Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Так как первый из этих двух членов при больших г преобладает и является причиной появления сил инерции, сравнимых при достаточно большом г с силами вязкости, Озеен считал, что это единственное из двух слагаемых силы инерции, сохраняемое в уравнении движения. Второй член, который создает основные математические трудности в связи с его нелинейностью по ц, снова опускается при Ке(( 1, когда с возрастанием г величина )п! уменьшается по крайней мере как г-' и этот второй член продолжает оставаться малым по сравнению с силой вязкости, сколь бы большой ни была величина г.
Вблизи тела оба слагаемых в выражении (4.10.1 имеют одинаковый порядок и будут малы по сравнению с силой вязкости при условии Ке((1, и в атой области предлагаемое уравнение будет столь же точным, что и уравнение (4.9 1). Уравнения Озеена для течения, создаваемого движущимся телом при малых числах Рейнольдса, имеют вид Р еч ° — РО '7п= — ЧР+рт7 н~ дп (4.10.2) ~7 п=О с граничными условиями и = 1) на поверхности твердого тела, п-е 0 и р — ре-~ 0 при г-е оо. Хотя уравнения остаются линейными относительно зависимых переменных н и р, граничные условия нелинейны (относительно параметра 1)) и задачу значительно труднее решить, чем задачу (4.9.1) — (4.9.2). Теердал сфера Решение этих новых уравнений в случае движущейся сферы в замкнутой форме неизвестно, однако было найдено его приближенное решение при той же степени приближения, которая используется в самих уравнениях (Ламб (1911)).
Это приближенное решение для функции тока, приводимое здесь без вывода, записывается так: ф=(7ае ( — 1 е з1пе0+3(1 — совр) 1 — ехР ! — г(1-)-сов з)ве/(4а)!) 4 г ве (4.10.3) 307 Гл. 4. Равноморнмй поток вязкой нвсжнмасмой жидкости Р я с. «ЛОЛ, Лвннн тока в осевой плосноств для внешней частя течения, вызванного движущейся ссорой, согласно уравнениям овсова. Фувкшая тона Е равна провавсдевнш нскошрой постоянной, умншнсннсй на число, укаваннос на ляняяд тока.
Решение относится к моменту времени, когда центр сферы совпадает с началом координат; как и раньше, Ве = 2аУр/)с. Легко проверить, что оно строго удовлетворяет уравнениям (4Л0.2) и дает н — ы 0 при г -+. оо. Вблизи сферы, где отношение гlа имеет порядок единицы и Вег/а((1, ф=Уавз1пвб ~ — — „+ — "+О ( — 'Ве)~, (4.10.4) и совпадает с решением Стокса (4.9.12) — и, в частности, удовлетворяет внутреннему граничному условию — с относительной ошибкой порядка числа Рейнольдса. Это как раз та степень приближения, с которой уравнение (4.10.2) представляет точные уравнения движения, поэтому его решение (4ЛО.З) имеет ту самую точность, которую и нужно было получить.
На рис. 4ЛОЛ показаны линии тока, соответствующие решению (4ЛО.З) без первого члена в квадратных скобках, который значителен при Ве(< 1 только вблизи сферы. Легко видеть качественное различие между решениями Озеена и Стокса во внешней части поля течения. Линии тока больше не симметричны относительно плоскости О = (1/2) я, как можно было ожидать исходя нз того, что уравнение движения уже не удовлетворяется после изменения знаков векторов и и ч). На больших расстояниях от сферы течение стремится к радиальному, которое подобно течению от источника на сфере, за исключением области «следа» за ней. Аналитически можно показать, исходя из решения (4.10.3), что прн Вег/а ~) 1 течение имеет различные формы в зависимости от того, мала ли сумма (1+сов О) по сравнению с единицей.
308 4ЛО. Уточвеввое уреввевве Оеееве врв мелом чвсле Рейнолъдсе В точках, в которых величина (1+ сов 9) не мала, функция тока ф Уае — (1 — сов 6) (4.10.5) описывает течение от источника в начале координат с расходом 12паЧ//Ве единиц объема в секунду. С другой стороны, в пределах следа, где (1+ сов 6) имеет порядок величины 4а/(г Ве) ,д — 8 г и Гау'е рв функция тока ф с/ае — (1 — ехр ~ — ' 1~ (4.10.6) описывает компенсирующее течение в направлении к сфере, причем скорость втекания на оси 6 = и равна Зс/а/2г.
На больших расстояниях от сферы завихревность в области течения от источника равна нулю и заключена в следе, который можно считать ограниченным параболоидом вращения, на котором (и — 9)е г/а имеет порядок Ве '. В то время как в приближении Стокса завихренность диффундирует во всех направлениях как бы от неподвижной сферы, в рассматриваемом случае движение сферы учитывается, в чем можно убедиться исходя из уравнения э",= — 1).7 =«7*ю, (4.10.7) которое получается из (4.10.2). Для каждой компоненты вектора ю это уравнение имеет такую же форму, как и уравнение, которому удовлетворяет температура неподвижной теплопроводной среды, через которую с постоянной скоростью 1/ движется тепловой источник постоянной интенсивности (в этом случае источник имеет характер диполя).
Завихренность, образующаяся на сфере, по мере ее движения остается позади, в следе, который при возрастании числа Рейнольдса сужается. Теперь мы можем утверждать, что решение Оэеена (4.10.3) в противоположность решению Стокса непротиворечиво. Действительно, пренебрегаемый член рп ~7в, оцениваемый с помощью решения (4.10.3), мал по сравнению с любым членом, сохраняемым в уравнении движения, если Ве(( 1.
В области вблизи сферы, где отношение г/а имеет порядок единицы, решение (4ЛО.З) сводится к решению Стокса (с ошибкой порядка числа Рейнольдса), для которого, как уже известно, р~в 17н~ мало по сравнению с рр7ен~, причем отношение этих членов имеет порядок числа Рейнольдса. На болыпих расстояниях от сферы, в области, где отношение Вег/а становится величиной порядка единицы и решение (4ЛО.З) начинает значительно отличаться от решения Стокса, величина и, определяемая по функции тока (4ЛО.З), имеет порядок Уа/г или (/Ве; следовательно, отношение отбрасываемого члена р [и '7н ~ к сохраняемому члену р ~() ~/н ) является 309 Гл. 4. Равномерный поток вяакой песжвмаемой жидкости величиной порядка Ве, т. е.
опять мало. На еще больших расстояниях от сферы, где гlа)) Ве-а, модуль скорости ~п ! по сравнению со скоростью сг становится еще меньше. Оказывается, что приближенная форма уравнения движения, предложенная Оэееиом, имеет такое решение, что принятое приближение непротиворечиво во всем поле течения, когда Ве((1. Вблизи сферы это решение имеет такую же форму, как и решение Стокса, и, следовательно, для сопротивления сферы оно дает то же самое выражение бяа(ь0', с той же относительной ошибкой порядка Ве, которая возникает при замене уравнения движения уравнением Озеена а).
Так как решение (4.10.3), очевидно, есть приближение к решению полных уравнений движения, справедливое при Ве((1 во всем поле течения, то естественно считать решение (4.10.3) исходным в процессе последовательных приближений к решению этих уравнений. Это соображение было использовано Каплуном и Лагерстромом (1957), а также Праудменом и Пирсоном (1957), и ими был найден коэффициент сопротивления сферы во втором приближении: С = к (1+1еВе). 24 3 (4 10.8) (Это выражение для коэффициента сопротивления Ср порядка (Ве)с также получается из уравнений Озеена, что на первый взгляд удивительно; дело в том, что член порядка Ве в равности между решением уравнений Озеена для и и вторым приближением к решению полных уравнений дает нулевое слагаемое в величину сопротивления тел с продольной симметрией.) Как видно иэ рис.
4.9.2, формула (4.10.8) согласуется с намеренным сопротивлением сферы в несколько большем диапазоне чисел Рейнольдса, чем закон Стокса. Твердый круговой циаикдр ') Следует огменггь. что сопротивление равно проваведеввю величиям рн и направленного внутрь обьемяого погона далено в следе аа сбюрой. Это соотношение следует иа общего рассмотренна количества деяшенва в следе (см. б б.уы в справедливо для любого тела в пря любом чясле рейнольдса, есля тело движется равномерно я оставляет аа собой след ненулевой аавваревноств, ширина всторого растет медленнее, чем его длина. 310 Трудности, связанные с использованием уравнений (4.9.1) и (4.9.2), и преодоление этих трудностей с помощью уравнений Озеена (4 10.2) обнаружены в ряде других случаев равномерно движущихся в жидкости тел.
Упомянем здесь случай кругового цилиндра радиуса а, движущегося со скоростью П в направлении нормали к своей оси, так как в нем наиболее наглядно проявляются отличия от движения сферы, типичные для двумерного течения при малых числах Рейнольдса. 4ЛО. Утачлеллеа урезлелле Оееела прв мелом числе Реалольдсл Решение уравнений (4.9.1) и (4.9.2) можно искать точно таким же способом, как и для движущейся сферы, используя линейность решения относительно скорости 1) и зависимость его только от х, Ю и а. Вместо выражений (4.9.4) и (4.9.5) находим (4,10.9) г га ге где С' — постоянная и (г, 9) — полярные координаты двумерного вектора х, Завихренность также можно выразить через функцию тока ф. Аналогично выражению (4.9.6) имеем функцию тока ф = У з1п 01(г), (4Л0.10) где функция 1 удовлетворяет уравнению ае1 1 аг 1 С вЂ” + — — — — =-— ага г аг г* г Общее решение етого уравнения ) (г) = — — Сг 1п г + Ьг+ Мг '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
