Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Чтобы наглядно показать ато влияние и развить физическое представление о нем, предположим, что исследуемая жидкость несжимаема; как уже отмечалось, такое предположение оказывается хорошим приближением к действительности в широком диапазоне условий, причем основное ограничение сводится к тому, что скорость жидкости должна быть всюду мала по сравнению со скоростью звука. Будем также считать, что нет каких-либо других аффектов, которые могли бы вызвать значительное изменение плотности элементов жидкости (см. 4 3.6). При этом уравнение баланса энергии жидкости и термодинамическое уравнение состояния заменяются условием постоянства плотности элемента жидкости 1К (4.1.1) Уравнение сохранения массы с учетом (4.1.1) сводится к урав- нению (4.1.
2) 226 ~у и = О, а выражение для напряжений в несжимаемой жидкости Пм= — рбгд+р ~ — + — ) 1 ди~ ди1 1 1д,ту де; ) (4 1.3) дает возможность написать уравнение движения в виде Зги уравнения определяют течение ньютоновой жидкости при одном лишь предположении, что жидкость несжимаема. Наиболее общий вид граничного условия, налагаемого на решение, состоит в том, что все козшоненты скорости должны быть непрерывными функциями вплоть до границы твердого тела и жидкости. Отметим, исходя из общего выражения (3.4.5), что скорость диссипации механической энергии на единицу массы жидкости под влиянием вязкости есть Ф =- 2 — егдем, где ем = — ~ — '+ — ) .
(4.1.5) Р 1 ! ди; ди1 1 Р 2 ~ дег де~ ) ' Зта анергия теряется жидкостью и выделяется в виде тепла. 4.1. Веедеыые Вязкость жидкости изменяется в основном с изменением температуры, так что когда происходят заметные измевевия температуры либо в результате теплопроводвости от границы, либо под влиявием тепла, выделяемого за счет вязкой диссипации мехавической энергии, козффициевт р нужно рассматривать каы фувкцию воордиват, волучеввую ва основании распределения температуры. Однако здесь мы будем считать, что коэффициевт вязкости р всюду постоявев. Массовая сила г" выражает действие гравитационного поля Земли, и в подавляющем большинстве случаев мы примем Р=й, полагая в этой главе, что сила тяжести й постоянна во всей жидкости.
При этих условиях уравнение движения вязкой жидкости (в векторных обозначениях, в которых ово становится более ясным) имеет вид р —, = рй — чу+ р»у и, Ри е (4Л.6) где р и р — задаввые постоянные. Еще одно упрощение, которое должно быть принято, состоит в том, что плотность жидкости постоявва. В тех случаях, в которых выталкивающие силы, возникающие под действием силы тяжести ва в'идкость с малыми изменениями плотвости, полностью обусловливают движение жидкости, приближение однородной плотности, очевидно, неприемлемо; однако подобные случаи свободной воввевции в книге ве рассматриваются. Добавок и ускорению элемевта жидкости, обусловленный вязкими напряжениями, возникающими при данной скорости деформации, очевидно, определяется отношением р/р, а ве только одним воэффицигвтом вязкости р. Кав отмечалось в $ $.6, отношение р)р называется кинзматическим коэффициентом вязкости и обозначается буквой т.
Ввиду того, что уравнение движения имеет вид ди е — .+тЧи ш Ф коэффициент е является по существу коэффициентом диффузии для скорости и, имеющим размерность (длива) х (сворость), как и все коэффициенты диффузии, и играет такую же роль по отвошеввю в динамическому коэффициенту вязкости р, какую воэффицвевт термодиффузии х = )с/рс„играет по отвошевию и воэффициевту теплопроводвости й.
Значения р и т для воздуха и воды при различных условиях приведены в таблицах приложения 1, а их звачевия для некоторых обычных жидкостей при температуре 15 'С и давлении в одну атмосферу представлевы ниже. Заслуживает вввмавия то, что если значения р для воздуха, зады и ртути расположить в порядке возрастания, то значения е 227 15» Гл. 4. Разиомериый поток вязкой несжимаемой жидкости м, е. Мсм сем смеосем поместье Воздух Вода Ртуть Оливковое масло Гликерии 0,00018 0,15 0,011 0,011 0,016 0,0012 0,99 1,08 23,3 18,5 Численные значения как р, так и ч длн двух обычных жидкостей — воадуха и воды — весьма малы.
Пока мы еще не знаем, с чем нужно сравнивать эти значения, имея в виду важность эффектов вяакости, хотя есть много указаний на то, что во многих случаях эти эффекты пренебрежимо малы. Трудно определить даже в общих чертах условия, при которых можно с уверенностью пренебречь эффектами вязкости, и трудно предсказать ати эффекты в случаях, в которых оки не являются пренебрежимо малыми. Поэтому мы должны начать с общего изучения эффектов вязкости, прежде чем использовать преимущества, которые дает малость численных значений коэффициентов р и т для воздуха и воды. Модификация давления с учетом влияния массовой силы Из уравнения (4Л.6) можно видеть, что если плотность р однородна, то сила на единицу объема, обусловленная силой тяжести, полностью компенсируется давлением, равным рй х.
Это свидетельствует о том, что можно ввести давление (4.$.7) Р = Ро+ РК'х+ Р где ро — постоянная, а ро + рй х — давление, которое существует в той же массе жидкости в состоянии покоя и которое вдвижущейся жидкости создает градиент давления, уравновешивающий силу тяжести. Через Р обозначена остальная часть давления, которая возникает только под влиянием движения жидкости и которая входит в уравнение Р— = — мр+ р1о'и Гн (4.1.8) Общепринятого названия для Р нет. Мы будем называть его модифицированным давлением.
Следует подчеркнуть, что его 228 при этом располагаются в порядке убывания; когда важен только кинематический коэффициент вяакости, ртуть по существу окааы- вается значительно менее вязкой жидкостью, чем воздух. 4.1. Вэедеэке можно ввести только в том случае, когда плотность жидкости однородна, и поэтому массовая сила тяжести на единицу объема представима в виде градиента скалярной величины. После введения модифицированного давления сила тяжести в уравнении движения больше не появляется, и если она также отсутствует в граничных условиях, то можно утверждать, что сила тяжести не оказывает влияния на распределение скорости в жидкости.
Однако если в граничных условиях встречается абсолютное давление, как, например, в том случае, когда часть границы является поверхностью раздела с другой жидкостью нли, в частности, свободной поверхностью, то в граничных условиях приходится использовать полное выражение для давления (4.1.7), и таким путем влияние силы тяжести снова входит в задачу. Введение модифицированного давления Р для жидкости с однородной плотностью полезно только в тех случаях, когда граничные условия содержат только скорость. Так будет почти всегда при рассмотрении движения воздуха; для воды это может быть и не так.
В последующих обсуждениях движений однородной жидкости, для которой в граничные условия входит только скорость и на движение которой сила тяжести поэтому не оказывает влияния и дает лишь добавок рй х к давлению, согласно (4Л.7), мы будем вводить модифицированное давление и записывать уравнение движения в виде (4.1.8).
Однако, следуя обычной практике, это модифицированное давление обозначим той же малой буквой р, которая в более общих условиях представляет абсолютное давление, Условия, при которых введение модифицированного давления приносит пользу, подобны условиям, при которых выполняется закон Архимеда для движущегося в жидкости тела. Результирующая сила, приложенная со стороны жидкости к погруженному в нее телу с поверхностью А и объемом У, равна сумме величины — ~ рпЫА и слагаемого от касательных напряжений, которое зависит только от распределения скорости в жидкости.
После подстановки вместо давления р его выражения (4.1.7) и использования формулы Остроградского — Гаусса написанный интеграл приводится к виду — ~ 17(ре+рй х) НУ вЂ” ~ РпйА= — руй — ~ Рп НА. Таким образом, если модифицированное давление Р и распределение скорости в жидкости не зависят от действующей на жидкость силы тяжести, а это будет в том случае, когда в граничные условия не входит абсолютное давление, все влияние силы тяжести 229 Гл.
4. Раваомерамй поток вязкой аесжимаемой жидкости на жидкость, поскольку речь идет о силовом воздействии на погруженное тело, заключается в том, что тело испытывает потерю веса, равную весу жидкости, вытесненной этим телом. Можно также показать, что пара сил, приложенная к погруженному в жидкость телу и возникающая под влиянием действия силы тяжести на окружающую тело жидкость, равна по величине и противоположна по знаку паре сил, которую сила тяжести развивает в вытесняемой жидкости.
Следовательно, свободное твердое тело, погруженное в жидкость, будет двигаться независимо от действия силы тяжести, если только оно имеет ту же массу и то же положение центра масс, что и вытесненная жидкость. Существуют аналогичные, хотя и менее важные результаты, касающиеся влияния установившегося вращения на двумерное поле течения.
Если движение жидкости рассматривается в ускоренно движущейся системе координат, то форма уравнений движения изменяется лишь за счет добавления массовых сил инерции, согласно выражению (3.2.9). В случае прямоугольной системы координат, вращающейся с постоянной угловой скоростью Й относительно оси з, результирующая этих сил на единицу массы расположена в плоскости (х, у) и имеет компоненты 2(аи + 1ззх, — 2(аи + аззу, где х, у и и, и — соответствующие компоненты векторов х и и.
Далее, в случае двумерного течения несжимаемой жидкости в плоскости (х, у) можно удовлетворить уравнению сохранения массы, полагая (см. $2.2) и=— дт дч У= —— да ' дз Из этого следует, что уравнение движения во вращающейся системе координат отличается от уравнения движения в абсолютной системе координат только добавлением массовой силы на единицу объема Ф7 ( — 2ааф+ 2 (ха+у')~, (4 1.9) 23Р и когда плотность р однородна, силы инерции, как и сила тяжести, могут быть скомпенсированы некоторым добавком к давлению; часть этого добавка возникает от кориолисовой силы инерции и часть — от центробежной силы.
Таким образом, уравнение движения вновь можно написать в виде (4.1,8), и опять, если только абсолютное давление не входит в граничные условия, то силы инерции не учитываются при определении распределения скорости. Иначе говоря, установившееся вращение двумерного течения без изменения граничных условий относительно вращающейся системы координат не влияет на распределение скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
