Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Динамическое подобие к число Рейнольдса обычно будут встречаться специальные места, где зги безразмерные параметры весьма малы), то число Рейнольдса служит мерой относительной величины сил инерции и сил вязкости. Для заданных начальных и граничных условий изменение числа Рейнольдса вообще соответствует изменению относительной величины сил инерции и вязкости; правда, такое утверждение тоже не вполне точно, так как производные Ви;1Р~' и деиаlдл,'дл) сами зависят от числа Рейнольдса и мы должны предположить, что они остаются величинами порядка единицы. В частности, уменыпение числа Рейнольдса до величин Ве (( 1 сводится к тому, что силы инерции становятся значительно меньше сил вязкости, поэтому силы давления и вязкости доминируют в поле течения; условна Ве )) 1 означает„что, наоборот, силы инерции намного превосходят силы вязкости и они вместе с силами давления преобладают.
При значениях числа Рейнольдса порядка единицы все три силы предположительно играют одинаково важную роль в уравнении движения. Ни для одного из исследованных в этой главе течений эти общие замечания о динамическом подобии не имеют существенного значения, так как все эти течения особенно просты в том или ином отношении (и в действительности они были выбраны именно по этой причине). В некоторых из этих течений (напрнмер создаваемом движением одной плоской границы из состояния покоя) для определения граничных условий нужна только скорость, а не длина, поэтому число Рейнольдса не входит в аадачу; в случае же струи, исследованной в з 4.6, эффективное число Рейнольдса (Р/рче)ме можно было построить на основе параметров, взятых иэ граничных условий, однако здесь также нет никакой характерной длины, с помощью которой координаты можно сделать безразмерными.
В случае установившегося течения одного направления сила инерции всюду в потоке тождественно равна нулю, поэтому не существует никакой возможности нарушить равновесие сил посредством изменения какого-либо граничного параметра; не имеется такой возможности и в случаях неустановившегося движения одного направления, создаваемого движущимися границами, так как силы давления всюду в потоке равны нулю. Только в случае движения, возникающего из состояния покоя в результате внезапного движения плоской границы со скоростью У, если жидкость находится между этой границей и другой неподвюкной плоскостью, расположенной на расстоянии И от нее, распределение скорости (см, (4.3.14)) имеет выражение ОР— "",' =1 — —" — — ~~~~~ — ехр ( — пав' — ~ ) з1п (пя — "), е=! 275 $8е Гл.
4. Рввпомвркый поток вязкой несжимаемой жидкости содержащее число Ве = рслУ/)л. Это выражение имеет общую форллу, ожидаемую для случая, в котором ваданне граничных условий обеспечввается только одной длиной н только одной скоростью. Как уже отмечалось, силы давления в этом течении всюду равны нулю„ так что силы инерции и силы вязкости всюду имеют одинаковую величину независимо от значения Ве. В этих условиях изменение числа Рейнольдса по своему влиянию полностью эквивалентно изменению масштаба времени, причем большим числам Ве соответствует более медленное приближение к конечному установившемуся состоянию. Другие безразмерные параметры, имеющие динамическое значение В приведенном обсуждении число Рейнольдса появилось в качестве единственного безраамерного параметра, необходимого для определения динамического состояния полей течения с геометрически подобными начальнылли и граничными условиями, так как параметры Е, У, р и р считались единственными размерными параметрами, изменяющимися от одного поля течения к другому.
Если учитывается влияние на течение других физических факторов, то в анализ входят новые безразмерные параметры и новые критерии динамического подобия такого же общего смысла, как и число Рейнольдса. Обширный перечень таких чисел, многие из которых назывались именами авторов, впервые использовавших эти числа, можно найти в учебниках. Однако для динамического определения почти всех полей течения, рассллотренных в этой книге, требуется только число Рейнольдса, изменение которого, впрочем, дает большое разнообразие форм течений. Один дополнительный безразмерный параметр появляется (даже если на жидкость действуют только силы инерции, давления и вязкости), когда в граничные и начальные условия входят трн независимых размерных параметра Л, 0 н, например, частота колебаний.
Примером служит течение, соадаваемое плоской пластиной длины Ь (в двух измерениях), которая движется вперед в неподвижном воздухе со скоростью У и одновременно колеблется относительно некоторого среднего положения с частотой п. В таких случаях для динамического подобия двух полей течения требуется, чтобы как число Рейнольдса, так и число Струхаля пй Я)л= ~~, имели одинаковые значения для обоих полей. Следует подчеркнуть, что число Струхаля представляет собой независимый параметр, который влияет на динамическое состояние поля течения, только в том случае, когда все три параметра Ь, У и н изменяют- 276 4.8. Поля течений, в которых силн инерции пренебрежимо малы ся независимо друг от друга.
Существуют случаи, в которых колебания потока возникают спонтанно (как в следе за круговым цилиндром при числах Рейнольдса в диапазоне примерно от 40 до 4 10'), и в таких случаях частота колебаний представляет собой зависимый параметр течения, н, следовательно, можно написать, что и1 (ке) Ь Все же удобно говорить об отношении нЫУ как о числе Струхаля потока, даже если оно характеризует частное свойство потока, а не является определяющим критерием подобия. 4.8. Поля течений, в которых силы инерции пренебрежимо малы (4.8.1) (4.8.2) %'р = Функ, ~,"к = О. Если в основные граничные условия (имеются в виду условия, которые вызывают движение жидкости) входит только скорость и, задача сводится к нахождению решения уравнений ~7е ((7 Х и) = О, 17 и = О, (4.8.3) причем давление определяется из уравнения (4.8.1).
Если, наоборот, основные граничные условия выражены только череа давление, то необходимо решать уравнение ~7вр = О, (4.8.4) и тогда скорость течения находится иа уравнения (4.8.1) с использованиелв (4.8.2). В любом случае распределения давления р 277 Как уже отмечалось, наличие нелинейного члена к.Чк в выражении для ускорения создает большие трудности при решении уравнения движения для любых течений, за исключением простейших. К счастью, в некоторых условиях, представляющих практический интерес, нелинейный член хотя и не равен нулю, однако настолько мал, что в первом приближении им можно пренебречь. Если, кроме того, течение установившееся или почти установившееся, такое, что модуль производной ~дп~дг~ ненамного больше модуля ~п ~рп ~, то полная сила инерции всюду мала по сравнению с силами давления или вязкости. Этот и следующий параграфы будут посвящены случаям, в которых силы инерции пренебрежихю малы при условиях, которые еще нужно будет определить; более трудные случаи течения, когда силами инерции пренебрегать нельзя, будут изучены в следующей главе.
Когда сила инерции всюду незначительна, основными уравнениями становятся Гл. 4. Равпомерпый поток вязкой песжккаекой жидкости и скорости и не зависят от коэффициента вязкости р, который определяет только соотношение между скоростью и и давлением р (точнее, избыточным давлением р — рз). Выводы предыдущего параграфа относительно общей формы решения, очевидно, сводятся здесь к тому, что решение должно иметь вид — =1з( —; а, Ь, ...), (4.8.5) если основные граничные условия содержат только и, или (4.8.6) если основные граничные условия содержат только давление р. Безразмерные параметры а, Ь,...
в решении должны зависеть только от геометрической формы границ течения. Течение в каналах слабо иеменлюкзейел формы В этом первом примере нелинейный член уравнения движения оказывается всюду малым, так как по существенно геометрическим причинам скорость и изменяется вдоль линий тока очень медленно. В случае течения в цилиндрической трубе под действием разности давления на ее концах член и Чп тождественно равен нулю; если теперь поперечное сечение трубы изменяется вдоль ее длины, произведение и ~п чь О, но, так как сила вязкости для цилиндрической трубы не равна нулю, всегда можно сделать отношение модуля )н зуп ~ к силе вязкости пренебрежимо малым, выбирая достаточно малое изменение поперечного сечения трубы по ее длине.
Расслштрим сначала простой случай установившегося течения в круговой трубе, радиус которой а медленно изменяется по координате х вдоль ее оси, На концах трубы поддерживается постоянная разность давлений и возникающий градиент давления — 6 будет также медленно изменяться по х. В окрестности любого сечения х = сопз$, например, в пределах нескольких радиусов трубы вверх и вниз по потоку, радиус трубы и осевой градиент давления можно считать приближенно постоянными, равнымн соответственно а (х) и — 6 (х), поэтому приближенно можно воспользоваться выражением осевой скорости, полученным в пренебрежении силой инерции (см.
(4.2.5)): и(х, г)= -(аз — г*), 'Ц$ 278 4.6. Поля течений, в которых силы инерции пренебрежимо малы где г — расстояние вдоль радиуса от оси трубы. Тогда, если Д— постоянный объемный расход жидкости вдоль трубы, 0==,„, (4.8.8) то выражение (4.8.7) можно представить в виде и(х, г) = У (1 — е), У = —,. ае ~' пав' (4.8.9) Р~ — Рт = — „ так что если заданы давления р, и рт в двух сечениях трубы х = х, и х = хз и известна геометрическая форма трубы, то можно вычислить объемный расход Ч, а затем и градиент давления 6 (х). Очевидно, что выражение (4.8.9) будет хорошим приближением при достаточно ыалых значениях а и можно отыскать специальное условие для его выполнения, используя само выражение (4.8.9) для оценки величины пренебрегаемой силы инерции. Из выражения (4.8.9) следует, что характерное значение вели чины каждого нз членов риди/дх и роди(дг равно арУЧа.
С другой стороны, для силы вязкости ф7ти, сохраняемой в уравнении движения, мы имеем характерную величину ру/ат, показывающую, что решение (4.8.9) согласуется с пренебрежением силой инерции, если а — « 1. раб р (4.8.10) Подобные простые соотношения приыенимы и к установившемуся течению между двумя непараллельными плоскостяыи, и из точного решения основных уравнений движения для итого случая, которое будет описано в $5.6, непосредственно получается приближенное решение, аналогичное решениям (4.8.7) или (4.8.9), когда удовлетворяется условие (4.8.10). Такого рода приближение, какое было использовано при получении решения (4.8.7), а именно предположение о том, что ширина канала и градиент давления локально постоянны, полезно во многих случаях.
Когда движущаяся жидкость находится между двумя границами, равность скоростей в соседних точках на двух границах является еще одним, третьны параметром, 279 Линии тока не идут строго в одном направлении, а наклонены к оси под малым углом, величина которого имеет порядок даЯх = = а (х), позтоыу кроме осевой компоненты скорости и существует н радиальная компонента скорости и порядка аи. Из формулы (4.8.8) следует, что Гл. 4. Равномерный поток вязкой несжимаемой жидкости который может медленно изменяться с изменением координат, как, например, в течении между двумя близкими друг к другу дисками, один из которых вращается в своей плоскости, или в слое смазки, который рассматривается ниже. Некоторые случаи, в которых условия течения в канале медленно изменяются с течением времени, как, например, когда два плоских диска прижимаются друг к другу и жидкость между ними вытекает в радиальиых направлениях, также можно рассматривать в указанном приближении.
Во всех таких случаях силы вязкости преобладают в связи с большими градиентами скорости, определяемыми поперечными размерами области течения, а силы инерции зависят от производных скорости, определяемых относительно больтей длиной (расстоянием вдоль линии тока, ка котором заметно изменяются параметры канала) или ббльшим промежутком времени. Теория смазки Из повседневного опыта известно, что два твердых тела могут очень легко скользить друг по другу, если между ними имеется тонкий слой жидкости, и при определеикых условиях в этом слое жидкости устанавливается высокое положительное давление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
