Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Другой предельный случай течения в безграничной жидкости вяз одиночного вращающегося цилиндра получается при г,-<- со и И, = 0; при этом У=в г10< (4.5.10) Ото — распределение скорости безвихревого течения, в котором циркуляция скорости по всем замкнутым кривым, обходящим один раз вокруг цилиндра, равна 2яг,'И<. Момент пары сил трения, приложенной к жидкости со стороны цилиндра единичной длины, равен постоянной 4я)<г,'1<„что указывает на непрерывное увели- чение полного момента количества движения жидкости; это не про- тиворечит предполагаемой стационарности движения, так как полный момент количества движения, связанный с распределе- нием (4.5.10), бесконечен и пара, развиваемая все время цилинд- ром, нужна для того, чтобы создавать и поддерживать это распре- деление скоростей на всех расстояниях от цвлиндра. Уравнение (4.5.1) или один из его эквивалентов можно исполь- зовать для исследования изменений в течении при начале или остановке вращения кругового цилиндра и последующего прибли- жения его к установившемуся состоянвю.
В качестве примера рассмотрим движение, возникающее из состояния покоя в жидко- сти, содержащейся внутри кругового цилиндра радвуса а, который начинает вращаться с постоянной угловой скоростью ьзм Условия, которым должна удовлетворять скорость и (г, г), суть э(г, 0)=0 при 0(г(а, э(а, г)=йвз при с)0. Тот же метод решения, который несколько раз вспользовался в $4.3, в применении к уравнению (4.5.1) показывает, что ско- рость и нужно искать в форме ряда по функциям Бесселя первого порядка.
Вновь более удобно рассмотреть функцию ю (г, С) = Язг — и (г, 8), так как и = 0 для всех значений ~ при г = а и при отсутствии каких-либо особенностей на осв вращенвя при г = О. Уравнение для функции ю такое же, кэк и уравнение для функции и, и реше- ние, которое тождественно удовлетворяет этому уравнению и усло- виям приг = Оиг = а, представляетсобойрядФурье — Бесселя ОФ ю (г, <) = ~~~ А„.Т< (Մ— ') ехр ( — Х'„— з), (4.5.11) ваи где Х< — функция Бесселя первого рода первого порядка, а Х полой<ительные значения Х, при которых < < (Х) = О.
Написанное 261 Гд. 4. Равномерный поток вяакой несжимаемом жидкости выражение будет также удовлетворять начальному условвю при ! = О, если се ,'~~ А„У1 (Хп — ") =Я т, О <г<а, п=! С помощью ставдартвых формул находим ') ! А„= — йотвХ!(3 л)Нх=— 2а 2(]еа )3 Ого] авто(а ) Таким образом, получаем распределение скорости р(г, !)=йег+2йси 'Я, ' ехр ( — )е —,). (4.5Л2) и=! Дольше всех сохраняется первый член ряда (и = 1), и соответствевво отклонение от вращения твердого тела очень скоро затуХавт ПО ЗКСПОПЕПЦИаЛЬИОМУ ЗаКОНУ С ПОСтОЯННОй аЧ(Хегт), Х1 = = 3,83. Аналогичные, хотя и более сложные решения можио получить для течения, возникающего из состояния покоя в жидкости между двумя круговыми цилиндрами (когда скорость выражается в виде ряда Фурье — Бесселя, содержащего фувкции Бесселя как первого, так и второго родов), а также для жидкости вве одного кругового цилипдра (когда скорость определяется интегралом Фурье — Бесселя с бесселевыми функциями обоих родов) ').
Наконец, в качестве случая, для которого более удобно использовать уравнение (4.5.6), рассмотрим течение, в котором в иачальвый момеит времени завихреккость равна везде нулю, за исключеиием оси г = О, вдоль которой расположена вихревая нить (см, $2.6) ивтепсиввости С. Вначале циркуляция по всем окружностям с центром па этой оси имеет одно и то же значение С и, следовательно, и = Стяг.
Завихревиость в данном случае диффуидирует радиально от места ее начальной концентрации ва ликии, в то время как в обсуждавшемся равее случае ($4.3) аавихреикость первоначально была сосредоточена ва плоскости. й математической точки зрения зта задача распространения (яли диффуаии) завихреиности от вихревой нити идентична двумерной задаче распространения тепла в одпородиом твердом теле от ливии, па которой первоначально было сконцентрировано конечное количество тепла С. Решение ') См.
примечаняе иа огр. 250. ) см'. т1 вша вь в. с,,'в]веп]шсмоп втрапенше, ! 1.м, !ло, оа!о о, шов (ес а втеснив перевод первого падания: татчмарш Э. ~Х., Раааошешгя по собственным Фуия нпяи..., ИЛ, М., ч. 1, !ЕСО, Ч. В', !ВЕ!.— Р С.]. 262 4.о. Течение с круговыми линиями тока 0 2 4 Рис.
абя. Расвредевение скорости, связанное с вншпями ви*ревоа ивтн 1рвввус г н ярснееевеяие те веиерены в состветствгюшнв едннндавх получается непосредственно иэ решения (4.3.2): С Г гвв еа (г, 1) = — ехр ( — — ) . 4ятг 1 4тг ) (4.5.13) Соответствующее распределение скорости 1 г С Г ге 1 и(г, г)= — гигдг= — „~ ~1 — ехр( — — „~) (4.5.14) 263 изображено на рис. 4.5.1 для различных значений а При малых значениях г (< 7 4тг жидкость вращается как твердое тело с угловой скоростью С/(8ятг);при больших же значениях г>)~4м~ движение безвихревое, каким оно и было в начальный момент.
Можно установить, что распределение циркуляции скорости по окружностям с центрами в начале координат, т. е. 2пги, имеет одинаковую форму при всех а Это можно предсказать по соображениям раэмерностей, исходя из того факта, что комбинация ги/С— безразмерная аависимая переменная, которая может зависеть только от т, г и т и, следовательно, должна быть функцией только одного параметра гв/та Гл.
4. Равномерный поток вязкой несжимаемой жидкости 4.6. Установившаяся струя из точечного источника количества движения Перейдем теперь к менее простым полям течения и рассмотрим одно нз немногих известных точных решений уравнения движения (4.1.8), не относящееся к течениям одного направления. Сталкиваясь с трудностью решения нелинейного дифференциального уравнения с частными производными, имеет смысл попытаться найти частные решения, в которые все независимые переменные.
кроме одной, либо вообще не входят, либо входят в некоторой простой комбинации, определяемой на основе теории размерностей, и тогда зависимость от остающейся переменной задается обыкновенным дифференциальным уравнением. Тривиальным примером этого может быть исключение из числа независимых переменных времени г и угловой координаты посредством выбора установившегося течения со сферической симзсетрией относительно начала координат, когда в качестве независимой переменной остается только расстояние г вдоль радиуса.
В таком случае может быть отлична от нуля только радиальная компо пента скорости и и уравнение сохранения массы показывает сразу, что и — г ', в атом случае уравнение движения служит только для определения давления. Это простое решение имеет особенность в начале координат, которой физически соответствует установившийся источник массы. Подобным же образом можно рассмотреть установившееся течение, симметричное относительно некоторой оси, сохраняя в качестве независимых переменных только г и 0 (угол между радиусом-вектором и осью симметрии), и затем перейти к наложению таких дополнительных ограничений, чтобы зависимость решения либо от г, либо от 0 стала очевидной. Поле течения, обсуждаемое в этом параграфе, может быть получено на основе предположения о том, что скорость жидкости изменяется по закону г-', тогда зависимость ее от угла 6 находится из обыкновенного дифференциального уравнения.
Такой способ не является прямым в том смысле, что заранее неизвестно, какой вид имеет поле течения и имеет ли оно фиаический смысл, пока математическое решение не получено и не объяснено, хотя он может быть весьма полезным в опытных руках. Предположим, что вращения жидкости относительно оси симметрии течения не происходит.
Целесообразно ввести стоксову функцию тока зр, тогда получаем выражения для компонент скорости (и, и, О) в сферической системе координат (г, 6, ф) (4.6Л) тзз1нз де ~ тешз ат а уравнение сохранения массы удовлетворяется тождественно (сы. 5 2.2). Дополнительное ограничение, которое нужно наложить 264 4.6. Струн иа точечного источника количества движении в надежде, что уравнения движения можно будет решить, заключается в том, что компоненты скорости и и н изменяются по закону г ', и, следовательно, ф г. На этом основании можно написать ф(г, О)=го/(О), (4.6.2) причем множитель т введен для того, чтобы сделать искомую функцию 1 безразмерной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
