Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Таким образом, при г = а имеем и~ = и(+ е»хе = и;, (4Л1.4) еэ»н н1 (о» вЂ” о») = О, где чертой сверху обозначены величины, относящиеся к движению внутри сферы,и и — вектор нормали к поверхности. Кроме того, при г = О величины р и и~ конечны.
Скорости и и н удовлетворяют уравнению Навье — Стокса (с различными значениями коэффициента вязкости), однако для ма юй сферической частицы, очевидно, можно использовать приближенную форму этого уравнения, как и в случае течения, обусловленного поступательным движением малой сферы (з 4.9). Для течения вне сферы уравнение Навье — Стокса после замены в нем скоростей и давлений по формулам (4Л1Л) приводится 315 Гл. 4. Равномерный поток няакой несжимаемой жкдкостя к виду г дк( р ~ Ю +(и,'+ез«х«) — '+емщ~ = — — +р1Tие.
(4.И.5) Изменение вевозмущеввой скорости по области, запятой частицей, имеет величину порядка ~еы ~а; очевидно, что возмущение скорости и' вблизи частицы имеет тот же порядок. Следовательно, если радиус частицы удовлетворяет условию — ~ ем ~ аер (( 1 1 Р (4Л1.6) (и если скорость деформации изменяется ве слишком быстро), то течение вблизи частицы определяется приближеввым ураввевием ЧР = )«чеп'. (4Л1.7) При одиваковых условиях скорость и и давление р ввугри сферы удовлетворяют такому же уравнению движения без сил инерции т7Р =)«тзп. (4Л1.8) Наконец, заков сохранения массы дает два уравнения Ч в' =Ч и =О, Ч.в =О.
(4Л1.9) Ураввевия (4.И.7), (4.И.8) и (4.И.9) и граничные условия (4.И.2), (4.И.З) и (4.И.4), описывающие возмущеввое движевие, ливейвы и однородны отиосительно в', р', и, р и е«р В описание поверхности раздела никакой вектор ве входит, и с помощью рассуждевия, подобного рассуждевию из $4.9, можно показать, что давления (которые представляют собой гармонические функции) и скорости должны выражаться функциями вида р =Среы —, / л~л1 р — р, = С1«еых~хь и( = еых~М+ е~«х~хтхЯ, ие = еых1М+ е1«х~х>х«Д, (4.1 1.10) 2 Ч= — — С 21 316 где М, Д, М и ~~ — фувкции только от г, а С, С и ро — постояввые.
Можно без труда найти эти функции, которые удовлетворяют основным уравнениям и условиям ва больших расстояниях от частвпы и при г = О: В С 50 М=— е э 2ге 2гт ' — — о М = В+ — Сг', 21 4Л(. Вязкость рззбзвлеккой суспеязвя кз малых чаеткц Условия на поверхности раздела при г = а будут удовлетворены, если 2В $ (4 И 12.) (2р+бр)аз раз 2$(з ЗР р ( р ' Между прочим заметим, что на больших расстояниях от частицы и(= — Се~» ' з™ +0(г з), (4.И .13) откуда видно, что скорость возмущения на один порядок меньше, чем в случае поступательного движения сферы, как можно было бы ожидать исходя иэ «дипольного» характера условия для скорости и' на поверхности сферы (см. (4.И.З) и (4 И.1)). Приведенное решение было получено в пренебрежении инерционными членами в уравнении движения (4.И.5), и непротиворечивость решения можно доказать, используя его для оценки порядка величины пренебрегаемых членов.
Таким способом мы находиы, что отношение величин пренебрегаемой силы инерции и сохраняемой силы вязкости имеет порядок (еы(гзр(р. Это отношение, как и предполагалось, мало по сравнению с единицей в окрестности сферы, когда удовлетворяется условие (4.И.6), однако оно не малб во внешней области поля течения, где г/а имеет порядок ((е,~(азр/р)-з~з. Таким образом, уравнение (4.И.7) нельзя считать хорошим приближением к полному уравнению движения (4.И.5) во внешней области, хотя снова можно убедиться (после приведения уравнения к безразмерному виду с параметрами а и (еы(), что в ней все члены полного уравнения движения малы.
Вероятно, улучшенное и полностью непротиворечивое приближение к распределению скорости можно было бы получить (для установившегося деформационного движения) исходя из уравнения да' р(е~зхз — +еыи'.) = + дзГ которое все еще остается линейным относительно ~', однако мы примем без доказательства, что такое усовершенствованное приближение в окрестности частицы не будет существенно отличаться от полученного. Повышенная сноросзпь дисеинации е несжимаемой суспенеии Приступим к использованию полученных результатов для расчета эффективной вязкости сдвига в суспензии малых несжимаемых сферических частиц, совершающей заданное движение. Способ определения и вычисления эффективной вязкости неочевиден и должен быть подробно описан. 317 Гл. 4.
Рэзкоиеримй поток залкой несжимаемой жидкости Предположим, что объем У, суспензии ограничен изменяемой поверхностью Ац на которой скорость определяется как некоторая линейная функция координат; чтобы иметь полностью определенную систему, возьмем зту скорость и точности линейной функцией от х. Вращательная часть движения границы в анализ не входит, поэтому для удобства выберем ~-ю компоненту скорости на границе в виде произведения ецхп где ец — симметричный тензор с ец = О. Суспензия совершает движение, совместное с движением гранвцы, и если бы суспензия была однородной жидкостью, то всюду в объеме У, ее скорость была бы равна ецхп однако вследствие наличия частиц скорость окружающей жидкости имеет такое значение только в среднем, и она равна 872 Я 3 ецх~+ и,'.
Давление в суспензии также имело бы вполне определенную величину, например Р, если бы суспензия была однородной жидкостью с одной и той же средней плотностью, в то время как в действительности давление в окружающей жидкости, Р+ Р', имеет более сложную зависимость от координат. Если частицы находятся далеко друг от друга, то можно считать, что каждая частица погружена в жидкость с чисто деформационным движением, характеризуемым тензором скоростей деформации ец, и вблизи одной частицы скорость и,: и давление р' определяются формулами (4.11ЛО) и последующими; однако пока нет необходимости их использовать. Тензор напряжений в любой точке окружающей жидкости с коэффициентом вязкости р равен пц = — Рбц + 2рец + о~ц где ди) де( пц = — р'бц + р ( — '+ — ') .
(4.11.14) С другой стороны, если бы суспензия была однородной жидкостью с той же самой средней плотностью и коэффициентом вязкости ре, то тензор напряжений был бы равен — Рбц + 2реец. Мы хотим выбрать коэффициент вязкости ре так, чтобы по физическому смыслу он отражал суммарное влияние возмущений из-за наличия в суспенэии всех частиц. Соответствующая величина, которая, будучи выраженной двумя различными способами, приводит к определению эффективной вязкости, представляет собой скорость диссипации механической энергии в объеме Уб эта скорость диссипации есть прямой результат действия внут- 318 4Л4.
Вязкость разбаалеввой сусл»паяя яз малых частиц реннего трения, и она позволяет учесть влияние возмущений течения, создаваемых всеми частицами внутри объема У,. Дополнительная скорость диссипации на единицу объема в жидкости на расстоянии г от одной частицы изменяетсяасимптотически по закону г-' (см. (4.И.1) и (4.И.13)), и из-за этого становится тщетной попытка непосредственного вычисления полной добавочной скорости диссипации путем интегрирования по объему жидкости У,; интеграл, хотя он и сходится, зависит, однако, от формы удаленной внешней границы области интегрирования для каждой частицы. Поэтому мы вынуждены выбрать другой путь.
Скорость, с которой совершается работа силами на границе Ац равна еоахапцпо АА=е а ') ( — Рбц+2рец+ач) хапо о(А, А! Ао а если бы суспензия была однородной жидкостью с той же средней плотностью и с коэффициентом вязкости р», то та же величина была бы равна е~а ~ ( — Рбц+2реец) хапгт(А. Ао Член, содержащий Р, одинаков в обоих выражениях, и он учитывает любое возрастание кинетической энергии, связанное с линейным полем скоростей. Остальные члены обоих выражений представляют собой скорости диссипации внутри объема У,, и эффективный коэффициент вязкости р» определяется как раз так, чтобы они были равны; используя формулу Остроградского — Гаусса, получаем 2)ооецецУ, = 2рецецУо+ е;д ') о;';хант АА. (4.ИЛ5) Ао Последний член в выражении (4.И.15), добавочную скорость диссипации в объеме У, в связи с наличием в нем частиц, можно преобразовать в интеграл по поверхностям частиц.
Поэтому до,'. еы ) ооттьп~ЫА=е~д ') ( —" ха+поз) НУ-~-еоь ~~ а(хапддА, т дхт Ао к1-2„ге о где Ао и Уо суть поверхность и объем одной частицы, и — вектор внешней нормали к поверхности А „а символ ~ означает сумми- рование по всем частицам в объеме Уп Возмущение движения, обусловленное наличием каждой частицы, описывается уравне- нием (4.И. 7), если, как мы предположили, удовлетворяется условие (4.И.6); поэтому до;/дху = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
