Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Теперь уравнения установившегося осесимметричного движения без азимутальной закрутки (нг = О; см. приложение 2) в сферической системе координат записываются в форме ди о ди ит 1 др ! т 2и 2 до 2ис1яВ~ и — + — — — — = — — — +и ~Чти — — — —.—— дг ' г дВ г р дг 1 гт г- дВ гт ) ' (4.6.3) до о ди но 1 дд 1 т 2 ди о и — + — — + — = — — — +у (Чан+ — — — . ), дг г дВ г рг дВ 1 гт дВ гтн1нтВ) ' (4.6А) где Если в эти два скалярные уравнения вместо и и и подставить нх выражения (4.6.1) с учетом (4.6.2), то тогда все члены, за исключением содержа1цих давление р, умножаются на одинаковую степень величины г; в этом проявляется специальное свойство представления (4.6.2), на котором основывается выбор именно первой степени г в правой его части.
Переменную г можно исключить из уравнения движения, если принять (4.6.5) где р, — давление на больших расстояниях от начала координат; после этого уравнения (4.6.3) и (4.6.4) сводятся к двум обыкновенным уравнениям 1 д — — — — — Щ' — (1 — Вт) ~"), (4.6.6) 2(1 — 4т) 2 % К = — — К вЂ” —— 1 д Р 2 д5 1 — чт' (4.6.7) где 5 =- соз О, а штрихом отмечено дифференцирование по $. Исключая функцию я из уравнений (4.6.6) и (4.6.7) и интегрируя их три раза, находим 1а — 2 (1 — $т) 1' — 4Я = сД'+ сзз+е„ (4.6.8) 265 где с„см с, — произвольные постоянные интегрирования. Таким образом, примененный способ позволил получить решение уравнений движения (мы считаем, что дифференциальное Гл.
е. Равномерный поток ввакой несжимаемой жвдкоств Ю -! о 1 Р в с. 4.ехк Лвввв тона тетевва длв е С.1, Е» ЗМ37' 1асхвтввм Ф/т в т вемевевм е состеетстетюмвх едвввцах; ось абсцисс совпадает с осью сввматрввъ уравнение (4.6.8) можно решить численно, если зто необходимо) и теперь нужно дать его объяснение. Три постоянные с„с, и са находятся пока в нашем распоряжении для получения частных полей течения, которые представляют интерес с физической точки зрения.
Если мы хотиы, чтобы течение не имело особенностей на оси симметрии, за исключением точки г = О, в которой, как это видно иа выражений (4.6.1) и (4.6.2), особенность неизбежна, то компонента скорости Р на оси должна быть равна нулю, а функпия~вблиаи значения $ = 1(6 = 0) должна вести себя как (1 — $), а вблизи $ = — 1 (9 = и) — как (1 + $); при етом функция в левой части уравнения (4.6.8) должна изменяться как (1 — $)е вблизи $ = 1 и как (1 + Ц' вблизи $ = — 1, что невозможно для функции в правой части, если только все постоянные с„сз и с, не равны нулю. Таким образом, течение с минимальным числом особенностей на оси, по-видимому, вообще самое простое течение из числа рассматриваемых, определяется уравнением Р— 2 (1 — йе) ~' — 4йг' = О. (4.6.9) Преобразование ~ = (1 — йт) Ь ($) дает )ее — 2Ь' = О, отсюда получается решение уравнения (4.6.9) Уа)= ',+(', '), (4.6 10) где с — произвольная постоянная.
Характер течения, описываемого выражениями (4.6.1) и (4.6.2) лри решении (4.6.10) (изученного впервые Ландау (1944) и независимо от него Сквайром (1951)), виден из формы семейства линий тока ер= сопзб (рис. 4.6.1), построенных для случая с=0,1. 4.6. Струя ие точечного неточника иоднчеетва движения Рн е. 4.0.2. лавен толе е(» т( (0) = 1 для е 0,01, 0,1 в 1,0 в е(» тяе) = 1/2 лле е 10 (велачввм е/» и т неиереам в еоответствтющал едащщал; оеь ееедаее еовведеот е осью еввметрва).
Очевидно, что это,)ешеяие представляет собой струю, которая движется с большой скоростью из качала координат и подсасывает медленно движущуюся окружающую жидкость. Границу струи проще всего определить как поверхность с мивимальвь(м расстоянием линий тока от оси, и из решения (4.6ЛО) легко видеть, что зта граница соответствует постоянной величине 6 =В„где 1 соа 60 ) 1+с ' для ливий тока, иаображениых па рис. 4.6.1, Оо — — 24'37'. Когда значение с аадако, отношение )р(г эависит толы(о от 6, так что все линии тока ка рис.
4.6Л имеют одинаковую форму, причем одна получается из другой кугем изменения масштаба г. Таким образом, чтобы показать поля течения, соответствующие разным зкачекиям с, вполне достаточно построить по одной линии тока для каждого аяачеяия с, как ато сделано ка рис. 4.6.2. По мере приближекия с к нулю струя все более концентрируется вблизи оси симметрии. Распределение скоростей пе имеет никаких особенностей, за исключением начала координат, и давлеяие яа больших расстояниях от начала координат распределено однородно. Поатому особенность при г = О, которая, очевидно, влияет ка движение в целом, должна быть исследовала более тщательно.
Струя может существовать только тогда, когда некоторый внешний источник непрерывно сообщает жидкости необходимое количество движе- 267 Ги. 4. Равномернмй поток вивкой несжвмаемой жидкости ния, и очевидно, что именно это делает особенность в точке г = О, обеспечивая пропорциональность скорости жидкости величине г *. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся уравнением количества движения в интегральной форме, как было описано в 3 3.2. Жидкость, находящаяся в данный момент вне замкнутой поверхности, окружающей начало координат, действует на жидкость внутри этой поверхности с силой ~оцпфА, а поток количества движения в направлении внешней нормали к этой поверхности имеет величину ~ ри,и~цйА; величина Р~ = ~(ри~иг — оы) пу2А (4.6А1) Р= (ри (исоа Π— из(п О) — (а,„соз Π— псе з(п О)) 2пгв зш Ос)О, в которой индексы г и О относятся к компонентам в положительных направлениях координатных линий г и О.
Используя формулы для и, и п,е, приведенные в приложении 2, и выражения (4.6.1), (4.6.2) и (4.6.5), находим — в= ~ У'(У' — Л+$(а — 2Й+21+(1 — Р) Г)Ж. -а Наконец, с учетом выражения (4.6.6) и решения (4.6.10) после некоторых элементарных вычислений получаем — — +4(1+с) 1п — +8(1+с). (4.6.12) Таким образом, сила Р, действующая на жидкость в начале координат, однозначно связана с постоянной с в решении (4.6ЛО), и из этого следует, что все влияние особенности в начале координат сводится к атой силе. 263 при установившемся движении равна силе, действующей на выделенную жидкость со стороны ее внутренних границ. Приложение формулы Остроградского — Гаусса показывает, что так как рассматриваемое течение установившееся, то сила Р~ имеет одно и то же значение для любых двух замкнутых поверхностей, окружающих начало координат, независимо от их формы, что и можно было ожидать.
Чтобы вычислить силу Р„выберем замкнутую поверхность в виде сферы радиуса г с центром в начале координат. В силу симметрии только осевая компонента силы Р отлична от нуля, и для нее имеем формулу 4.8. Струя нз точечного ясточяякв колнчествв двнжеявя О га гО у/гдо Р н е. 4.З.З. Сооеномевне нонну снлоа, првложенноа е невеле ноорлннет, в полууглон еоэнннеелпеа ствтн.
Следует отметить, что так как ~ (О) = ~ (и), то никакого результирующего потока массы через любую замкнутую поверхность, окружающую начало координат, нет; особенность при г = О представляет собой источник только количества движения, а не массы. Выражение силы (4.6.12) можно представить в другой форме, в зависимости от полуугла Ое конической границы струи, — = — — -(- — 1п Р 32 сов ео 4 1 — сов ее 8 + — , (4.6.13) 2нртз 3 з1аз Оз созе Ое 1+сов Оз соз Ое ' которая графически изображена на рис. 4.6.3. Для больших значений Р струя становится быстрой и узкой и формула (4.6,13) заменяется приближенной (4.6.14) При тех же условиях течение внутри струи, где 0( Оо, описывается асимптотической формой решения (4.6 10), т.
е. (4.6 15) а далеко вне струи, где 0 ~) Оо,— приближенным выражением ~ (О) 2 (1 + соз О). (4.6.16) Радиальная компонента скорости, соответствующая выражению (4.6.16), равна и = — 2тlг; зто скорость втекающего потока жид- 269 ~Т а Гн. 4. Рааномерный поток кивкой несжимаемой жидкости кости, который компенсирует убывание жидкости, подсасываемой струей. Легко убедиться иа вычислений, приводящих к выражению (4.6.12), что при малых 8е и с (< 1 основной вклад в силу Р (а именно первый член в (4.6.12)) выосит поток количества движения. Этот факт дает возможность оценить силу Р для реальной струи, вытекающей из малого отверстия.
Если жидкость вытекает из отверстия площадью А с однородной скоростью т', имеем е" 1 Ара э исходя из выражения (4.6А2), можно установить зависимость между постоянной с и силой Р, приложенной в начале координат: — — (< 1. е 8 Вирта с Следовательно, в этом асимптотнческом случае функция тока — (па 8, /а 8пр (4.6А8) 270 эта величина должна быть большой по сравнению с единицей, чтобы оценка силы Р была правильной.
Массовый расход через отверстие равен рА т = Р/У, и асимптотические решения (4.6.15) и (4.6А6) для данного (большого) аначения Р дают все лучшее приближение к реальному течению, порождаемому струей иа отверстия, по мере того как скорость У возрастает (или, что эквивалентно, по мере того, как площадь отверстия А уменьшается). Массовый расход в струе, определяемый приближенным решением (4.6.15), на расстоянви г от источника имеет порядок 8пртг, и поэтому представляется возможным, что струя с профи лем скорости, задаваемым выражением (4.6.15), который разви вается на некотором расстоянии вниз по потоку от действитель ного источника, будет такой, как если бы она образовалась в точ ке на расстоянии порядка АР78пт вверх по потоку от отверстия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
