Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 55
Текст из файла (страница 55)
4.3.3 для нескольких различных значений Ма . Вначале вся жидкость имеет ускорение св/р, однако по мере того, как скорость возрастает, тормозящее влиявие стенок распространяется все дальше ч сп. трвсвоп о. ж, тьеотт о1 вевве1 гоп«11«пв, смпьпоке п«1т. реево, 1ооо 1еств ртссква перевод первого пвпвввя: Ввтсов Г. Н., 'теория боссеяевмв Етвяппа, е. 1. т ИЛ, М., 1еср.-' Редев 4.4. Слой Экмвнв нз грзняце вращающейся жидкости да в 04 0 Дг йб Дб й() 4() Р в с. 4.3.3.
Течвяве з влчзльвоы участке вргтлоа тРубы. Прсевлл слорсств в раалвч яые ысмевты времеви (Швызвсква (1932)). внутрь жидкости. Цептральиая часть жидкости, скорость которой возрастает со временем как ("1('р, сужается до тех пор, пока при 1 порядка аз('(тХ',), Х, = 2,41, влияние стенки пе распространится иа всю жидкость и скорость па оси трубы г = О яе перестанет расти. Как и в предыдущих случаях, приближение к установившемуся состоянию определяется в основном первым членом ряда (4.3.19). Упражнения 1.
Круговой цялиндр бесконечной длины радиуса е помещен в покоящуюся всюду жидкость к приводится мгновенно в движение с постоянной скоростью (1 в направлении его оси. Покажите, что сила трения, действующая на единицу длины цилиндра в момент времена 1 после нзчвлв движевяя, определяется интегралом ~Ю Эр(1 ( ехр( — йтт() ой .) й(У1(й )+У1(а ))' о всимптотпчсское выражение которого при 1 — сс равно 4ярУЛп (т(/ае). 2. Получвте выражение через функции Бесселя для скорости течения в длянной прямой круглой трубе, вызванного колебанием осевого градиента давления — 6 + С соз л(, где б, С и в — постоянные, и исследуйте предельнме случаи и -~ О и л — ~ ао.
4.4. Слой Экмаиа иа граивце вращающейся жидкости Ра сомо трам большую массу воды, первоначально находящуюся в покое под влиянием силы тяжести и приводящуюся в дввжепве посредством воадействия на иее постоянного каса- 251 Рл. 4. Равномерный поток вязкой несжимаемой жндкостн тельного капряжевия, приложенного ка ее горизонтальной свободной поверхности. Это простая задача кеустановившегося течения одного направления, в котором скорость и (у, Г) удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.3.9) и граничным условиям и (у, 0) = 0 в начальный момент и ди — =Я при у=О, ду и-»О прв у-» — оо для всех значений времени Г, где рЯ вЂ” постоянное напряжевие ка свободной поверхности.
Дифференцируя уравнение (4.3.9) по у, мы получаем уравнение к граничные условия для производной диоду, которые совпадают с граничными условиями для переменкой и в задаче о течении полубескокечкой жидкости, создаваемом плоской твердой границей, движущейся с постоянкой скоростью в ее плоскости. Таким образом, скорость и в рассматриваемой здесь задаче получается небольшим видовзмекекием выражения (4.3.И) ди — =Я+Лег( ~=) Г у ду ( уГ~м (4.4Л) и его интегрированием: и=Яу+Яу ег( ( — У) +25~/ — ехр ~ —,—," ), (4.4.2) 252 Зто решение применимо при соответствующих условиях к распределению скороств в воде, которая приводится в движение ветром, дующим с постоянной скоростью над ее свободной поверх- костью; правда, скорость воды ка свободной поверхности с течением времеви увеличивается и в результате етого напряжение, развиваемое ветром на воде, может изменяться, однако скорости воздуха обычно оказываются значительно больше скоростей воды, и зто изменение напряжения мало.
Тогда возникает естественный вопрос, примеяима ли формула (4.4.2) к системам болыпого масштаба и, в частности, к дрейфу яа поверхности моря, вызываемому ветром. Течения в атмосфере и в океане редко представляют собой такие кевозмущевяые или раввомервые течения ~ад горизонтальными плоскостями, какие описаны выше, и перенос количества движения, создаваемый случайными флуктуациями скорости жидкости (турбулептяостью), обычно значительво более важен, чем вязкие капряжекия, однако, ке говоря уже об зтвх очень сложных явлениях, можно убедиться, что вращение Земли оказывает существенное влияние ка поверхкосткые движения воды.
4.4. Слой Экмаиа ва граивяе вращающейся жидкости Слой на свободной поверхности Предположим сначала, что, как и раньше, жидкость ограничена горизояталькой свободкой поверхностью, к которой приложено постоянное напряжение )гЯ. Воспользуемся прямоугольной системой координат, которая вращается с постоянной угловой скоростью зв, вертикальиая ось и которой направлена вверх, а ось х направлена вдоль приложенного иа поверхяости иапряжекия. Очевидно, что вектор скорости жидкости лежит в горизоиталькой плоскости и имеет компоненты и, и, 0 и зависит только от з.
Граяичиые условия, которым надо удовлетворить, имеют вид аи Ыи — =8 — =О при з=О, Ыв ' йе (4.4.3) Уравнение движения в осях, связанных с Землей, содержит силы инерции, которыми, как видно из выражения (3.2.9), являются; г) кориолисова сила — 2Я х и (ка едипицу массы жидкости), где Я вЂ” угловая скорость вращения Земли, и 2) цеятробежная сила, которая приближекио однородно распределена яа протяжении больших областей земной поверхности и, следовательно, эквивалентна по своему влиянию (малому) измеыеяию ускорения силы тяжести.
В движении, подобном описываемому решением (4.4.2), скорость заметно изменяется яа расстояниях порядка КЙ, а сила вязкости яа едикицу массы жидкости имеет порядок ~ п~й; таким образом, кориолисова сила становится сравнимой по величине с силой вязкости, когда время Г имеет величину порядка одного дяя, и очевидно, что этот случай имеет отногиеяие к геофизическим дрейфовым движениям. Оказывается, что учет влияния кориолисовой силы в движеяиях, подобяых (4.4.2), приводит к яовому удивительно простому распределению скоростей, которое играет важную роль во многих вращающихся системах, что и оправдывает обсуждеиие его здесь.
Основные свойства этого нового распределения скоростей заключаются в том, что оно является установившимся и что измеяепие скорости огракичено слоем конечной толщины, прилегающим к границе. Устаяовившийся характер течения стаковится возможным в силу того, что если скорость жидкости зависит только от одной вертикальной координаты и изменяется как по направлению, так и по велвчике, то сила вязкости может быть всюду перпендикулярной локальной скорости, подобно кориолисовой силе, которая оказывается единственной внешней силой, действующей на жидкость. Установившееся течение можно было бы обкаружить путем анализа разввтия движения из состоякия покоя„однако в дальяейшем примем его существование без доказательства и просто изучим его свойства.
Гв. 4. Равномерный ноток вязкой несжннвеной жндкостн а также и, и-е О при х-е — оо. Давление (модифнцированное для учета силы тяжести и центробежной силы) также постоянно в горизонтальной плоскости, поэтому уравнения установившегося движения относительно вращающихся осей в этой плоскости записываются так: — 2иИзе н — „ ези ез~ ' (4.4.4) 2иИз=» —,". (4.4.5) Здесь И вЂ” компонента в направлении оси х вектора И угловой скорости вращения системы координат. В случае движения на земной поверхности Из = И соз О, где разность (я72) — 0 равна широте, и Из только приближенно постоянна во всем поле течения.
Компонента кориолисовой силы в направления оси х компенсируется градиентом давления и пе представляет интереса с динамической точки зрения. Уравнения (4.4.4) и (4.4.5) достаточны для определения и и и как функций от х. Умножение уравнения (4.4.5) иа 1 = у' — 1 и сложение его с уравнением (4.4.4) дает одно дифференциальное уравнение = 2РИз (и + Рл), ез (и+В) (4.4.6) решение которого, удовлетворяющее условиям па бесконечности, имеет вид и + 1п = А ехр (й (1 + з) х), (4.4.7) где й = у' Я~/ч, причем Из считается положительной, что соответствует северному полушарию, Комплексная постоянная А находится ив условий (4.4.3) па свободной поверхности (4.4.8) и тогда (4.4.9) и==е"*сов (йх — — ), а )/2 и==ее*з(н ~йх — — ) . Я .
е яз (4.4.10) а у 2 Поэтому в слое вблизи поверхности с толщиной порядка й ' вполне возможно установившееся течение. На поверхности жидкости скорость имеет максимальную величину Я/(йу'2) и направлена под углом 45', отсчитываемым по часовой стрелке (глядя сверху) от приложенного напряжения. Довольно неожиданно, по этот угол не зависит от угловой скорости вращения И (можно 4.4. Слой Экмана на границе вращающейся жидкости Р я с. 4.4.!. Вектор скоростя во врюдаюжейся жкдкостк: а — на равлкчкмх рвсстояняях дод свободной поверхностью.
ка каюрой пркложено касательное яапряженке, к б— йа раьлячкых расстоякяях кед твердой плоскостью, когда кмеегся грвдаент давления. 1 — «аправвенае напряжеяая на свободной поверхдосгя; в — яадравленне градиента даввенна. поинтересоваться, что происходит при Ив- 0; в этом случае время, необходимое для установления движения, которое возникает из состояния покоя, неограниченно возрастает и, следовательно, также возрастает величина установившейся скорости на поверхности). По мере углубления под свободную поверхность жидкости происходит равномерный поворот вектора скорости по часовой стрелке (Ял О), а его величина уменьшается по экспоненциальному закону; на глубине, равной ягус, которую можно было бы назвать глубиной проникания, направление скорости противоположно ее направлению на поверхности, а величина скорости уменьшается в бп (ж25) раз по сравнению со значением на поверхности.
На рис. 4.4.1, а представлена проекция на горизонтальную плоскость вектора скорости для нескольких равноотстоящих глубин, причем кривая, описываемая концом вектора, оказывается логарифмической спиралью. На это установившееся течение, характеризуемое равновесием кориолисовых сил и сил трения, впервые обратил внимание Экман (1905) и использовал его при обсуждении порождаемых ветром океанических течений на вращающейся Земле '). Недостаток любого такого приложения этой теории к океану связан с предполоясением, что касательные напряжения возникают в результате молекулярной вязкости; как уже отмечалось, перенос количества движения через горизонтальные плоскости как в океане, так и в атмосфере происходит обычно в основном вследствие нерегулярных флуктуацвй скорости жидкости, возникающих по разным причинам.
Одно возможное усовершенствование полученного 1 ) Сн, также Пеуапг А., Рдув1са1 Осеаподгарду, т. 1, р. 400, Регдагпоо Ргевв, 106! 4яля зубов н. н., дкнамяческая окевнологкя, м.— л., 1047.— Реоп. 255 Гз. 4. Ранномернмй нотон вязкой несжимаемой жидкости решения с учетом этого факта заключается в том, чтобы рассматривать и, которое входит в выражения (4,4.9) и (4.4.10), как некоторый эффективный кинематический коэффициент вязкости, обусловленный флуктуациями скорости (и если имеются данные об изменении этой эффективной вязкости с изменением глубины, то можно вернуться к дифференциальным уравнениям (4.4.4) и (4.4.5) и проинтегрировать их заново). Глубина проникания спирали пропорциональна емз и равна на полюсах Земли 0,39 м, если величина н равна коэффициенту кинематнческой вязкости воды при 15 'С; эффективный коэффициент вязкости при турбулентном смешении в поверхностных слоях моря широко изменяется с изменением условий, однако он почти всегда значительно больше коэффициента молекулярной вязкости (нногда в 10з раз), и соответственно больше становится и глубина проникания.
Одним из параметров течения, представляющим интерес в океанографии, является результирующий объемный поток воды в поверхностном слое через вертикальную плоскость. Его можно определить интегралом о 1("+ ) =-Й= — '"' (4.4.11) Ю и он не зависит от т, если задано приложенное напряжение рЯ; следовательно, эффективная величина коэффициента и в данном случае не имеет особого значения. Следует отметить, что результирующий поток в направлении приложенного напряжения равен нулю, как и следовало ожидать, исходя из того, что результирующее движение в этом направлении привело бы к появлению результирующей кориолисовой силы в ортогональном к нему направлении, которое невозможно было бы скомпенсировать какой-либо другой внешней силой. Слой яа твердой плоской зраяице Предположим теперь, что большая масса жидкости, покоящаяся относительно равномерно вращающихся осей координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
