вид которой может быть различным для различных элементов жидкости. Физический смысл параметра с, который имеет размерность скорости, можно понять следующим образом.
Предположим, что масса однородной жидкости находится первоначально в состоянии покоя, в равновесии, так что давление реп плотность ро связаны уравнением Рог = тУРо. Затеи эта жидкость слабо возмущается (все изменения происходят изэнтропически), так что некоторые или все ее элементы подвер- гаются сжатию, причем плотность изменяется на малые величины, а потом освобождается, свободно возвращается в состояние равно- весия и совершает колебания относительно этого состояния т). Возмущения величин плотности р) = р — ро, давления р) = = р — ро и скорости и малы по величине, и подходящее прибли- жение уравнений (3.6.8) и (3.6.9) имеет вид —,— +~у и=О, 1 дре Расее дн Ро д, =Рег — чр) где со — значение с при р = ро,' исключая из этих двух уравнений скорость н, получаем — — =Ч Ре РетУ'Р е 1 дер1 т'ЧР) (3.6.10) Массовая сила обычно возникает под действием силы тяжести, тогда г = и, еу г = О, и последний член в уравнении (3.6.10) пренебрежимо мал, за исключением маловероятного случая крупномасштабных изменений давления, масштаб которых не мал ') Следует ожидать оояллелля лолезалла стлосятельяо состоялля раалоаесля, тал лал жадяость улрута л длссжмллл еяерпж ле лролсаодлт, 217 Гл.
3. Уравнения движения жидкосуа по сравнению с величиной еле/у, которая для воздуха при нормальных условиях равна приблизительно 1,2 10« м (для воды эта величина еще больше). Следовательно, в этих обычных условиях уравнение (3.6.10) сводится к волновому относительно р, и плотность р, удовлетворяет такому же уравнению ').
Для этого уравнения существуют решения, представляющие плоские волны снуатия, которые распространяются с фазовой скоростью се и в которых скорость жидкости и параллельна направлению распространения волны. Другими словами, величина сс есть скорость распространения звуковых волн в жидкости, плотность которой в невозмущенном состоянии равна ре.
Не все решения уравнений (3.6.8) и (3.6.9) представляют собой волны сжатия малой амплитуды, однако тем не менее полезно иметь в виду приведенную интерпретацию величины с как локальной скорости, с которой звуковые волны могут распространяться в жидкости. Условия, при дотпормх поле скоростей луолсно приблилсенно считать соленоидальнмля В $2.2 было отмечено, что на практике скорость, с которой изменяется плотность элемента жидкости, часто пренебрежимо мала и что в этих условиях из уравнения сохранения массы (3.6.1) можно сделать вывод о соленоидальном распределении скорости.
Этот вывод представляет собой важное и ценное упрощение, условия справедливости которого должны быть тщательно изучены, Предположим, что распределение скорости и и других параметров течения характеризуется масштабом длины Ь (означающим, что, вообще говоря, скорость и не сильно изменяется на любом расстоянии, малом по сравнению с масштабом А) и что изменения. модуля скорости ! и) в зависимости как от координат, так и от времени имеют порядок величины яу. Тогда порядок величины производных по координатам от компонент скорости и равен П/Ь и можно сказать, что распределение скорости будет приближенно соленоидальным, если т. е.
если (3.6.11) Для однородной жидкости плотность р и энтропию единицы массы Я можно выбрать в качестве двух независимых параметров состояния; тогда относительная скорость изменения давления, ') для волнового урввнения нслучены мисгсчиеленные мв»емвтнчеекве ревультвгы; см., нвнрвмер, Зсммереельд А.. уревиення в чвсгных дрси»всдимх эвенки, ИЛ, М., 1951; Курлит Р., Рдввнейия с Честными нрсиввсднымн, «Мир», М., 199Я. 218 З.З. Полная система ураввевая двкжеяяя жядкостя испытываемого элементом жидкости, может быть выражена в виде — =се — + с — ) ССР а СЭР С дР с сэо Рс Юс 1 дд )р 0с ' (3.6.12) Таким образом, условие того, что вектор скорости и будет приближенно соленоидальным, выражается неравенством Условие (3.6.13), как правило, будет удовлетворяться только тогда, когда каждый из двух членов в левой части неравенства имеет малую величину по сравнению с отношением с//Л; сейчас мы изучим эти вспомогательные условия.
1. Если условие (3.6.14) выполняется, то изменения плотности элемента жидкости, вызванные изменениями давления, пренебрежимо малы, т. е. жидкость ведет себя так, как если бы она была несэмимаемой. Из двух условий соленоидальностн вектора и это условие практически наиболее важно. Прн оценке модуля производной ~ Вр/ПС) общность рассуждений почти не нарушается предположением об изэнтропичности течения, так как эффекты вязкости и теплопроводности обычно значительно сильнее влияют на распределение давления в пространстве, чем на его изменения во времени.
Поэтому мы можем переписать условие (3.6.11) с помощью уравнения (3.6.9) в виде неравенства — — — — — + — ' (< —, др С ССЕе .Р С и ра дС 2а иС ! б' (3.6,15) показывающего, что в общем случае (т. е. без сокращения членов в левой части неравенства (3.6.15) во всех точках поля течения) жидкость можно считать эффективно несжимаемой, если выполняются трн отдельных условия, а именно если каждый член в левой части неравенства мал по сравнению с отношением Б/1.
1а. Рассмотрим сначала второй член в левой части неравенства (3.6.15). Порядок величины производной Вде/ПС будет таким >ке, как и порядок любой из величин ддс/дс или п.Щ (т. е. е/а/Ь). Могут существовать течения с колебаниями, частота которых в некоторой фиксированной точке значительно больше отношения е//Л, однако такие течения сейчас моя.но не рассматривать, так как ниже мы увидим, что требование малости первого члена неравенства (3.6.15) по сравнению с отношением с//Ь будет для них более строгим. Таким образом, условие малости второго члена в (3.6.15) принимает внд —,((1. (3.6.16) 219 Гз.
3. Уравнения двюкеакя жидкости Параметр с является функцией координат, и если его изменевие существенно, то для использования в неравенстве (3.6.16) нужна выбрать некоторую характерную величину с. В течении установившемся или в таком, что в нем изменения скорости со временем не играют доминирующей роли, изменение скорости жидкого элемента от нуля до с/ влечет за собой изменение давления порядка рс/т (это видно также из теоремы Бернулли), и, следовательно, отношения бр/р или бр/рсе (бр и бр— изменения для элемента жидкости) малы по сравнению с единицей, если Пт/се(< 1; проведенным неформальным рассуждением подкрепляется неравенство (3.6.16).
Отношение с//с казываетсв числом Мала поля течевия с характерными параметрами с/ и с, и оно играет важную роль в газовой дивамике. Для воздуха при 15 'С и давлении в одну атмосферу с = 340,6 м/сек, а для воды при 15 'С с = 1470 и/сек. Следует ожидать, что в течениях, возникающих при установившемся движении тел в атмосфере со скоростями ниже 100 м/сек, влияние сжимаемости воздуха будет слабым, если оио вообще будет проявляться, и весьма маловероятно, чтобы сжимаемость среды оказывала какое-либо влияние на обычные установившиеся течения воды. 16. Величина первого члена в неравенстве (3.6.15) непосредственно зависит от кестациопарности течения. Предположиы, что в поле течения происходят колебания, пусть и ке строго периодические, и что л есть мера основной частоты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
