Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 53
Текст из файла (страница 53)
4.3. Неустановившееся течение одного направления Как было показано в з 4.2, градиент давления в течении одного направления направлен вдоль линий тока и зависит только от времени ~. Почти во всех случаях такого течения, рассматриваемых в этом параграфе, движение жидкости создается разлнчнымп неустановившимися движениями границ, причем давление далеко вверх и вниз по потоку сохраняется одинаковым во время движения.
Следовательно, для этих случаев б = 0 и уравнение (4.2.2) принимает вид (4.3.1) 240 4.3. Неустеяозяешееся течеяяе одного направления Это уравнение, называемое уравнением диффузии или теплопроводности, оказывается точно таким же, как уравнение, описывающее двумерное распределение температуры в неподвижной среде с коэффициентом термодиффузии т, и в связи с этим можно воспользоваться ух«е установленными для него математическими результатами «). Один наиболее полезный из этих результатов закл«очается в решении, описывающем распределение температуры в среде с первоначально постоянной температурой во всей плоскости (у, г) при выделении в момент « = 0 в точке у = у', г = г' конечного количества тепла («начальный точечный источнике). Если величину и считать приращением температуры в точке (у, г) в текущий момент времени Г, то это решение имеет вид -4 ( (г — г')' (з — У)е) и (у, г, «) = — ехр ~ — — — — ), (4.3.2) 4яч«1„4ч«4ч«) ' где постоянная А — мера количества выделяемого тепла, определяемая из начальных условий, ЮО А= ~ ~ и(у, г,0)««у«гг= ') ') и(у, г, ()«(у««г.
ОО На основании этого элементарного решения можно построить интеграл, выражающий распределение температуры в любой момент «через ее распределение по всей плоскости (у, г) в начальный момент времеви, а именно Г (г — г')е (з — ур 1 (4.3.3) Основной смысл этого решения состоит в том, что поскольку уравнение (4.3Л) линейно и поскольку не требуется удовлетворять граничные условия, то выделенное вначале тепло в каждом элементе площади на плоскости (у, г) распространяется как будто от изолированного начального точечного источника с постоянной А в решении (4.3.2), замененной на и (у', г',О) бу'бг'. Аналогичные решения имеются для пространств одного и трех измерений; первое из них может быть получено нз решения (4.3.3), если функцию и (у', г', О) считать не зависящей от г' и проинтегрировать (4.3.3) по г'.
Сглаживание плоского разрыва скорости Простая н важная задача, к которой может быть применено решение (4.3.3), состоит в определении влияния вязкости на пере- ~Л * "Р * Л У* Р Р П» «е-евтг 241 Гл. 4. Рапиомерный поток ияакой кеакимаемой жидкости Рис. азд, Перелодиыа след иеаду дария параллельиыии иатеиеии. к скорости в другом таком же соприкасающемся с вим потоке. Предположим, что переходный слой сначала имеет нулевую толщину (такое предположение само по себе не соответствует реальному начальному условию, однако имеются возможности использовать такое решение) и, следовательно, представляет собой вихревую пелену, совпадающую с плоскостью у = О.
Тогда, рассматривая систему координат, движущуюся со средней скоростью двух потоков, и учитывая скачок скорости 2У поперек слоя, мы должны принять и (р', з', О) = л= У при у' ~~ О. При этом решение (4.3.3) дает л и(у, е)= — ) ехр ( — Р ) Иу'=Г/его ( Р ~. (4,3.4) о Это распределение скоростей, зависящее только от отношения у/)/тг, изображено на рис. 4.3.1. С течением времеви изменяется только ширина переходного слоя (как ее/е); если мы условимся определять толщину слоя расстоянием вдоль оси у от места, где и = 0,99(/, до места, где и = — 0,99Г/, то толщина этого слоя будет равна 8,0к'те. Можно было сразу ожидать, что распределение скорости должно быть функцией только отношения у/)/ те, так как размерных 4.3.
Неустановившееся теченне одного нанрааленвн параметров задачи ве достает для того, чтобы обеспечить зависимость решения по отдельности от у и от ~. При замене зависимой переменкой откошевием и/У = ~ (у, г) наша задача сводится к решению уравнения дГ' да/ — =У— дг дуа (4.3.5) при начальном условии ~ (у, 0) = ~- 1, у ~» О. и =- — У+ г' (у), !д! (4.3.6) где Г (у) — 0 при у — ~ оо и ~г" (у) бу = 0 (последнее условие Достигается путем соответствующего выбора положения начала «оордиват у = 0).
Кроме того, если функция г" такова, что инте- 243 гс» Единственной размерной величиной, от которой, кроме коордиваты у и времени 8, может зависеть функция /, является е. Из этих трех величин можно составить только одну безраэмервую комбивацию, а именно уф~~, поэтому требование независимости распределения скорости от используемых размерных единиц неизбежно приводит к утверждевию о зависимости ~ только от отвошевия уг"у' тг.
Опираясь ва этот вывод, можно было бы преобразовать уравнение (4.3.5) в обыкновенное дифференциальное уравнение с единственной независимой переменной г) = уф ег; его решением вновь будет (4.3.4). Вообще в мехавике жидкости имеется много задач, в которых бывает выгодно предварительно установить по соображениям размерностей, что различные переменные (коордиваты и время) должны появляться в решении только в определенных комбинациях и что исходное двфферевциальвое ураввевие в частных производных может быть преобразовано в обыквовеввое дифферевциальвое уравнение. Такое решение, содержащее время только в сочетании с координатой, часто называют подобным (аегпомодельиым) решением, так как профиль распределения скорости по координате в любой момент времени подобен самому себе.
Выражение (4.3.4) описывает скорость в переходном слое, который возникает из начального разрыва ва общей границе двух потоков, и нетрудно видеть, что ово дает также асимптотическое распределение скорости при 8 — оо для произвольвой начальной формы переходного слоя. Предположим, что при г = 0 Распределение скорости в слое имеет вид Гя. 4. Равномерный каток вязкой кесжвмаемов жвдкостк грал ) ) г') Ну ограничен, то мы можем построить функцию 0 ее и(уе ~) =(7ег() ~ (+ 1 (А(й, г)з1пйу+В(й, ~)созйу)сУс, (4.3.7) которая удовлетворяет дифференциальному уравнепию (4.3Л), если А (й, ~) = А (й, 0) ехр ( — йМ), В (й, г) = В (й, 0) ехр ( — йзк~) (дифферепцирование под знаком интеграла в выражении (4.3,7) подтверждается апостериори очевидной равномерной сходимостью диффереяцируемого интеграла при з ) 0), и которая удовлетворяет начальному условию (4.3.6), если функции А (й, 0), В (й, 0) выбраны в качестве коэффициентов в представлепии г' (у) иятегралом Фурье.
Затем мы видим, что интеграл в выражении (4.3.7) стремится к нулю при г-~- оо по крайней мере как ~ з, так как А (О, 0) = 0 по определепию и В (О, 0) = 0 ввиду условия г'(у) ду = О. Таким образом, распределение скорости в слое Ю в копце концов оказывается таким же, как если бы ок образовался из простого разрыва.
Этот пример пеустаповившегося течения одного направления иллюстрирует несколько характерных свойств рассмотреняого вязкого течения и некоторых других близких ему. Во-первых, существует постепепное распрострапекие или диффузия изменения скорости поперек линий тока, что происходит под влиянием касательной компоненты силы, приложе~пой к плоскостям, нормальным к оси у. Условная глубина проникновения этих изменений скорости в области одкородной скорости через некоторый промежуток времени з имеет порядок ~к~~. Скорость этого проникновения меньше для жидкостей с меньшим кинематическим коэффициентом вязкости и уменьшается с увеличением времени так как градиенты скорости и их производные по времени становятся постепенно все меньше. Во-вторых, распределение скорости в слое асимптотически стремится к автомодель~ой форме, зависящей только от у/ф к«при произвольпой начальной форме переходного слоя.
Эта асимптотическая форма устанавливается вследствие того, что отклонение пачального распределения скорости от простого разрыва эквивалентно действию множества начальных «источкиков» и «стоков» с нулевой полной интенсивностью, влияние которых постепекко исчезает, по мере того как опи распространяются и накладываются друг па друга. 4.з. Неустановившееся течение одного вавравлезвя Плоская граница, внезапно приводимая в движение в покоягцейся жидкости Предположим, что полубескопечкая область неподвижной жидкости ограничена твердой плоскостью (у = 0), которая мгковеяно приводится в дввжепие со скоростью // в своей плоскости и затем продолжает двигаться с атой скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
