Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Кроме того, ди' ега ~ оыАУ=ега ~ 21о — 'Л'= — еы Я ~ 2ди;'па НА, дха Г~ — А.'Го го-2;го Ао 319 Гя. 4, Рааноыернмй ноток вязкой несжнмаемон жалкости поскольку и' = 0 на границе Аь В результате соотношение (4.11.15) преобразуется так: 2Э' — Ы „ц=~ 2) Е~е,,— 2р; ) зА. [441ле) У1 Правая часть его представляет собой добавочную скорость диссипации на единицу объема из-за наличия в объеме частиц.
Соответствующее выражение для коэффициента эффективной вязкости изотропной суспензии справедливо для любого расположения частиц в объеме Уь Если теперь мы учтем, что суспензия содержит сферические частицы на больших (по сравнению с диаметрами) расстояниях друг от друга и возмущение течения вблизи одной частицы приближенно не зависит от существования других частиц, то полученные ранее результаты можно использовать для вычисления интеграла в соотношении (4.11.16). Иэ выражений (4.11.14), (4.11.10) и (4.11.11) следует, что е С 10П~ о~;х~ха — 2ри;'хе =- реых,ха ( — — —,) + 5С 25В ~ + репх~хгхех, ( — —,+ —,) .
(4Л1Л7) Поверхность А о представляет собой сферу радиуса а, и с использованием известных тождеств 4 пэпе гМ = — пб~е, 3 и;пупкин АЙ = 15 и (бегбю + Мебп+ бпбкь), (4.11.18) в которых интегрирование выполняется по полному телесному углу, стягиваемому поверхностью сферы с вершиной в ее центре, находим ч 4 (а(зхепт — 2ри; пе) ИА =- — — ярСеы. Таким образом, ре 2к ыт — =1 — — ~С, р = ЗР,2~ и с использованием равенств (4.11.12) имеем (4.11.19) Суммирование в формуле (4.11.19) производится по различным частицам, которые по предположению имеют сферическую форму, 320 4.!4. Внвность разбавленной суснензии из малых частиц хотя в других отношениях они не подобны. Если все частицы имеют одинаковую внутреннюю вязкость, то 5 - ч~ (и+ — 2й ~ — =1+ба ~ /, (4.11.20) и+к где и = Х у'о/Г1 — объемная концентрация частиц.
В случае суспензии твердых частиц эффективный коэффициент вязкости больше, чем коэффициент вязкости окружающей их жидкости, в (512)а раз (этот результат был впервые получен Эйнштейном (1906, 1911)); для суспензии газовых пузырьков соответствующая величина равна а. Формулы (4.11.19) и (4.11.20) подчинены ограничению а (( 1; когда концентрация не ыала по сравнению с единицей, наличие соседних частиц влияет на возмущенное течение, вызываемое одной частицей, и тогда равенство (4.11.17) нуждается вуточненни.
Экспериментальное подтверждение справедливости соотношения (4.11.20) не очень убедительно, хотя считается, что коэффициент вязкости суспензии малых твердых сфер можно определять по форо муле Эйнштейна р (1 + — сс! для значений а, меньших приблизи- 2 тельно 0,02'). Формула, соответствующая формуле (4.11.20) для твердых частиц эллипсоидальной формы (в предположении, что броуновское движение достаточно интенсивно, чтобы сделать все направления эллипсондов равновероятными), была получена Джеффри (1922), и она показывает, что эффективный коэффициент вязкости возрастает с увеличением отклонения формы частицы от сферической, поскольку градиенты скоростей в окружающей жидкости больше для более «заостренных» частиц; однако было обнаружено, что изменение коэффициента а мало до тех пор, пока отношение максимального диаметра частицы к ее минимальному диаметру не превосходит приблизительно трех.
Эффективназ объемная вязкость жидкости, содержащей газовые луамрьки В качестве интересного дополнения к предыдущему анализу рассмотрим теперь реакцию суспензии на заданное объемное движение, когда частицы (но не окружающая жидкость) имеют возможность сжиматься. Предположим, что объем г' жидкости, содержащей большое число малых газовых пузырьков в суспензии, подвергается чисто деформационному движенню границ, определяемому, как и раньше, 1 Сведение о всеффицвенте вааности бачее нонцевтрированинх суспенвна приведены в гч. З книги: Нарре! 2., Вгеппег Н., Ьон Неуйо!бв К1нпьег Нубгобупып1се, Ргеп11се-на!1, 1зез !сн.
ганиче соу с., Гйдродннанвиа иногофаеиих снстеи, вмир», м., " 1ЗЫ.— Ргб.]. 321 21-0812 Гл. 4. Раеиомеримй поток вилкой иесжимаемей жидкости тензором скоростей деформаций еы, хотя в данном случае ен = = Л ~ О. Если бы суспензия была однородной жидкостью, то скорость расширения всюду в объеме и' равнялась бы Л, но в действительности расширение происходит только в пузырьках газа.
Вблизи любого сферического пузырька радиуса а относительное движение в жидкости, обусловленное расширением этого пузырька, имеет сферическую симметрию с радиальной скоростью ае аа г й гт Ю (4л 1.21) / аи ~т $2раеае ( аг ) (4 11.22) где а = На/ай Полная скорость диссипации в жидкости, созда- ваемая одним пузырьком, есть Ф~ 12рааае 4пгт Нг = 16п)ааае, а 322 В вязкой жидкости возникают связанные с этим движением напряжения и, в частности, имеется нормальное напряжение на поверхности пузырька, равное 2р(ди/дг) „которое препятствует его расширению.
В результате этого давление внутри пузырька отличается от давления в жидкости на некотором расстоянии от пузырька на величину, которая зависит от скорости расширения, и механическое давление, приложенное на границе суспензин, отличается от давления, которое можно было бы получить исходя из равновесного уравнения состояния для суспензии прн данном мгновенном значении ее плотности независимо от формы этого уравнения. Это в точности такая реакция, которая соответствует объемной вязкости суспензии (см.
$3.4). Оценка эффективного значения коэффициента объемной вязкости может быть выполнена таким же способом приравнивання выражений полной диссипации, которая была бы в однородной сжимаемой жидкости, и полной диссипации, создаваемой обычной вязкостью в несжимаемой жидкости, окружающей пузырьки. Расчет намного проще в атом случае, поскольку диссипация в жидкости оказывается сильнее сконцентрированной в окрестности пузырьков и может быть получена непосредственным интегрированием. В точке на расстоннии г от центра одного пузырька, где радиальная скорость жидкости равна и (г), одна главная скорость деформации есть Ии/дг, а две другие одинаковые главные скорости должны быть равны — (1/2)ИиИг. Следовательно, локальная скорость диссипации на единицу объема жидкости есть 4 11. Вязкость раебаелевной суспенэвк ке малых частиц а скорость диссипации суспензии в объеме У, содержащей ряд сферических пузырьков, равна 16я)ь~З~аае.
В то же время если мы представим суспензию однородной жидкостью, совершающей симметричное расширение с однородной скоростью расширения Ь, то в жндкости не будет диссипации, создаваемой обычной вязкостью сдвига, и, согласно формуле (3.4.9), скорость диссипации на единицу объема вследствие существования объемной вязкости хо будет равна хеЬе. Тогда эффективный коэффнциент объемной вязкости суспензии х'=16яр уье ааааа (4 11.23) Расширение суспензии связано с изменением объема каждого пузырька, и поатому (4.11.24) причем суммированне производится, как и раньше, по всем пузырь- кам в объеме К Следовательно, имеем ° р уХаае и (~~~~~ е')е (4.11.25) В простом случае п газовых пузырьков равного диаметра и с оди- наковым содержанием (так что все они расширяются с равной скоростью) в единице объема суспензии имеем э р х = — = —, яааа За ' (4.11.26) 21 ° где а — мгновенная концентрация частиц в объеме.
Нереальное свойство модели, приводящее к тому, что х» -ь оо при а-ч-О, устраняется при учете сжимаемостн жидкости. Помимо того, что полученные результаты имеют некоторое практическое значение, анализ етого параграфа указывает на определенный вид связи, которая существует между микроскопическими свойствами среды, в данном случае — существованием частиц известной формы и состава, и макроскопическими свойствами эквивалентной однородной жндкости, Наблюдаемые макроскопическне свойства среды часто становятся более понятными, если можно вообразить некоторую ее микроскопическую структуру, которая могла бы приводить к данному макроскопическому поведению среды, и изобретение микроскопических моделей представляет собой обычное упражнение в теоретической реологии, особенно при изучении свойств неныотоновых жидкостей. Гв.
4. Равномерный поток вязкой кесжкмаемой жидкости 4Л2. Иаменения в обтекании тел при возрастании числа Рейнольдса от 1 до 100 В $4.7 мы видели, что когда твердое тело данной формы совершает установившееся поступательное движение со скоростью (7 в безграничной и ничем больше не возмущенной жидкости, то все безразмерные величины, описывающие поле течения, зависят только от числа Рейнольдса Ве = рЬ(7/)з, а не от плотности р, характерной длины тела Ь, скорости (г и вязкости )з в отдельности.
Иначе говоря, величина числа Рейнольдса характеризует поле течения, если только заданы форма тела и его положение относительно направления движения. Одна из наиболее важных задач механики жидкости состоит в определении во всем диапазоне значений числа Рейнольдса, и в особенности прн болыпих его значениях, свойств течения, создаваемого телами простой формы обычного размера, движущимися в воздухе или в воде, которые имеют малый коэффициент кинематической вязкости.
Описание течения прн очень малых числах Рейнольдса было дано для сферы и кругового цилиндра ($4.9 и 4 10), и теперь мы кратко опишем изменения, которые происходят в этих течениях по мере того, как число Рейнольдса возрастает, Анализ этих двух параграфов основывался на предположении, что при Ве((1 силн инерции в большей части поля течения пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкости. Принимая во внимание интерпретацию числа Рейнольдса как меры отношения этих двух снл, мы можем ожидать, что прн Ве )) 1 будет справедливо обратное утверждение и что силами вязкости в некотором смысле можно пренебречь; это приближение представляет собой тему исследований следующей главы.
В промежуточном диапазоне, в котором ни одно из этих приближений не справедливо, аименно в диапазоне, который весьма грубо можно оценить пределами 1 ( Ве ( 100, аналитические исследования наталкиваются на большие трудности, и наши знания о течении были получены главным образом путем наблюдений и частично с помощью численного интегрирования полного уравнения движения. При числах Рейнольдса, малых по сравнению с единицей, доминирующям процессом является диффузия завихренности вдаль от тела, Жидкость, находящаяся в непосредственном контакте с телом, движется с его скоростью, и это приводит к образованию завихренности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
