Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Величину флуктуаций давления можно оценить на основакии замечания, что жидкость в области с липейными размерами Ь имеет приблизительно однородную скорость, которая изменяет знак за время порядка п г, и что приращения давления по всей гравице области, вызывающие соответствующее изменение количества движения, должны иметь величину рЬс/к. Поэтому порядок величины производной др/дг равен рЬс/ке и условие малости первого члена неравенства (3.6.15) по сравнению с с//Ь получает вид (3.6.17) Если характерная частота временных измепений равна отношению с//А, то это условие сводится к неравенству (3.6.16) и оказывается более жестким, чем условие (3.6.16), если и )) с//Ь, что уже указывалось. Отмегим, кроме того, что отношение яЫс равио единице, если величину Ь считать равной длине звуковой волны частоты и; это соответствует очевидному факту, что сжимаемость нельзя ие учитывать в процессе прохождения звуковой волны.
1в. Если мы учитываем массовую силу тяжести, то третий члев в левой части неравенства (3.6.15), а имекио и Р/с' (который соответствует измекекию давления, необходимому для уравнове- Гл. 3. Уравнения движения жядяоотн основной смысл которого состоит в том, что изменения плотности элемента жидкости, вызываемые внутренним нагревом (из-за дисснпацни) или молекулярной теплопроводностью внутри элемента, должны быть малыми '). Предположим вновь, что дифференцирование некоторой величины по координатам сводится к умножению ее характерного значения на Ь ' и что два члена левой части неравенства (3.6.20) взаимно не уничтожаются во всех точках поля течения. Тогда из выражения (3.4.5) для Ф следует, что неравенство (3.6.20) эквивалентно двум вспомогательным условиям (3.6.21) где к = й/рср — коэффициент термодиффузии, 8 — мера разности температур в жидкости, а коэффициент термического расширения () положителен.
Некоторые указания на обстоятельства, при которых условия (3.6.21) не удовлетворяются, ыожно найти в следующей таблице (для воздуха и воды при 15 'С и давлении в одну атмосферу в случае Ь = 1 см; 1/ = 10 см/сек; 8 = 10 'С): (()//х/Гр) Н(Р/.У/)) 60И/( г П) 5 10-го 4.10-хз 7.10-е 310 У Воздух Вода 0 Если допустить, что жидкость неодпороипе, то изменения плотиоети ее елемевтв могут происходить твпже вгледетвве молепучвриой дифеуевв, взм, ивпример, в случае воды, еодержвжей соль в растворе неоднородной ионцептреции.
Условие еоленоидельноетн веиторз епороети и в етом случае можно получать зивлогичиым епоеобом. 222 Очевидно, маловероятно, чтобы нагрев из-за дисснпацин был достаточным для нарушения первого нз условий (3.6.21); и только в довольно редких обстоятельствах (напрнмер, при 6 порядка 100'С и ЬГ/ порядка 10 ' смт/сек в газе) нагрев посредством теплопроводности будет достаточно сильным, чтобы нарушить второе условие.
Поэтому для практических целей вторым членом в левой части неравенства (3.6.13) можно пренебречь. Прн отсутствии каких- либо явных ограничений вывод о том, что жидкость аффективно неся'имаема, можно рассматривать как утверждение, что распределение ее скорости соленоидально; условия, при которых жидкость ведет себя как несжимаемая, выражаются неравенствами (3.6.16), (3.6.17) и (3.6.18), нз которых первое представляется наиболее важным. 3.7.
Заключктелькые аамечаккл к первым трем главам 3.7. Заключительиые замечания и первым трем главам Конец атой главы служит поворотным пунктом нашего изложения динамики жидкости. Первые три главы были посвящены описаиию общих свойств жидкостей — физических, кинематических и динамических соответственно, и они заканчиваются выводом основных дифференциальных уравнений, описывающих течение обычных жидкостей. Оставляя в стороне некоторые иевыясиенпые вопросы, папример, о точности условий, при которых дезиатор напряжений является линейнои фуикцией тензора скоростей деформации, можно утверждать, что теперь мы имеем вполне надежную и ясную систему понятий и законов, на которых может базироваться исследование движения жидкостей.
С точки зрения «чистого» учекого, имеющего дело только с основными законами, ке представляет особого смысла двигаться дальше. Однако такая точка зрения совершенно ие подходит для гидродинамики. Существенное и характерное свойство этого предмета заключается в том, что он охватывает различкые механические и физические процессы, и хотя каждый из них в отдельности можно считать вполне попятным в смысле фундаментальной физики, в целом они могут порождать многие неожиданные эффекты.
Одно дело знать, что уравкение Навье — Стокса описывает движение жидкости, и совсем другое — зиать, например, почему тонкие пограничные слои образуются имеипо на передней, обращенной к потоку части большой твердой сферы, падающей в жидкости, а не па ее обратной стороне. Умение предсказать, что произойдет в заданных условиях в общих чертах, даже если не входить в подробности числовых расчетов, представляет собой существенную часть знания, и, как мы увидим из дальнейшего, точное предсказание свойств течения требует значительно большего, чем простого знания основных уравнений. Движение данной массы жидкости очень слабо ограничивается формой и характером границ, и слишком много возможных видов движения согласуется с очевидными, на первый взгляд, требованиями, например сохранения ыассы, к полю течения, которое действительно получится в данных условиях. Картина течения жидкости существенно зависит от причин, вызывающих это течение, и включает огромное разнообразие свойств, на которые в основных уравнениях движения можно видеть только слабый намек.
Таким образом, предыдущие три главы представляют собой не больше, чем оборудовакие сцены. Нами теперь подготовлена почва для перехода к конкретному исследованию движения жидкостей, и необходимо сказать несколько слов относителько принятого в дальнейшем плана изложения. Как уже отмечалось, многие различные физические или механические процессы отражены в системе основных уравнений $3.6, и бывает трудно 223 Гл.
3. Ураввеэия дзвжезаа жидкости постичь способ, которым эти процессы влияют на течение в заданных обстоятельствах. К тому же система основных уравнений движения слишком сложна для прямого математического подхода. Прогресс в теоретической гидродинамике был достигнут в основном благодаря изучению различных физических и механических процессов по возможности в изолированной форме и путем исследования большого числа полей течения частного вида, иллюстрирующих влияние каждого из этих процессов в отдельности. Эти специальные случаи, собранные и объясненные соответствующим образом, приводят к пониманию области действия и природы процессов, отраженных в уравнениях, и эффектов, которые они вызывают.
Многие из известных разделов теоретической гидродинамики соответствуют исследованию отдельных механических процессов, отраженных в общих уравнениях движения. Газовая динамика изучает поля течения, в которых проявляются заметные изменения абсолютного давления, а следовательно, и плотности, и такое исследование большей частью осуществляется путем аналитического рассмотрения ряда типичных или наглядных специальных случаев; при изучении свободной конвекции рассматриваются движения, вызываемые только силами тяжести; теория смазки имеет дело с полями течения вполне определенного вида, в которых преобладающую роль играют напряжения трения; магнитная гндродинамика занимается исследованием течений, в которых электромагнитные поля и поля скоростей влияют друг на друга, и т, д.
Кроме того, существуют разделы гидродинамикн, такие, например, как гцдродинамическая устойчивость, которые не затрагивают каких-либо новых механических процессов, но которые приобрели особую специфику вследствие разработки соответствующих аналитических методов. Полное изложение гидродинамнки должно было бы включать описание всех этих разделов, ббльшая часть которых порождает з свою очередь много отчетливо видпых подразделов. Предыдущие трн главы были написаны без особого направления на какие- либо специальные области гидродинамики, и можно надеяться, что онн могут быть основой для изучения любого специального раздела либо в последующих главах этой книги, либо в каком- нибудь другом курсе. Даже если общность подхода к предмету, принятая в первых трех главах, не используется непосредственно при дальнейшем изучении частных разделов гидродинамики, тем не менее желательно понимать, каким образом идеи и приближения каждого частного вопроса связаны с предметом в целом.
В книге вводного характера, предназначенной для использования учащимися, объем изложения ограничен и некоторый отбор тем неизбежен; распределение естественно ограниченного числа страниц по многим важным разделам современной гидродинамнки 3.7.
Заключительные замечания к первым трем главам привело бы к поверхностному рассмотрению каждого из них. Принятый отбор вопросов для последующих глав книги основывается на следующих соображениях. Во-первых, важно достигнуть надлежащего понимания свойств течения жидкости, наделенной инерцией, но при отсутствии других физических свойств ').
Жидкость с инерцией как с единственным физическим свойством может представляться весьма простым частным случаем, цо на самом деле, как будет показано, течения такой жидкости обладают весьма разнообразными свойствамн. Как специальный случай эти течения исключительно важны, поскольку только в весьма редких обстоятельствах инерция жидкости не имеет важного значения. Кроме того, изучение течения жидкости только с одной инерцией имеет и прямое практическое значение, поскольку именно реальные жидкости часто движутся так, что существенного влияния их других физических свойств не обнаруживается. Во-вторых, из всех физических свойств жидкости, отличных от инерции, наибольшее влияние на течение в обычных условиях оказывает внутреннее трение, измеряемое величиной касательных напряжений.
Более того, предсказать влияние вязкости на картину течения оказывается весьма трудным делом по причинам, которые с математической точки зрения вытекают из того факта, что коэффициент вязкости )с является коэффициентом при производной высшего порядка в уравнении (3.6.2). Добавление вязкости к физическим свойствам рассматриваемой жидкости может привести к появлению особенности или разрыва в картине течения, и необходимо провести обширное исследование движения вязкой жидкости, прежде чем его свойства не покажутся естественными и объяснимыми.
Поэтому остальная часть книги посвящена течениям жидкости, которая обладает инерцией и вязкостью, однако ведет себя как несжимаемая. Эта программа может показаться скромной, однако она находится в центре гидродинамики и не только заслуживает, но и требует серьезного изучения. Мы начнем с рассмотрения вязкой жидкости, а позже, определив условия, при которых вязкость оказывает малое влияние на течение, опишем подробно двшкение жидкости только с инерцией. П то есть при аыттствви сжвиясиости, вязкости и тсвяавравалиасти и т. л. 15-ОВ72 РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 4 1. Введение В этой и следующей главах будет изучено влияние напряжений, вызываемых вязкостью жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
