Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Козффнциенты вязкости воздуха и воды при обычных условиях являются, следовательно, очень малыми величинами, когда они выражены в единицах, обычно используемых на практике для большинства других механических величин; поэтому естественно возникает вопрос, можно ли рассматривать эти простые жидкости, по крайней мере для некоторых целей, как жидкости, имеющие нулевую вязкость, т. е. нввязкие. Это — важный вопрос, который будет подробно рассмотрен в гл. 5. Здесь нам нужно только отметить, что для невязкой жидкости касательные напряжения всюду равны нулю и текзор напряжений имеет такую же изотропную форму, как и для любой жидкости в состоянии покоя.
Уравнение Нанев — Спюлса Принимая во внимание выражение (3.3.9) для девиатора напряжений, полный тензор напряжений (3.3.3) запишем в виде аы — — рбм+ 2)г (еы — бюй), 1 (3.3.11) 193 гз-овгз Гл. 3. уравнения движения жидкости где 1 С дис, аиС~ ес= —,( — + — ) Л=ес. 2 1 деС дес ) ' Если силу Е и коэффициент вязкости )с можно считать заданными, это уравнение количества движения и уравнение сохранения массы дают четыре скалярных уравнения для определения скорости н, плотности р и давления р как функций от х и с.
Вообще требуется еще одно скалярное уравнение, и обычно такнас уравнением принимается уравнение состояния жидкости, но прн этом вводится еще одна переменная (обычно температура), которая используется при рассмотрении внутренней энергии жидкости (см. $ 3.4). Однако если жидкость ведет себя как несжимаемая, а так обычно ведут себя реальные жидкости в условиях, описываемых в 3 3.6, то плотность каждого элемента жидкости при изменениях давления не изменяется, и поэтому она является инварнантом, если не имеется никаких других процессов, июсеняющих плотность (например, молекулярного переноса тепла илн растворенного вещества). Тогда получаем дополнительное урав- нение — =О, Рр ис (3.3.15) которое, конечно, представляет собой частный случай уравнения состояния жидкости; явное использование уравнения (З.З 15) часто оказывается необязательным вследствие того, что плот- Подставляя его в уравнение движения (3.2.2), получаем р — = ре'с — — + — 1 2р (есс — — бссЛ ) ) .
(3.3.12) Рис др д С С 1 ис аис аис 1 1 ' з Это уравнение обычно называется уравнением Наеье — Сспоиеа. Для многих жидкостей коэффициент вязкости )с существенно зависит от температуры (см. 3 1.7, 1.8), и когда в поле течения имеются заметные разности температур, нужно рассматривать р как функцию координат. Однако, к счастью, этн разности часто достаточно малы, чтобы коэффициент р можно было считать постоянным по всей жидкости; в атом случае уравнение (3.3.12) становится проще РиС др С дои; 1 дЛ с р — ' — -рР; — +) ( ' + — — 1.
(3.3.13) РС ' деС 1 деудеС 3 деС ) ' Следующий частный случай, имеющий важное значение, это случай несжимаемой жидкости. Уравнение сохранения массы сводится для нее к уравнению ссс и = О, а уравнение (3.3.13) в векторных обозначениях принимает вид р =рг — т~р+ ру (3.3 14) З.З. Выражеаив для тензора ааэряжеывй ность среды, однородная в начальный момент, остается однородной и в последующем. Таким образом, для несжимаемой жидкости система уравнений теперь полна и достаточна для определения скорости п и давления р, если, конечно, известны соответствующие граничные условия, Существует кажущееся противоречие в форме приведенного выше выражения для результирующей силы на единицу объема жидкости, обусловленной внутренним трением, которое наиболее отчетливо проявляется для несжимаемой жидкости постоянной вязкости.
Результирующая сила вязкости равна 2)г — — 'Ы = )сЧгиг =- — )г (Ч Х ю) и эгг (3.3.16) Мы видели, что вязкое напряжение возникает исключительно вследствие деформации жидкости и не зависит от локальной завихренности. Поэтому на первый взгляд удивительно, что результирующая сила вязкости на единицу объема пропорциональна производной от завихренности по координатам.
Объяснение этого факта полностью кинематическое и связано с векторным тождеством, использованным при написании равенства (3.3.16); величины егт и ю независимо влияют на возникновение напряжения, но некоторые пространственные производные от еы тождественно связаны с некоторыми производными от ю. Надо отметить, что сила вязкости на единицу объема несжимаемой однородной жидкости обращается в нуль, если вектор м имеет везде одинаковое значение и, в частности, когда ю = О, т. е. если движение жидкости безвихревое; однако вязкие напряжения при этом вовсе не равны пулю. Углов я для скорости и напряжений на жидкой границе двух сред 195 Как было отмечено в $1.9, вообще имеются два соотношения перехода на поверхности для каждой переносимой величины: одно соотношение отражает непрерывность соответствующей интенсивности при переходе через поверхность и основывается на предположении, что локальное отклонение от равновесия не слишком велико, а другое отражает непрерывность нормальной компоненты вектора потока (с учетом влияния поверхностного натяжения), Количество движения жидкости представляет собой одну такую переносимую величину, причем связанными с ней интенсивностью и вектором потока являются скорость и напряжения соответственно.
Учитывая, что мы получили выражение для тензора напряжений, можем приступить к выводу в явном виде граничных условий, необходимых в дальнейшем при математическом определении распределения скорости в жидкости. Гл. 3. Уравнения движения жндности Первое иа двух упомянутых выше соотношений перехода состоит просто в том, что касательная компонента скорости непрерывна при переходе через жидкую границу, разделяющую жидкость и другую среду ').
Согласно $1.9, подтверждение этого условия можно искать в известном факте, что любой разрыв скорости при переходе через жидкую поверхность приводит почти немедленно (путе»« молекулярного переноса) к очень большому напряжению на поверхности в таком направлении, что исключается относительная скорость двух масс; следовательно, условие непрерывности скорости является не точным законом, а лишь приближенным утверждением того, что можно ожидать в обычных условиях. Эффективность вяакого напряжения в сглаживании раэрыва сиорости в жидкости зависит от величины вяэкости и от других факторов, которые будут изучены позже. Очевидно, имеются некоторые специальные условия, в которых касательные напряжения относительно малы и в которых по какой-либо причине большие градиенты скорости поддерживаются, и в таких случаях может быть удобно говорить о «раэрыве» в скорости, хотя и не в буквальном смысле этого слова.
Случай границы, отделяющей жидкость и твердое тело, особенно важен для практики. Непрерывность касательной компоненты скорости прн переходе через границу называется в этом случае условием отсутстеия скольжения (условием прилипанил), Выполнение условия прилипания на поверхности раздела жидкость— твердое тело обсуждалось в последнем столетии в течение нескольких лет, причем было сомнение в том, приводит ли вэаимодействие молекул на такой поверхности раздела к переносу количества движения такой же природы,как перенос на поверхности внутри жидкости; однако отсутствие скольжения жидкости на твердой стенке неоднократно подтверждалось непосредственным наблюдением и правильность»о многих следствий иэ этого условия при нормальных условиях.
Одним важным исключением служит течение гааа при такой низкой плотности, что средняя скорость молекул заметно изменяется на протяжении одного среднего свободного пути их пробега. По-видимому, в потоке такого газа может быть ненулевой скачок скорости и температуры на твердой стенке, что понятно, поскольку число столкновений, совершаемых молекуламн в элементе объема прежде, чем они рассеиваются в поле течения, недостаточно велико, чтобы равновесие установилось хотя бы приближенно.
Второе иэ двух соотношений перехода ваключается в том, что разность между напряжениями на двух элементах поверхности, параллельных границе и расположенных с двух ее сторон, представляет собой нормальную силу, полностью обусловленную ° ) Конечно, нормальная помпонента оно»петя тзнже непрермвна, нан отмечвлоеь в $ ЬВ. по пннематячеенвм прнчвнам, не евязанным е моленулярпым взавмонеяетвнем.
196 3.3. Выражение лля тенеера напряжений ец1,пт — — О, р 2)<(ецп<пг — 3 ) Ре — 7 (е~< т'Ле ) 197 поверхностным натяжением, выражаемым соотношением (1.9.8). Записывая это соотношение более подробно с помощью выражения (3.3.11) для тензора напряжения сц, удобно взять отдельно компоненты поверхностной силы, нормальные к границе (направлз. ние и) и касательные к ней (направление 1).
В случае касательной компоненты в обозначениях рис. 1.9.4 имеем (<"ЕОЧ<П1 = )< Е<11<П<, (3.3.17) а для нормальной компоненты— 1 Р— 29 (ецп<п, 3 3)=- 1 = Р' — 2)<' (еЬп;и — Л') + 7 (Л-,'+ 1Ч ). (3.3.18) Условия (3.3.17) и (3.3.18) должны выполняться в каждой точке границы между двумя различными жидкостями. Целесообразно сравнить форму, принимаемую двумя рассматриваемыми соотношениями перехода на жидкой гравице— условиями непрерывности скорости и непрерывности напряжения (с учетом поверхностного натяжения) — в двух крайних случаях, в которых среда с одной стороны границы или является совершенно твердой, вли имеет пренебрежимо малые плотность и вязкость.
На поверхности раздела жидкость — твердое тело как нормальная, так и касательная компоненты скорости непрерывны, так что если скорость твердой границы задана, то имеется практически удобное граничное условие для распределения скорости в жидкости. Однако напряжение в твердом теле неизвестно, в нет никакого простого граничного условия для распределения напряжений в жидкости. Другой крайний случай можно охарактеризовать как поверхность раздела жидкость — газ, причем плотность и вязкость газа много меньше тех я<е величин жидкости.
Из уравнения Навье— Стокса в форме (3.3.12) видно, что изменения величины давления в жидкости уменьшаются с уменьшением плотности р и вязкости р, так что если скорости н их производные в газе н в жидкости по величине сравнимы, то давления в газе изменяются много меньше, чем в жидкости, и напряжения трения в газе также много меньше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
