Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 65
Текст из файла (страница 65)
4, Равномерный поток вязкой яесжнмвемой жкдкостн р н с. (.9.9. Срезнепве теоретнческвз (слевз) н нзбзювземыз (спрзез) нвртнн лвнвй тока в сферяческой неюге глвяервнв, седеющей в касторовом месле (Слелчс (1992)). показывают, что сила сопротивления часто ближе к значению бяа)(зг, чем к ожидаемому значению 4ларзг; это объясняют тем, что любые поверхностно активные примеси, имеющиеся в жидкости, вероятно, образуют на поверхности пузырька жесткие структуры больших молекул и ааставляют поверхность раздела действовать отчасти как твердая поверхность '). Были проведены наблюдения общей формы течения внутри жидких капель, падающих под влиянием силы тяжести в другой жидкости; измерение распределения скорости в них затруднительно.
На рис. 4.9.3 показаны схематически линии тока, наблюдаемые в сферической жидкой капле, относительно осей координат, движущихся вместе с каплей. Теоретические линии тока, соответствующие распределению скорости (4.9.27) относительно этих же самых осей, представляют собой линии, на которых функция тока (4.9.31) — Огз (аз — г') з(пз О 2 принимает постоянные значения, и эти линии тока также показаны; соответствие между ними удовлетворительное. Наконец, мы затронем интересный вопрос относительно нормальной компоненты напряжения на поверхности жидкой сферы, на которую не наложено никаких ограничений. Следует напомнить, что давление, входящее в уравнения в этой главе, представляет собой модифицированное давление, и чтобы получить абсолютное давление (или отличающееся от него на постоянную), нужно добавить к модифицированному давлению член ря.х для поля течения вне сферы и член ря х для поля течения внутри нее.
') Общее обсупщевяе влвяння здсорбвровенного вещества не позер.гностн малого газового пузырьке, всплывающего в жвдксстн, можно кейта з князе: Лезвч В. Г., Фкзнкознмвческзя гвдраквнзмвкв, Эвзмжтяз, М., !999. 302 4.9. Движение тела нрк малых чнсдах Рейвоиьдса Тогда разность значений нормальной компоненты абсолютного напряжения на поверхности сферы при подходе к ней с внешней и с внутренней сторон находится независимо от поверхностного натяжения из общего выражения (4.9.$5): пгп, (ом — оы),, = ро — ро — и яа (р — р) + + и О ~ —, (С вЂ” 2а) + — арС~ = г Зр 3 3- зр р 2 м = Ро — Ро — п.па (Р— Р) — и б Р (4.9.32) я+р Интересное свойство выражения (4.9.32) состоит в том, что, когда сфера равномерно движется под действием силы тяжести, причем скорость ее поступательного движения определяется по формуле (4.9.30), нормальные компоненты напряжения отличаются только на постоянную величину ро — ро.
Следовательно, напряжения на поверхности раздела не стремятся деформировать сферу, и фактически нет необходимости предполагать, что поверхностное натяжение будет настолько сильным, 'гробы сохранить каплю или пузырек в сферической форме; поверхностное натяжение входит только в соотношение ро — ро — — 2у/а (см. (1.9.2)), определяющее ро. Если вязкости и плотности двух жидкостей таковы, что малые значения чисел Рейнольдса позволяют пренебречь силами инерции, то, очевидно, нет никакого ограничения на размер жидкой сферы. Обнаружено, что пузыри воздуха, поднимающиеся в очень вязких жидкостях, таких, как патока, имеют сферическую форму, даже если их радиус становится настолько большим, что влияние поверхностного натяжения могло бы не иметь решающего значения. Тело произеолышй бЗорлаы Хотя трудно аналитически исследовать структуру течения, вызываемого движущимся телом любой формы, кроме сферической '), по этому вопросу имеются некоторые общие результаты.
Следующие замечания относятся только к условиям, в которых силами инерции можно полностью пренебречь, т. е. к малым числам Рейнольдса. Рассуждения, подобные тем, которые использовались в начале этого параграфа, показывают, что для тела произвольной формы при поступательном движении со скоростью Ю как вектор скорости н, так и отношение (р — ро)/р линейны и однородны отно- Ч Решение дая твердого ваиидсоида си. в книге; Ланс г., Гидродинамике, Гиттл, м.— л., шю/ 303 Гл.
4. Роопокерпый поток вяакой кесжкпаекой жидкости сительно вектора 1). Кроме того, изменение размера тела без иаменения его формы приводит просто к изменению масштаба всего поля течения, так что для тела данной формы величины и/1/ и (р — р,) д/)о(/ суть безразмерные функции от хЯ, где И— характерный линейный размер тела. Как касательное, так и нормальное напряжения в жидкости линейно зависят от П, поэтому результирующий вектор силы, приложенной к жидкости, определяется интегралом по поверхности тела Р'о = — ~ аып/ИА; (4.9.33) где бИ (х) — элемент телесного угла в направлении вектора х.
Это равенство показывает, что в случае течения, вызванного движущимся телом, которое действует на жидкость конечной силой, разность давлений (р — ро) и тензор скоростей деформации доля'ны уменьшаться при г -~ оо по крайней мере как г о. Мы знаем также, что р — ро является гармонической функцией, и ее можно представить рядом в виде (2.9.19).
Первый ненулевой член этого ряда, очевидно, имеет степень г ', так что асиоштотическн при г-~ оо имеем д — до Ры~~*А (4.9.35) в гэ где ры — числовой тензор, зависящий только от формы тела. Завихренность ю также удовлетворяет уравнению Лапласа и может быть записана в виде аналогичного ряда (с учетом того, что ю — аксиальный вектор). Члены одного и того же порядка в разложениях (р — ро)/р и ю связаны уравнением (4.9А), и можно убедиться, что если первый член ряда для (р — ро)/р равен а 9г-', то тот же член в случае ю равен а х ~7г о. Следовательно, при г-~ со будет р у код ооо — с~о (4.9.36) 304 величина силы пропорциональна рГИ. Уравнение (4.9.1), описы- вающее течение с пренебрежимо малыми силами инерции, экви- валентно равенству дсы — = — О, а*~ и из применения формулы Остроградского — Гаусса следует, что интеграл (4.9.33) имеет одно и то же значение для любой поверх- ности в жидкости, охватывающей тело, и, в частности, для сферы достаточно большого радиуса с центром в начале координат.
Следовательно, Р~ = — ) 11ш (гоыхо) Ы1) (х), (4.9.34) о г ао 4хк Движение тела ири малых числах Рейнольдса Наконец, мы можем получить асимптотическое выражение для скорости, которое определяется с помощью (4.9.36) (не считая слагаемого от безвихревого течения, величина которого не может быть больше г-', если объемный поток через поверхность тела равен нулю) и с учетом требования соленоидальности скорости и.
При г-~ оо находим 1 l е ~$ ие — — Рцб, 1 — бы+ — хиле) . 2 ге Теперь можно связать коэффициент Рц с силой Г, оценивая напряжение на сферической поверхности большого радиуса (см. (4.9.34)). Несложные выкладки приводят к результату Р7 = 4п»Рц078 (4.9.38) Оказывается, что, когда тело данной формы движется поступательно со скоростью Ю, для определения полной силы, действу7ощей на жидкость, и асимптотических выражений давления и скорости, достаточно знать только числовой тензор Рц. Из предыдущих вычислений известно, что в случае тела сферической формы радиуса Ю2, состоящего из жидкости с коэффициентом вязкости », 3 1 ' 2 »"- — » Рц= — бц »+» Течение на больших расстояниях от тела имеет осевую симметрию относительно направления вектора РцПР Следовательно, течение жидкости в этой области можно описать с помощью функции тока.
В сферической системе координат (г, О, у) при выборе оси 0 = 0 вдоль вектора Рычаг (который указывает также и направление действия силы Г) из выражений (4.9.37) и (4.9.38) находим функцию тока ф= —,гз1п'0 (Р=~Р~). г" (4.9.39) Зи» Теперь выражение (4.9.38) показывает, что величина Р/рте имеет такой же порядок малости, что и величина У78/е, которая по предположению мала по сравнению с единицей. Поэтому не удивительно, что мы вновь получили поле течения (4.6.18), вызываемое малой по сравнению с риз силой, приложенной к жидкости в начале координат. Когда тело произвольной формы движется через жидкость при малом числе Рейнольдса, поле течения на большом расстоянии от него зависит только от результирующей силы, действующей на жидкость, и непрерывное изменение положения самого тела не оказывает влияния на это поле.
Эти общие результаты имеют удобную для приложения форму в случае малой частицы, твердой или жидкой, свободно падающей 305 20-0878 Гл. 4. Равномераый поток вяакой несжимаемой жидкости под действием силы тяжести. Если объем т и плотность частицы р известны, то распределения скорости и давления на большом расстоянии от нее можно получить непосредственно из выписанных выше формул, положив Р = (р — р) тй' точная форма частицы в данном случае не имеет никакого значения; по-видимому, также не имеет эначения, перевертывается ли частица, изменяя свою ориентацию по отношению к направлению действия силы тяжести, а также движется ли она по траектории, которая ве совпадает с вертикалью. Иногда говорят, что поле течения, изображаемое функцией тока (4.9.39), вызвано «стокслетоме в начале координат (термин аналогичен «дуплету», «озеенлетуе).
уирэжвевии $. Докажите, что П.Р' =- «)'.Р, где Р и Р' — силы, развиваемые телом, движущимся со скоростями () и Ю' соответственно (при малых числах Рейвольдса в обоих случаях) и, следовательно, что коэффициевт РП в вырви~евин (4.9.88) — симметричный теиаор. 2. Твердая сфера радиуса а вращается с угловой скоростью П в жидкости, которая покоится на бесконечности. Покажите, что если (е«пр!р) (( (, то пара сил сопротивления, пряложеввая к жидкости, имеет момент 8яра«0. 4.10. Уточненное уравнение Озеена для течения при малом числе Рейнольдса Было покаэано, что при полном пренебрежении силами инерции в течении вокруг тела произвольной формы с линейным размером Ы, движущимся со скоростью У, скорость жидкости на больших расстояниях от тела имеет порядок Уп/г.
Так как первый член в выражении (4.9.13) для силы инерции содержит производную первого поридка по координате, а сила вязкости зависит от производной второго порядка, то из этого следует, что локальная сила инерции, рассчитанная на основании этого решения, фактически сравнима по величине с силой вязкости, когда расстояние г имеет порядок Н/Ве (где Ве = рай)г), как и в ранее рассмотренном случае сферы. Это критическое замечание об использовании уравнения (4.9.1), описывающего течение при движении тел в неограниченной жидкости, которая в других отношениях невозмущена, было сделано Озееном (1910), который, кроме того, показал, каким образом можно улучшить уравнение и тем самым устранить имеющееся противоречие.
Улучшение Озеена применяется в случаях, когда тело движется с постоянной скоростью 1) и течение отно- 306 430. Уточненное уревневве Озеепа прк калом чвсле Рейпопьпсе сительно тела установившееся; в таких случаях локальная сила инерции определяется выражением (4.913), а именно р ( — 1) 17п + в ~7н), (4 10.1) где п — скорость жидкости, как и раньше в системе координат, неподвижной относительно жидкости на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
