Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 56
Текст из файла (страница 56)
приведена в движение действием однородного градиента модифицированного давления, который компенсируется силой Кориолиса. Если однородный градиент давления расположен в горизонтальной плоскости (х, у) н имеет компоненты (О, — 6), причем вектор скорости вращения направлен как и раньше, то однородная скорость в установившемся состоянии имеет компоненты (У, О) и 2И)з = —. (4.4,12) Р Если помимо этого жидкость ограничена горизонтальной твердой плоскостью, покоящейся относительно вращающихся осей коор. 256 4.4. Слой дкыанв на границе вращающейся жидкости динат, то отклонение от однородного потока в соответствующем «слое Экманав вблизи твердой плоскости вызывает появление сил вязкости и кориолисовых сил таким же образом, как и в предыдущем случае, и снова оказывается, что существует установившееся течение. Уравнения, определяющие компоненты скорости (и, н) как функции от координаты г в установившемся течении вблизи твердой гранвцы (г = О), отличаются от уравнений (4.4.4) и (4.4.5) только добавлением наложенного на течение однородного градиента давления: яви — 2нь2« — — »вЂ” о'«2 ' С вви 2и1«О = — +» —.
р Н*О ' Второе уравнение можно переписать так: 2(и — ЦИО=» —,, вв О (4.4.13) Решение, соответствующее однородному потоку на достаточно больших расстояниях от твердой плоскости (жидкость в этом случае расположена выше плоскости г = О, что соответствует атгшсферному течению вблизи земной поверхности), имеет вид и — У + 7н = А ехр ( — 7«(1 + 1) г), (4.4.14) где, как и раньше, 7« = )~ 0~7~.
На плоскости г = О мы требуем выполнення равенства и = и = О, поэтому А = — (7', и получаем компоненты скорости и = 27' (1 — е в*сон йг), и = Це "*з1п йг, (4.4Л5) (4.4.16) О С 2 Г» ис(г= — = — У у 2й 2 (4.4.17) 257 17 — 0«72 Общие свойства этого спирального распределения скоростей (и — (7', и) вблизн твердой поверхности во многом такие же, как и в предыдущем случае. Векторы скоростей на разных высотах над твердой поверхностью представлены на рис. 4.4.1, 6. В данном случае скорость вблизи г = О линейно зависит от г и отклонена на угол 45' в направлении по часовой стрелке от приложенного к жидкости градиента давления.
Результирующий объемный поток в слое Экмана по нормали к однородному течению вне слоя на единицу ширины (в направлении оси г) выражается инте- гралом Рл. 4. Равиомерпмй поток эязкой пес>князевой жалкости Горизонтальные градиенты давления, которые можно приближенно считать однородными на расстояниях порядка многих километров, естественно возникают в атмосфере от крупномасштабных циклонов и антициклонов, а также от изменений температуры в горизонтальном направлении, происходящих вследствие неравномерного нагрева атмосферы, и результирующее течение вблизи земной поверхности всегда сопровождается появлением закрутки, напоминающей спираль Экмана.
И снова простое теоретическое распределение скорости можно применить только в том случае, когда параметр ч рассматривается как эффективный кинематический коэффнциент вязкости в процессе нерегулярного турбулентного перемешнвания горизонтальных слоев жидкости. Для значения т, соответствующего молекулярной вязкости воздуха, «глубина пропиканняэ равна Ый = 14 м на полюсах, в то время как его наблюдаемая в атмосфере величина может быть от 500 до 1000 м в зависимости от условий. Наблюдения изменения направления и величины скорости ветра с высотой над поверхностью Земли использовались (в сочетании с формулами компонент скоростей (4.4 15) и (4.4.16)) для определения величины эффективного коэффициента вязкости в процессе турбулентного перемешивания (Тейлор (1915)). Аналогично можно приложить этот анализ к пограничному слою вблизи дна моря, хотя в этом случае имеется мало наблюдений.
4.5. Течение е ируговыми линиями тока Другим простым примером движения жидкости оказывается движение, в котором все линии тока представляют собой окружности с центром на общей оси симметрии. Такие движения могут быть установившимися или неустановившимися, и ови обычно создаются в жидкости, ограниченной снаружи или изнутри вращающейся твердой поверхностью кругового цилиндра. Если движение остается чисто вращательным с осевой компонентой скорости, равной нулю, то градиент давления в направлеяии оси должен быть равен нулю и уравнение движения показывает, что для соблюдения этого условия течение должно быть двумерным. Тогда скорость зависит только от расстояния до оси симметрии. Поскольку компонента ускорения по нормали к линиям тока в течениях подобного типа играет пассивную роль и поскольку все изменения скорости происходят только в результате действия сил трения между соседними цилиндрическими слоями жидкости, такие течения эквивалентны в механическом смысле течению одного направления.
Уравнения (двумерного) движения в полярных координатах (г, О) приведены в приложении 2; предполагая, что 0-компонента 258 4.5. Течение с кругоемми линиями тока скорости и есть функция только переменных г и г и что и = О, находим реа др ! г дг дс ддее 1 дс и 1 — ( — + — — — —. дс (дга г дг га ) (4.5 1) Первое из этих уравнений показывает, что радиальное изменение давления просто дает силу, необходимую для сохраненвя движения элементов жидкости по круговым траекториям. Второе уравнение представляет собой по существу равенство скорости увеличения момента количества движения цилиндрического слоя жидкости и момента равнодействующей пары сил трения на его внутренней и внешней поверхностях. В этом можно непосредственно убедиться, замечая, что касательное напряжение, действующее на элемент поверхности цилиндра радиуса г (см.
приложение 2), равно О е=)1 (д ) 2 1..*( —" ,— — '). (4.5.2) Приравнивая скорость изменения момента количества движения жидкости в цилиндрическом слов (ка единвцу его длины и единицу толщины) моменту пары сил, действующей на него, получаем = — (2прга ( —" — — ") ), (4.5.3) откуда и следует уравнение (4.5Л). Несколько более простая форма уравнений (4.5.1) или (4.5.3) получаетсяпри использовании в качестве зависимой переменной угловой скорости Й (г, 1) жидкого цилиндрического слоя радиуса г. Полагая в уравнении (4.5.3) и = Пг, мы имеем (4.5.4) Если в качестве зависимой переменной ваять величину завих- ренности де и 1 д(гай) со = — + — =— дг г г дг (4.5.5) то получится еще одна форма уравнения (4.5.6) 259 поэтому момент пары сил, приложенной к жидкости (находящейся внутри цилиндрической поверхности радиуса г) со стороны внешней части жидкости на единицу длины цилиндра, равен Гл.
4. Рееномернмй ноток опекой несжимаемой жидкости (4.5.8) Это уравнение совпадает с уравнением теплопроводиости в двух измерениях (при наличии осевой симметрии). Исходя из уравяеиия (4.2.2), можяо установить, что в течении одного направления две компоненты завихрекяости, перпендикулярные к лилиям тока, также удовлетворяют уравнению теплопроводвости.
Таким образом, задачи течений одного направления и течений с круговыми линиями тока можно полностью описать при помощи диффузии компопеит завихрепкости поперек линий тока. В каждом частном случае выбор одного из получеивых выше уравкеяий обычно будет определяться зависимой переменной, которая входит в граничные условия. Установившиеся движения с круговыми лввиями тока должны поддерживаться движением твердых границ, и можно охватить все обычвые случаи, предположив, что жидкость находится между твердыми цилиндрами с радиусами т, и ге (ге ) г,), которые равномерно вращаются с угловыми скоростями 01 и еее. В таком случае легко найти, что решение как уравнения (4.5.3), так и ураниекия (4.5.4) при нулевых левых частях, которое удовлетворяет условию прилипаяия ка обеих границах, определяет скорость ф ге — Пего (4.5.7) Течение подобного типа можно осуществить в лабораторви с цилвидрами, общая длика которых велика по сравкеиию с их радиусами; распределение скорости (4.5.7) было подтверждено при различкых значениях г„гз, И, и ьем Вязкость в формулу (4.5.7) ке входит, так как равнодействующая пара сил трения, действующих иа каждый цилиндрический слой жидкости, ранка нулю; в атом отиошеяии установившееся течение с круговыми лилиями тока представляет собой аналог течения между параллелькыми твердыми плоскостями, которые скользят друг относительно друга (и этот случай фактически получается из формулы (4.5.
7) при ге — г, (( г ). Пользуясь выражением (4.5.2) и решением (4.5.7), находим момент пары сил трения, действующей яа единицу длины цилиидрической поверхности радиуса г." ь4 — пе 1 который, как и ожидалось, ке зависит от г; в частности, пара свл с таким моментом приложена к вяутреянему твердомуцилиядру, а противоположная по знаку — к внешнему цилиндру. Из выражеиия (4.5. 7) можно получить распределекия скоростей в различяых специальных случаях установившегося течения. Полагая г, = О (с угловой скоростью И1 яе кастолько большой, чтобы сделать произведение й,г', ненулевым) для течения внутри вращающегося цилиндра, находим в = ьезг, (4.5.9) 4.5. < еченвв с кругоэммв лкввямк тока что соответствует вращению жвдкости как твердого тела, при котором касательные напряжения всюду равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
