Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Таким образом, скорость диссипации, соответствующая течению в данной области с пренебрежимо малыми силами инерции, меньше скорости диссипации в любом другом соленоидальном распределении скорости в той же области (включая и распределения, которые удовлетворяют полным уравненияы движения) с одними и теми же значенияыи скорости во всех точках на границе области. Уира жяевия 1. Круглый диск радиуса а параллелев твердой плоскости и ваходится яа малом расстоявия Ь(» а) от иее; пространство между ипми аавято жидкостью. Давлевие ва краю диска равио атмосферному. Покажите, что движеиие диска в иакравлеиии вормали к плоскости порождает силу, действующую иа диск в противоположном ваправлевия и равную рл« лЬ рЬ лЬ вЂ” — — если — — » 1.
Ьз лг ' лг Исходя яз этого покажите, что постоянная сила Р, приложенная к диску, который находится скачала ва расстоявии Ь«от плоскости, оторвет его от плоскости за время (3/4) яра«/Ь«Р. (Тот факт, что это время велико, если Ь мало, кредстазляет собой основу явления вязкого склеивавия,проявляющегося, например, в липкой ленте и в «слипающихся» хорошо отшлифованяых металлических поверхностях.) Акалогичио покажите, что сила, противодействующая изменению минималького расстояния Ь между поверхиостями двух почти соприкасающихсв твердых сфер радиусамя а и Ь равна р НЬ рЬ ~В Б Ь(.-«Ь,)а —,Г е — „Вг»' 291 19« Гл. 4. равномерный поток вязкой иесжямаемой жидкости 2.
Жидкость в областя между двумя твердыми плоскостями при 9 = = ~сс находатся в состоянии установившегося двумерного движения, вызванного некоторой причиной вдали от угла. Исследуйте движение вблваи угла с функпиеи тока вида гьг' (9), где г (9) — четная фуикпия от 9, а постоянную Х нужно определить. Покажите, что действительные решения относительно Х существуют только при а ) 73' (прнблизптельно). Течение, соответствующее комплексным решениям, полученным при а ( Ч3', состоит яа ряда витрен уменыпающнхся размера и интенсивности по мере приближения к углу (Моффат (1964)). 4.9. Течение, вызываемое движением тела при малых числах Рейнольдс а Если тело с характерным линейным размером И совершает установившееся поступательное движение со скоростью й в ничем больше не возмущенной жидкости, то Ы и У представляют собой характерную длину и скорость поля течения в целом.
Поэтому силы инерции жидкости должны иметь порядок рбтН, а силы вязкости — порядок рП/~(а. Отношение этих двух величин рдс(г)а = Ве, и поэтому при Ве (( г силами инерции можно пренебречь. Приступим к исследованию поля течения в этом предположении, сознавая, что полученное таким образом решение должно быть проверено на соответствие с начальным предположением. Движение тела через жидкость при малом числе Рейнольдса (обычно из-за весьма малого размера тела) представляет собой задачу, которая важна при изучении многих явлений, таких, например, как выпадение осадка в жидкости или падение капель тумана в воздухе.
Величиной, представляющей паибольший практический интерес, является сила сопротивления, действующая со стороны жидкости на тело, так как, зная эту силу, можно рассчитать в частности предельную скорость свободного падения под действием силы тяжести. Скорость тела в практических задачах не всегда постоянна, однако полученная выше оценка относительной величины сил инерции и сил вязкости остается пригодной, если только тело или окружающая его жидкость не вынуждены двигаться с ускорением, ббльшим, чеы О'з/г( (как может быть, например, если через жидкость проходит звуковая волна высокой частоты).
Уравнения (4.8.1) и (4.8.2) перепишем так: (4.9.() (4.9.2) ~7 и =- О, где ре — постоянное давление на достаточном удалении от тела. Из этих уравнений следует, что чар=О, $"в=О. 292 4.9. движение тела при малых числах Рейнольдса Выберем систему координат, в которой жидкость на бесконечности неподвижна. Тогда граничные условия при движении лсвердого тела со скоростью П таковы: н = Ю на поверхности тела, (4.9.3) н -~- О, р — ро -~ О при ~х ~ -а. оо. Из общего результата, полученного в конце предыдущего параграфа, мы видим, что существует единственное решение уравнений (4.91) и (4.9.2), которое может удовлетворять граничным условиям (4.9.3).
В данном случае мы будем явно использовать тот факт, что уравнения (4.9.1) и (4.9.2) и граничные условия (4.9.3) линейны и однородны по н, (р — ре)/(а и Ю. При этом выражения для и и (р — ре)/)а также должны быть линейными и однородными относительно П. (Аналогичное рассуждение использовалось в $2.9 для безвихревого течения — см. (2.9.23).) Твердая сфера Важный случай тела сферической формы является одним из немногих, который поддается аналитическому изучению. Поле течения, создаваемого твердой сферой при поступательном движении, было впервые определено Стоксом (1851). Выберем начало неподвижной системы координат в мгновенном положении центра сферы радиуса а.
Распределения скорости н и давления (р — ре)/1а должны быть симметричными относительно оси, проходящей через центр сферы и параллельной вектору скорости Ю, а вектор н должен быть расположен в плоскости, проходящей через эту ось. Дифференциальные операторы в уравнениях (4.9.1) и (4.9.2) не зависят от выбора системы координат, так что величины (р — ре)/(а и скорость и зависят от вектора х. а не от какой-либо комбинации его компонент.
Параметры Ю и а завершают перечень величин, от которых могут зависеть (р — ре)/1а и н (если бы тело имело какую-либо другую форму, отличную от сферической, то следовало бы включить векторы, определяющие ориентацию тела, и скалярные параметры его формы). Из сказанного следует, что решение (р — ре)/р должно иметь вид Ю хР/аа, где Р— безразмерная функция только от (х х/аа) = =- га/аа. Поскольку разность давления р — ре удовлетворяет уравнению Лапласа и обращается в нуль на бесконечности, она может быть представлена в виде ряда по объемным сферическим функциям отрицательных степеней радиуса г (см.
(2.9.19)); указанному виду решения соответствует единственный член ряда 293 Гя. 4. Рввкомерный поток вязкой несжимаемой жидкости порядка — 2 (едипольный» член). Таким образом, — Сй.х 1з гз (4.9.4) где С вЂ” постоянная. Точно такое же рассуждение применимо и к гармонической функции ю, которая представляет собой азимутальный вектор и которая должна быть пропорциональна произведению Ю х х/гл. Из уравнения (4.9.1) можно установить, что коэффициент пропорциональности равен С, так что (4.9.5) Скорость, соответствующую такому распределению завихревности, удобнее всего выразить через функцию тока ф В сферической системе координат (9 = 0 в направлении П) азимутальная или ~р-компонента вектора ю имеет выражение 1 д (гив) 1 ди, г дг г дз' Заменяя и„и ие выражениями (2.2.(4), получаем из (4.9.5) уравнение относительно ф дзО в1аО д 1 дф ССз1пзО Очевидно, что частный интеграл этого уравнения пропорционален э(п' 6; внутреннее граничное условие требует, чтобы при г = а функция зр зависела от О таким же образом.
Поэтому мы положим ф = И з(п ЕУ (.). (4.9.6) Очевидно, что этому выражению отвечает вектор скорости (4.9.7) Уравнение для неизвестной функцни 7(г) принимает вид дз1 21 С (4.9.8) де гз г общее решение которого ~ (г) = — бг+ 1г т+ Мгз. 2 (4.9.9) 294 Члены, содержащие новые постоянные Ь и М, относятся к некоторому безвихревому движению. Далее, согласно внешнему граничному условию, при г — ~ оо должно быть багз) -«-О, и, согласно кинематическому условию 4.9.
Движение тела при яалмх чиелах Рейяольлса Р и о. 4.9.!. Линии тона в осевой плоскости течения, еоецаваеиого ввижужейея с$ерой при числе Рейнольвеа Не«! (беа учета еил инерцви!. и, = С соз О на поверхности сферы, ) (а) = (1/2) а'. Следовательно, М = О, Ь = — аа — — Сав. 2 2 (4.9.10) Остается выполнить условие прилипания на поверхности сферы, а именно ив = — —. — = — Узы О при г= а; 1 дер г в!па дг это условие удовлетворяется, если С= — а. (4.9.1 1) 'Таким образом, получена функция тока этого течения: (4.9.12) Картина линий тока показана на рис.
4.9.1. Линии тока симметричны относительно центральной плоскости, нормальной к скорости ч), что. конечно, вытекает из линейной зависимости и от Ю; изменение направления вектора скорости !) на обратное приводит только к изменению знака всех векторов и.
Следует также заметить, что возмущение, вызванное сферой, распространяется на значительное расстояние, причем скорость при больших значениях г стремится к нулю как г-'. Вследствие этого наличие внешней твердой границы, например в виде цилиндра с образующими, параллельными скорости Ю, может заметно изменить движение жидкости, даже если граница находится на расстоянии многих диаметров от сферы; подобным я<е образом может оказаться заметным взаимодействие между двумя сферами, движущимися на расстоянии многих диаметров друг от друга.
Эти особенности решения возникают в результате пренебрежения инерционным членом в уравнении движения. Уравнение для завихренности, Чвю = О, показывает, что течение, соответствующее функции тока (4.9.12), вызвано по существу только лишь установившейся молекулярной диффузией завнхренности 295 Гл. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
