Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Мы можем определить «локальную» скорость п установившегося течения через пористую среду как такую, которая имеет компоненты, равные объемному потоку жидкости на единицу площади через три плоские элемента поверхности, перпендикулярные к координатным осям, причем линейные размеры их намного больше характерного размера Ы. Такое определение, конечно, будет иметь смысл только тогда, когда можно найти длину, одновременно большую по сравнению с Ы и малую по сравнению с линейными размерами внешних границ. Подобным же образом можно определить давление р, равное среднему значению давления р по некоторому объему жидкости, достаточно большому, чтобы заполнить много пор, но малому по линейным размерам в сравнении с полем всего течения.
Уравнения, описывающие действительное течение вне и внутри пор, линейны, и можно ожидать, что поток жидкости через данную часть пористой среды, содержащую достаточно много пор, пропорционален приложенному к ней градиенту давления и обратно пропорционален 1», точно так же, как если бы среда состояла из ряда трубок малого диаметра, в каждой из которых реализует- 285 Гл. 4. Равномерный моток вязкой несжимаемой жидкости ся течение Пуааейля. Если пористая среда имеет статистически изотропную структуру, таы что приложенные и ней градиенты давления во всех направлениях дают одинаковый поток, то можно написать (4.8.21) где Й вЂ” постоянная, называемая ковффициентом проницаемости и зависящая от размера и формы пор (для данной формы пор она пропорциоыальна квадрату их линейных размеров). Соотношение (4.8.21) известно иаы закон Дарси (Даран (1856)) и имеет долгую историю использования в механиые грунтов для самых различных пористых сред.
Оно обосновывается в основном приведеыными выше теоретическими рассуждениями и частично его соответствием с измерениями течений, возникающих под действием приложенных градиентов давления в однородных средах типа песка. Соотношение (4.8.21) означает, что, когда пористая среда статистически однородна, а коэффициент проницаемости Й ые зависит от координат, скорость ы есть скорость безвихревого течения с потенциалом ц,пропорциональыым давлению, как и в случае течения Хеле-Шоу.
Уравнение сохранения массы, осреднеыное указанным выше способом, приводит к уравнению Ч и = О, и соответственно ч р=О. (4.8.22) Это уравнение нужно решать, подчиняя его условиям обращения в нуль нормальной производной от ц ыа непроницаемой поверхности и условию постоянного значения ~у (или р) на свободной поверхности жидкости. (В случае воды, просачивающейся через почву, свободная поверхность воды в виде границы сред воздух— вода может быть и внутри грунта.) Таким путем были решены многие практические задачи, касающиеся фильтрации под плотинами, изменения уровня грунтовых вод вблизи стеная, приливного движеыия грунтовой воды вблизи побережья, фильтрации нефти и газа и т.
и. Двумерное течение в угловой облыти Предположим, что одыа твердая плоскость наклонена и другой под постоянным углом Оо и равномерно сыользит по ней, ыаы показано на рис. 4.8.2 для 8о =- п/2. Жидкость в области между плоскостями приводится в движение, каы это может быть в цилиыдре с движущимся поршнем или вблизи кромки ножа, когда им хотят соскрести пролитый на скатерть соус.
Вблизи точки О пересечения плоскостей градиенты скорости становятся 286 4.З. Поля течепвп, в к ", в которых опля и~врнп р а и екебрежвыоивлы О и в евалывеввв оввай в ловок области, аоавппаавпее пл гов (Е в пповавольвых епвввпат . ет „азличные аначения как скорость имеет ть, О Р ах, н поэтому что о сновну роль играшт силы и О б дет определять сти в Озарено апостериор ото ое затем оудет и е- т акого допущения, к р све ена к задаче у становившегося движ Задача может быть с д нат с началом в двия п тем выбора подвижн " ой системы коорди внжения с малыми ф ($ 2 2) че В сл аях двумерного д ичем силами инерции уд обно ввести ункцшо я массы тож дественно удовлетворя о яется я ура равнение сохранени компонента завих в хренности становитс е инственная ненулевая к й (4.8.3) принимает внд — кф.
Тог а первое из уравнении равной — 17-ф. огда — (4.8.23) Ча (Чаф) = О, в полярных координатах г Е су а граничные условия — =- О, дч дг 1 д$ (7пр„е О, г дз — 'а~=о прн Е=е,. г дз д О дч дг словий такова, что у ц т нк ия тока ор и опо циональнои г, и е аль е е верить, поаволяет ли дифференциальное ть. Поэтому положим зту возможность. П у (4.8.24) ф (г, е) = гу (Е) Гз. 4.
Рееиомеримй поток вязкой яеежимеемой жидкости и, подставив эту функцию в дифференциальное уравнение (4.8.23), найдем т/' Р(/ — Г) ) = —,3 (/+ 21 . /") = О. Решение этого уравнения есть /(0) = А выл О+ В сов 0-+-СО выл О+ ВО сов 0; (4.8.25) 'теперь нужно выбрать коаффициенты А, В, С, В так, чтобы было /(О) =О. /'(О) = — У /(Ое) =О. У'(Ое) =О.
Требуемые значения коэффициентов таковы: (А, В, С, В)=( — О,', О, 0 — ьпО О, вьп'О ) ~,, (4.8.28) Таким образом, мы имеем решение, которое удовлетворяет граничным условиям и уравнениям движения в пренебрежении силами инерции. Компоненты ускорения жидкости в любой точке, вычисленные из этого решения, пропорциональны уь/г с коэффициентом пропорциональности, который зависит от 0 и имеет порядок единицы.
Силы вязкости, также оцениваемые на основании этого решения, имеют порядок )ьу/гз, поэтому предположение о том, что силы инерции пренебрежимо малы, оправдано, если (рта/)ь)((1; это значит, что полученное решение справедливо в окрестности точки 0 пересечения сторон угла, определяемой радиусом и (( —. р рп' Для смазочных масел при нормальных температурах и скорости О =- 10 см/сок это условие имеет вид г (< 0,4 см. Для любого течения с функцией тока (4.8.24) компоненты скорости не зависят от г и линии тока с равными приращениями ьр пересекают любой радиус в равноотстоящих точках. Движение обратимо, так как основные уравнения и граничные условия линейны и однородны. В частном случае Ое — — '/зп решение имеет в ф= ( — 4 язв!пО+ — яО в(п О+О сов О); (4.8.27) — — 1 линии тока течения относительно точки О для этого случая изображены на рис.
4.8.2. ! Следует отметить, что как нормальная, так и касательная компоненты напряжения в жидкости изменяются как г ', так что полная сила давления жидкости на плоскостях 0 = 0 и 0 = Ое стремится к бесконечности по логарифмическому закону. На практике две плоские твердые границы не ииеют идеального геометрн- 288 5.8. Пограничный слой нв плоской пластине толщину пограничного слоя на всей пластине, пропорциональна (тг/1/)11э, н, следовательно, мы имеем (5.8.3) Приближенное уравнение движения (5.8.1) можно теперь преобразовать таким образом, что оно превратится в первое из безразмерных уравнений (5.7.11). Тот факт, что распределение скорости в пограничном слое на расстоянии х от передней кромки не зависит от полной длины пластины 1, позволяет в атом частном случае значительно упростить указанное уравнение в безразмерном виде. Мы утверждаем, что единственная возможность согласовать завнсимость безразмерных компонент скорости и' и п' от безразмерных переменных х' и у' с независимостью и н и от 1 состоит в том, чтобы считать и' функцией величины т)=, Пв= ~ ) у~ (5.8.4) (.
)Пв тл а и' — произведением (л') 110 на некоторую функцию от ц. Это соответствует функции тока чр (х, у) = (т(/х)11э / (т)) (5.8.5) где / — некоторая безразмерная функция, а штрих означает дифференцирование по т). Мы получили, таким образом, некоторое решение, такое, что, как и следовало ожидать, все профили скорости при различных значениях х имеют одинаковую форму. Подстановка выражений (5.8.5) в уравнение (5.8.1) дает 1 //" +/ =-0 (5.8.6) с граничными условиями /=/'=0 при 11 =О, /' -~- 1 Прн т) -1- оо. Условие и =- У прн л = 0 уже удовлетворяет решению, так что / (а СЛЕдОВатЕЛЬНО, И СКОрОСтЬ И = дф/ду) ЗаВИСИт ТОЛЬКО От у/лаут.
Численное интегрирование уравнения (5.8.6) показывает, что решение, удовлетворяющее поставленным выше граничным условиям, действительно может быть найдено '); соответствующее распределение скорости показано на рис. 5.8.1. Были выполнены ч такое решение было впервые получено в форме рядов Влаввусом (1ЭОЭЬ кошрый основывался ка ранней работе Прандтля; в последушшем вто решенве было улучшено с кепольвоввнкем чвслеяныт.
методов. 389 Гл. 4. Равномерный ноток вяакой несжимаемой жидкости независимо от знаков А и соз 0е вектор градиента давления (который в соответствии с решением (4.8.28) однороден) и вектор скорости при 0 = 0е лежат в одыом и том же квадранте. Теоремы единстеенности и минимума диссипации энергии Докажем, что в заданной области не может быть больше одного решеыия для распределения скоростей течения с малыми силами инерции и заданными величинами вектора скорости на границе области (включая гипотетическую границу на бесконечности, когда жидкость имеет бесконечную протяженность). Доказательство зто по форме весьма похоже на использованноэ в $2.7 при установлении единствеыности решения для потенциала ~р соленоидального безвихревого поля скорости с заданными граничными условияыи. С доказательством непосредственно связан интересный результат, который состоит в том, что течение с малыми силами инерции обладает наименьшей общей скоростью диссипации из всех других течений несжимаемой жидкости в той же области при одних и тех же значениях вектора скорости всюду ыа границе области.
(Оба результата были установлены Гельмгольцем (1868 а).) Сначала предположилц что (им р, ем) и (и,', р», е';1) — два набора распределений скоростей, давлений и тензора скоростей деформации в определенной области, которые удовлетворяют уравнениям (4.8.1) и (4.8.2)„предположим, далее, что во всех точках на границе (А) области и; =- и . 'Гогда (е,'; — еы) (ет) — еы) Иг' = Г д(н; — нй (е71 — еы) аг'= да) = ~ (иа — ис) (еп — ем) п) дА— ) (й и1) ('к й ~к и~) е( = — — ) (и~' — и;) ИУ= 1 Г д(ра — р) 2Н,) ' д 1 Г = — — ') (р" — р) (и"; — и~) и; НА=- 2Р д = О. Этот результат показывает, что величины скоростей деформации е,"'; и еы всюду в области должны быть равны. Следовательно, разность скоростей и7 — и, представляет движение, в котором никакой элемент жидкости не деформируется и которое должно 4.8.
Поля течевий, в которых силы инерции пренебрежимо малы быть комбинацией поступательного и вращательного движений жидкости как твердого тела; такое движение исключается граничными условиями, так что всюду в области и," = иь Предположим теперь, что (и;, р, е») удовлетворяют уравнениям (4.8.1) и (4.8.2) и что (й, р', е(/) соответствуют любому другому течению несжимаемой жидкости в той же самой области (т. е.
Ч и' = О, но уравнение (4.8.1) не удовлетворяется); как и раньше, и, = и во всех точках на границе области. Аналогично предыдущему убеждаемся, что (е» вЂ” е») е» НУ = О. Полная скорость диссипации механической энергии под влиянием вязкости во всей области течения, скорость которого равна и,:, есть 2р ) е;е,'; Ы)г=- 2р ) (е»е»+(е;'; — е») (е,'; — е»)) Н)/ и представляет собой сумму полной скорости диссипации, соответствующей течению со скоростью и„ и неотрицательного члена, который равен нулю только при е,:/ = е».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
