Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 51
Текст из файла (страница 51)
4П. Введение Аналог закона Архимеда для массовой силы (4.1.9) можно установить без особого труда. В случае добавка в выражение (4,1.9) от центробежной силы рассуждение одинаково с рассуждением для силы тяжести, так как обе эти силы представляют собой функции координат пространства. Для того чтобы можно было воспользоваться точно таким же рассуждением для добавка в выражение (4.1.9) от кориолисовой силы, предположим, что функция тока продолжена в область, занятую погруженным твердым телом, некоторым способом, соответствующим движению жидкости в этой области как твердого тела.
Тогда добавочная сила воздействия жидкости на тело (на единицу ее глубины), обусловленная действием массовой силы (4.1.9), приложенной к жидкости, определяется интегралом — ') Ч ( — 2рьгф+ — рьлз(не+у')~ ((А, который берется по площади тела в плоскости (л, у). Эта сила равна и противоположна по знаку результирующей центробежных и кориолисовых сил, которые действуют на жидкость в объеме тела, если бы она двигалась как твердое тело. Соответствующий результат существует и для пары сил, приложенной к телу со стороны жидкости. Из этого следует, что твердое тело, которое совершает свободное движение, будет двигаться таким образом, что на него не влияет равномерное вращение всей системы координат, если тело имеет ту же общую массу и такое же положение центра масс, как и вытесненная жидкость 1).
1, Покажите, что н несжимаемой жидкости деэиатор напряжений, действующий па алеыент твердой границы, направлен в точности по касательной к ее поверхности. (Используйте криволинейную систему координат, одна координатная поверхность которой совпадает е твердой границей.) 2. Получите другое воаыожное выражение силы, действующей на единицу площади элемента поверхности с нормалью и н несжимаемой жидкости: — рп+ )( (2п ()п+ п х ю). Покажите, что на твердой границе оно сводится к выражению — рп — рп х ю.
быть показано путем претаекнаакия тела такай же пяогноети, что и вода, а одном и том же горазоитачьном напразлении отноеательно жидкости а плоеком сосуде с водой. еоаерщаюп(ей кращение а паетоякяой угловой окоростью (Тейлор (1921)). Быао обнаружена, что кругоаой цяляндр с зергаказьйымя образующими даижетея а направлении драложенной к каку оилм, как н а неаращающейся еиогзме коордякат, а то время как сФера етклокяется от прямолинейного пути а надраалекии, проткаонолажном напразлекию арап(ения сосуда (ато показывает, что добавок к даалеккю жядкаетн от кориолкеааой еилы а данном случае окаамзается кедоетаточным для комленеации кориолиеоаой силы, аейетзующей яа само тело). уетаноалено также, что вихревое кольца, даяжущееоя а горизоатальном надраалеиии, также следует по дутн, иокризлениаму отноеительножидкоети а капранзений, проткзоыложком зращекню системы координат.
Гн. 4. Равномерный ноток ннзкой несжнмаемой жндкостн 4.2. Установившееся течение одного направления )з ~ (л, (незз+ здезз) -(- пз (иезз+ везз)) з)1 ~ О, где (О, лз, лз) — единичная нормаль к границе и интегрирование выполняется по замкнутой граничной кривой в плоскости поперечного сечения. Следовательно, если, например, граница будет твердой и либо неподвижной, либо движущейся в направлении оси х или.будет свободной поверхностью, на которон касательное напряжение равно нулю, то течение обязательно всюду направлено по оси л.
Положим теперь и = зд = О, тогда уравнения движения (4.1.8) по осям у и г сводятся к — =О, — =О, др дз (4.2.1) 232 Особенностью уравнения движения (4.1.6) или (4.1.8), которая вызывает наибольшие трудности для анализа, является его нелинейность по скорости и, входящей в выражение (2.1.2) для ускорения жидкого элемента при эйлеровом описании поля течения. Математические трудности, возникающие при рассмотрении полного уравнения движения, настолько велики, что большинство существующих решений получено только в условиях, в которых по каким-либо причинам эти уравнения сводятся к линейным.
Среди простейших находятся случаи, в которых вектор скорости всюду имеет одно и то же направление и не изменнется по течению. Тогда конвективная производная скорости обращается тождественно в нуль и ускорение элемента жидкости равно дп/дг и имеет лишь одну ненулевую компоненту. Предварительно укажем точные условия, при которых скорость жидкости в длинной цилиндрической области имеет строго одно направление. Нас интересуют состояния, в которых движение основного потока в направлении оси х, параллельной образующим, установилось и не зависит от концевых эффектов, так что все три компоненты скорости и, и, зд в декартовой системе координат не зависят от к. Уравнение движения показывает, что градиент за также не должен зависеть от х. Таким образом, и и и — компоненты скорости двумерного течения, которые никак не связаны с движением в направлении оси х.
В таком движении может происходить вязкая диссипация энергии только в том случае, когда энергия непрерывно подводится к жидкости касательными напряжениями, развиваемыми на части границы, движущейся в направлении касательной, т. е., как можно легко показать, только когда 4.2. Устеиоэиэшееся течение одного иаираииеиия где р — модифицированное давление, как было принято в $4.1. Уравнение движения по оси х имеет вид Р— = — — +Р( — + — ) ° ди др т дйи дйи й дй дй ~ддй дйй)' (4.2.2) и так как в нем ни первый, ни последний члены не зависят от х, то можно написать дя (4.2.3) дйи дйи С вЂ” + — =- — ° дуй дйй (4.2.4) Плотность жидкости не входит в уравнение (4.2.4), так как полное ускорение каждого элемента жидкости равно нулю. Каждый элемент жидкости находится в равновесии, поскольку речь идет о компонентах сил в направлении оси я, под действием нормальных напряжений (градиента давления), которые изменяются с изменением х, и касательных напряжений, вызываемых вязкостью, которые зависят от у и и, (Кроме того, может быть еще нормальное напряжение — скрытое из-аа введения модифицированного давления, — изменение которого с изменением координат таково, что уравновешивает силу тяжести, действующую на каждый элемент.) Теперь нужно решить уравнение (4.2.4), подчиняющееся граничным условиям, с помощью которых в общем случае задаются градиент давления ( — й') и значения и при определенных у и з Течение Пуадей йя Течение в длинной трубе кругового сечения под действием разности давлений на концах трубы было изучено Гагеном в 1839 г.
и Пуазейлем в 1840 г. Можно считать, что течение, как и граничные условия, имеет осевую симметрию, так что и — функция только расстояния г от оси трубы. Соответствующее решение уравнения (4.2.4) таково: и = — ( — ге+ А1п г+ В). С 4в При г = 0 в этом решении имеется нереальная особенность (связанная с конечной силой, действующей на жидкость на единицу 233 Когда функция 6 положительна, градиент давления представляет собой постоянную массовую силу, действующую в положительном направлении оси х.
В случае установившегося течения, которое будет рассматриваться в этом параграфе, производная ди/д~ = О, величина ( — С) есть постоянный градиент давления и уравнение (4.2.2) сводится к виду Гл. 4. Равномерный поток вязкой несжимаемой жидкости длины отрезка оси), если постоянная А ие равна нулю; поэтому выберем именно это значение А. Выбирая постоянную В такой, чтобы получить и = 0 ка границе трубы при г = а, находим и= — (а — г ). е е 4п (4.2.5) Практический интерес представляет объемный поток жидкости через любое сечение трубы, величина которого а д=~ 2.( = —,= аее ее(Р— Р) ВР1 е (4.2.6) где ре и р, — (модифицироваппые) давления в начальном и концевом сечениях отрезка трубы, имеющего длину е. Гагеп и Пуазейль установили в экспериментах с водой, что поток зависит от первой степени перепада давления и четвертой степени радиуса трубы (половипа этой степени получается вследствие зависимости площади поперечного сечения трубы от ее радиуса, а другая половина связана с увеличением скорости и для данной результирующей силы вязкости при увеличении радиуса трубы).
Точность, с которой получено постоянство отношения фас в наблюдениях, убедительно подтверждает предположение об отсутствии скольжения частиц жидкости ка стенке трубы, а также косвенно подтверждает гипотезу о линейкой зависимости вязкого напряжения от скорости деформации в данных условиях. Касательное напряжение иа стенке трубы равно р(~,. ) так что полная сила трения в паправлении течения ка участке трубы длиной е равна 2на( ( — ба) = яа' (ре — ре). 1 234 Такого выражеиия для полной силы трения ка стенке трубы и следовало ожидать, так как все элементы жидкости внутри этой части трубы в данный момент времени находятся в состоянии установившегося движения под действием ыормальиых сил яа'р, и катре па двух концевых сечениях и силы трения па стенке трубы. Кроме того, из выражения (4А.5) видно, что скорость диссипации механической энергии па единицу массы жидкости под влиянием вязкости определяется в данном случае выражением 4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
