Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Так, например, лист бумаги, падающий яа гладкий пол, вдруг начинает еплытье па слое воздуха между иим и полом и будет скользить в горизовтальиом направлении некоторое время, прежде чем остановится. Существование этого высокого давления в слое жидкости между поверхностями широко используется в инженер ой практике как средство замены трением между жидкостью и твердым телом значительно большего трения между двумя твердыми телами, находящимися в контакте; однажды возникнув, слой жидкости оказывает большое сопротивление сдавливаиию и сохраняется в виде смазочной пленки между двумя поверхностями.
В некоторых случаях слой жидкости можно использовать для поддержания полезной нагрузки, и оп тогда иазывается несущим слоем. Сущность этого явления состоит в том, что толщина слон жидкости между двумя твердыми границами становится настолько малой, что скорость деформации и напряжение, обусловленное вязкостью слоя жидкости, оказываются весьма большими, и это большое напряжение используется путем соответствующего выбора конфигурации слоя жидкости для соадапия большого давления.
Чтобы вонять, как это можно сделать, рассмотрим простой случай твердого тела с плоской поверхностью, скользящего равпомерио по твердой поверхности, причем поверхность скользящей части тела имеет конечную длину 1 в направлении движеиия и иастолько большую ширину, что движение можно рассматривать как двумерное; этот случай был изучен Рейиольдсом 280 4.8. Поля течений, н которых силы инерции пренебрежимо малы Рис. 4.8Л. Слой смахни между даумя ллоеннмн поверхностями а стнаснтельнон дан- женив. в 1886 г. Опыт показывает, что плоские поверхности должны быть немного наклонены друг к другу, в чем мы скоро убедимся. Итак предположим, что границы жидкости расположены так, как показано на рис.
4.8.1. Оси координат свяжем с верхним твердым телом; поверхность нижнего твердого тела будем считать движущейся в своей плоскости со скоростью У, а поле течения в целом будет установившимся относительно выбранной системы координат. Толщина 81 слоя жидкости считается всюду малой по сравнению с 1, и прежде всего мы проверим возможность того, что в любом сечении слоя, в котором толщина слоя и градиент давления имеют определенные значения, распределение скорости оказывается приближенно таким же, как и в слое с постоянной толщиной и постоянным градиентом давления, имеющими всюду те же значения, что и в рассматриваемом сечении.
Если скорость жидкости всюду имеет один и тот же порядок величины У, а позже будет показано, что дело обстоит именно так, то здесь вновь применимо рассуждение, приводящее к условию (4.8.10). Таким образом, условие для предлагаемого приближения, при котором оно должно быть справедливо, выражается неравенством а — (( 1. р ст'о Н В практических задачах смазки это условие обычно удовлетворяется. Поэтому можно перейти к использованию полученных выше решений для слоев постоянной толщины. Вблизи любого сечения, где толщина слоя жидкости равна Ы, а градиент давления равен — ст, в соответствии с (4.2.10) иыеем и = — у (с( — у) + У (:Р ) .
(4.8.11) 2р Объемный расход на единицу ширины слоя жидкости равен и еху = — + —, Усе, Сох 1 12р 2 (4.8.12) 281 а величина е,т не должна зависеть от х. Иа этого следует, что градиент давления должен изменяться с изменением толщины слоя сс Гя. 4. Равномерный поток вяекой несжимаемой жидкости в соответствии с соотношением нр / у 29~ — аи — с =68 ~ — — — ) (4 8.13) е котором с) =- А1 — ах. Интегрирование соотношения (4.8.13) дает р — ре= ~ (У ( —,— — ) — () ( — — — )), (4.8Л4) где ре — давление в сечении х = 0 при И = с)ь Можно предположить, что скользящее тело полностью погружено в жидкость и образует узкий канал для жидкости только с одной стороны., так что давления в точках А и В приближенно одинаковы.
Это условие, состоящее в том, что р = ре, когда с) = с(а, позволяет вычислить расход ч, исходя из формулы (4,8.14): (4.8.15) н тогда выражение для давления принимает вид (4.8.16) (р — ре) дх = —, ~1п+ — 2 ~ — '') ~ . (4,8 17) 282 Решение (4.8.11) и (4.8.16) имеет вид общих зависимостей (4.8. 5), соответствующих случаю, когда основные граничные условия выражены только через скорость и. Теперь можно рассчитать объемный расход и распределение давления в смазочном слое, если скорость скольжения У и наклон скользящей плоскости тела известны.
Приращение давления р — р, в слое имеет постоянный знак, и оно положительно, если только с(, ( дь как и предполагалось. Таким образом, слой смазки создает положительное давление и способен поддерживать нагрузку по нормали к слою только в том случае, когда слой располагается так, что относительное движение поверхностей заставляет жидкость (посредством касательных напряжений) двигаться в направлении от более широкого к более узкому концу слоя. Приращение давления имеет единственный максимум в слое с величиной порядка )еЫПЙ', (мы полагаем величину (с(, — с(з)/А1 имеющей порядок единицы); из этой оценки видно, что в очень тонких пленках могут устанавливаться весьма высокие давления.
Полная величина нормальной силы, действующей на каждую нз двух границ со стороны слоя жидкости, равна 4.8. Поля течений, п которых силы нверцмв пренебрежимо мелы Полная касательная сила, приложенная к нижней плоскости, определяется интегралом ! ) р( — ) с(х= ! (3 ( ' ') — 21п — г~, а такая же сила на верхней границе равна о Две касательные силы не равны и не противоположны, так как норыальная сила на одной плоскости имеет малую составляющую, параллельную другой плоскости.
Таким образом, отношение касательной силы к нормальной равно произведению х( — „") (4.8.18) и если величина (Ы! — 89)/11! имеет порядок единицы, то порядок величины этого «коэффициента трения» равен отношению гуг!1. Отчасти удивительно, что отношение двух компонент силы не зависит от вязкости жидкости и его можно сделать сколь угодно малым путем уменьшения 11! при сохранении постоянным отношения г(»Я! Выше мы принимали угол а заданным хотя в любом случае когда скользящее тело свободно движется под действием данной нагрузки, угол а может быть переменным; тогда полол!ение тела.
при котором заданная нагрузка поддерживается давлением в сыазочном слое, должно быть состоянием устойчивого равновесия. Расс»!Стрение этих практических вопросов и важного случая сыазочного слоя ыежду вращающимся круглым валом (цапфой) н цилиндрическим подшипником несколько большего радиуса выходит за рамки этой книги ').
Течение в приборе Хеле-Шоу Прибор Хеле-Шоу дает хороший пример течения, в котором инерционные силы пренебрежимо л!алы. Он представляет собой две параллельные пластины, близко расположенные друг от друга; пространство между пластинами частично заполнено жидкостью и частично занято «препятствиями» в виде цилиндров образующими, перпендикулярными пластинам. Жидкость приводится в движение от одного конца слоя к другому приложен- '! Отсмлвем читетеля к специальным огковоистввм, например, М!сЬеп А.
П. М.. Ьсог!св1!оп: 11в Рг!пс191ев впс Ргвсисе, 81всз!е, 1950 1см. твин!с лей«евсеи л. с. !Реп.!. гпцропннвмичеснви теооия смевии. Й. и. петров, о. Рейнольпс, А. ЗоммеуФельн, А. МНЧЕЛГь Н, Е. жУНОВСпнй, С. А. ЧВПЛМГИН, М.— Л., 193!.— РМГ.1. 283 Гл. 4. Равномерный поток вязкой иесжпмвемой жидкости ной постоянной разностью давлений. Толщина слоя с1 мала по сравнению с линейным размером Ь препятствия (измеряемым в плоскости пластин), так что мы опять рассматриваем случай, когда течение в малой части слоя приближенно такое же, как если бы локальный градиент давления был постоянным.
Если такое приблвжение справедливо, то соотношение между локальной скоростью и локальным градиентом давления выражается приближенными формулами и ж — — — з (г( — з), р яб — — г (г( — г), (4.8.19) 1 др др 2р дл гр др где координата г берется по нормали к пластинам. Скорость жидкости заметно изменяется вдоль линий тока на протяжении длины порядка Ь, и поэтому сила инерции имеет порядок р (из + рз)пыз/Ь.
Следовательно, условие о малости сил инерции по сравнению с силами вязкости (для какого-либо характерного значения з) сводится к неравенству ( 'г"~/ ЧРЬ) ~~ 1 (4.8.20) Это условие, которое по существу совпадает с условием (4.8.10), если заметить, что отношение двух длин, определяющих силы вязкости и силы инерции, равно сс в одном случае и и/Ь вЂ” в другом, без труда выполняется в лаборатории.
Хеле-Шоу (1898) установил, что величины и и и при некотором постоянном значении з (или средние по з), находимые по формулам (4.8.19), определяют в плоскости (л, у) двумерное поле скоростей, которое оказывается безвихревым и которое на твердой границе удовлетворяет условию обращения в нуль нормальной компоненты скорости, но не условию отсутствия скольжения. Таким образом, линии тока установившегося течения в приборе Хеле-Шоу около препятствий идентичны по форме линиям тока гипотетического двумерного безвихревого течения невязкой жидкости около препятствий такой же формы. Вводя красящее вещество в нескольких точках во входной части щели (положение источников красящего вещества по нормали к пластинам существенного значения не имеет), этот прибор можно использовать для визуальной демонстрации линий тока в таком гипотетическом течении 1).
Соотношения типа приведенных применимы также к течению в очень тонком слое жидкости (толщиной в несколько миллиметров) в открытом горизонтальном сосуде, причем уровень поверхности жидкости с одной стороны сосуда поддерживается выше 1) Будут ля з девстзвтельвости жвдксств с мелов вязкостью дзягвться затя бы првблззятельво беззвзрезмм обрззом с одвозвзтвым и вепрерыввыт пожзкизлом скорости. изк сто следует яз зырюкевва [4.злз), взвесят глзввым обрезом ст йормы препягстзвв. кзк мы узйдвм з следующей глвзе. 4.8. Поля течений, в которых силы инерции пренебрежнме малы уровня на другой стороне путем непрерывного добавления жидкости; такое устройство может быть более удобным для демонстрационных целей.
Фильтрация через пористую среду Когда грунтовая вода под влиянием градиента давления вынуждена двигаться через почву, каждая ее частица, проходя через нерегулярно расположенные поры между частицами почвы, описывает сложную траекторию. Пусть И вЂ” характерный линейный размер этих пор, а бв — характерная скорость движущейся жидкости в порах; следует ожидать, что в установившемся движении силы инерции будут иметь порядок рУ»/Ы, а силы вязкости — порядок )»Г~~Р. Силы инерции будут малы по сравнению с силами вяакости, если — (( 1, р Уа р и тогда основные уравнения движения сводятся к уравнениям (4.8.1) и (4.8.2). Это условие удовлетворяется в большинстве случаев движения грунтовых вод и во многих других случаях просачивания жидкости череа пористые твердые тела, и соответствующие законы течений с очень малыми инерционными силами имеют большое практическое значение. Так как подробных данных о геометрической форме пор, заполняемых жидкостью, не имеется и, более того, они были бы непригодны вследствие их сложности, то обычно вводят зависимые переменные, которые по существу представляют собой средние величины для большого числа пор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
