Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Иитегралм по объему движущейся жидкости для построения суммы, предел которой при е- 0 определяет ин- теграл в любой последующий момент времени. Длины элемептсв линии изменяются со временем, но все они остаются пропорцыо- нальиыми е и бесконечно малыми, если никакой из них не испы- тывает бесконечного расширения в течение рассматриваемого интервала времени. В свяаи со сказанным напишем о — ~ 8б1= — (1(ш Я 8„61„), п где величина 8„вычисляется для элемента 61„жидкой линии, и, таким образом, ее производыую по времени следует представлять как полную, Р8„(Ра Тогда из равенства (3.1.3) следует, что о —,",) ее-а т, (~," на+в„а..т )- в о о = ~ фа+ ~ 8б).Ч . (3.1.9) г р Представление интеграла в виде предела суммы слагаемых от элементов жидкой линии, соединяющей точки ~ и Р, является только промежуточным этапом в рассуждении, и для наших целей можно считать, что два члена в выражении (3.1.9) полу- чены непосредственно дифференцированием подинтегральыого вы- ражения 8 (производимым в движущейся точке) и элемента инте- грирования 6!.
Другой путь, приводящий к выражению (3.1.9), который не так тесно свяаан с физическимы представлекиямы, основан на па- раметрическом задании жидкой линии интегрирования. Пусть у (г, г) — мгновенное положение точки на кривой, задаваемое параметром г, который, например, может быть равен расстоянию от точки Р вдоль кривой интегрирования в некоторый начальный момеыт времены. Тогда можно написать о ) оа — ~в(г, Š— '," и.
г Р Дифференцирование по г выполняется обычным способом: ~(д + дГ ) дг +1 д~д й Р Х поскольку же производная ду/д2 равна скорости жидкости и в точке у, то о о ', (яе-(ж — ',",е ~8 —",г.. р 177 12 — 0822 Гл. 3. Уравнения движения жидкости Эти два интеграла совпадают с интегралами в правой части равенства (3.1.9), записанными в параметрическом виде. Та же методика дифференцирования субстанционального элемента интегрирования с использованием соотношений (3.1.5) и (3.1.1) может быть применена при вычислении скоростей изменения субстанциональных интегралов по жидкой поверхности и по жидкому объему, а именно —,', ~ О ЗЗ, = ~ ~~, аи, + ~ Π— ,'"' ЗЗ,— ~ Π— ', ' З, (3.1.1О) и — ~ Вйт= ~ — йт+ ( 8~7 исИ. (3.1.11) Другая полезная форма этого соотношения получается после замены скалярной величины О иа Ор и упрощения его правой части с помощью уравнения сохранения массы (2.2.3): — „", ~ Орй = ~ фрйт.
Конечно, соотношение (3.1.12) можно рассматривать как прямое следствие постоянства массы рбт элемента жидкости. Эти результаты опять же можно получить другим и теперь более длинным путем, заменяя переменные интегрирования параметрическими координатами, задающими положение точки в области интегрирования в начальный момент времени. Законы сохранения для движущейся жидкости Многие из законов механики сплошной среды формулируются как утверждения, что полное количество некоторой величины, связанной с массой жидкости, либо инвариантно, либо изменяется определенным образом под влиянием известных внешних воздействий, таких, как, например, молекулярный перенос через граничную поверхность.
Если результирующий эффект этих внешних воздействий можно выразить в виде интеграла по объему жидкости, то дифференциальное уравнение, описывающее распределение рассматриваемой величины, можно вывести с помощью полученных выше выражений для скоростей изменения субстанциональных интегралов. Полная масса жидкости в заданном жидком объеме представляет собой наиболее очевидную неизменяемую величину. Интеграл ~рЫт является инвариантом, и обращение в нуль правой части равенства (3.1.11) при В = р для любого выбора объема т сразу приводит к уравнению сохранения массы (2.2.3). Рассмотрим теперь произвольную, относящуюся ко всему объему жидкости, величину (например, кинетическую энергию илн 178 ЗЛ. Интегралы но объему деижуиСейси жидкости р — ".г =~ (ЗЛ.14) Можно также вывести дифференциальное уравнение (3.1.14), рассматривая иэмеиекия соответствующей полной величины для жидкости, огракичеикой в данный момент неподвижной в простракстве поверхностью А.
Между этими рассуждекиями имеются различия, которые хотя и кезкачителькы, яо заслуживают упоминания. В данном случае полная величина определяется иктегралом ~ Ор ЫГ, где У вЂ” объем, ограниченный поверхностью А, и эта колкая величина иэмекяется как вследствие внешних воздействий, так и в результате прохождения жидкости через поверхность А. Поток атой величины через поверхность А в каправлекии внешней нормали при движении жидкости равен ~ О рп.пЗА, поэтому искомый заков сохранения можно записать в виде — ~ Ор ИГ = — ~ Орп и ЫА+ ~ (г с1Г, ~ — ИР = — ~ Ч. (Орп) с()г+ ~ Д Л'.
(3.1.15) или Иэ условия, чтобы сооткошепие (ЗЛ.15) выполнялось при любом выборе объема $', получается дифференциальное уравнение )+ч (О )=Е. (3.1.16', 179 12е количество движения), которая в расчете па единицу массы жидкости является локальной интенсивностью и которую обозкачим О (х, з). Для жидкого объема т рассматриваемая величина определяется интегралом ~Орест; будем считать, что ока изменяется под влиякием внешних воздействий со скоростью, определяемой интегралом )дат, где ч'.— функция от х и 6 через ч обозкачека эффективная плотность распределения интенсивности соответствующих источников, и опа может зависеть некоторым образом от (мгковепкого) движения жидкости.
Тогда «заков сохранения» этой величины с соответствующей интенсивностью О имеет вид -'- ~ Ор а = ~ дат, или, с учетом соотношения (ЗЛ.12), ~3 3 =~ЕЗ.. (ЗЛ.13) Если это равенство справедливо при любом выборе объема т, то ивтексивкость О должна удовлетворять дифферекциальиому уравнению Гл. 3. Уравнения движения жидкости Видно, что это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением (3.1.14), если учесть уравнение сохранения массы (2.2.2).
которое, конечно, уже применялось прн выводе уравнения (3.1.14) с нспользованнем (3.1.12). Точное выражение функции () в (3 1.14) зависит от природы рассматриваемой величины с интенсивностью О, н здесь нет необходимости его рассматривать. Однако если полная величина, связанная с данной массой жидкости, изменяется лишь вследствие молекулярного переноса через граничную поверхность, можно сразу заметить изменение вида дифференциального уравнения для О прн движении жидкости. В $ 1.6 было установлено, что для покоящейся жидкости скорость молекулярного переноса фнзнческой величины интенсивности О пропорциональна локальному градиенту от О; соответствующее значение Ч определяется равенством (1.6.4).
Рассуждение, приведенное в 3 1.6, в одинаковой мере прнменнмо н к движущейся жидкости х), поэтому выражение для величины Ч в том случае, когда она отражает эффект молекулярного переноса, является тем же самым, что н для жидкости в состоянии покоя. Следовательно, влияние движения жидкости на форму дифференциального уравнения (3.1.14) определяется членом в его левой части; в случае покоящейся жидкости он имеет внд рдО/ду, а для движущейся жидкости рВОПИ.
Различные специальные дифференциальные уравнения, выведенные в $1.6 в случае неподвижной среды для различных физических величин, на которые оказывает влияние молекулярный перенос, теперь можно применить в случае движущейся жидкости. Например, дифференциальное уравнение (1.6.7) относительно числовой доли отмеченных молекул С принимает внд (3 1.17) Если рассматривается теплопроводность, то ннварнавтной величиной прн отсутствии молекулярного переноса является энтропия; прн условии, что в движущейся жидкости теплопроводность представляет собой единственный процесс с изменением энтропии з), уравнение (1.6.10), очевидно, должно быть заменено в этом случае на уравнение Т вЂ” = с — — — — — Ч (йязрТ) (3.1.18) Ро ВТ ОТ 7ур 1 пг р пс р пг р Специальные формы уравнения теплопроводностн (1.6.11) н (1.6.12) нзменяются аналогичным способом.
з ] Существование относягельного даижеиия в жадяоств указывает на отсутствие ее равно. весяп, но на то же самое уяазмвает и неравномерное распределение Е, и едяиствеиное ограничение, требуемое в етом рассужденяи, состоит в том, что любого вида отнлонеипя от равновесия должям быть малммя. з) другой возможяой прячяиой нзменеина внтропии является внутреннее треняе, вмзмваемое моленулярямм переносом количества движения; однако в обычных условиях оно дает пренебрежимо малый добавок я сяоростн изменеяяя зятропии.
3.2. Уравнение движения Дифференциальные уравнения для векторных велнчнн, удовлетворяющнх законам сохранення, также можно вывести, польауясь соотношениями (3.1.9) н (3.1.10); один пример такого вывода приведен в $5.2 к 5.3. 3.2. Уравнение двнження «Уравненне двнження» для жидкости в наиболее фундамен- тальном виде представляет собой равенство скорости иэмевенкя количества движения выбранной части жидкости н суммы всех снл, действующих на эту часть жидкости. Для жидкого объема т, ограниченного жидкой поверхностью 8, количество движения определяется интегралом ) пр Ыт, н скорость его изменения, согласно соотношенню (3.1.12), равна ~ ~" рот, т. е.
просто сумме пронаведенкй масс на ускорения всех элемен- тов жидкого объема т. Как уже объяснялось в $1.3, на часть жидкости действуют в общем случае как объемные, так н поверхностные силы. Обозна- чкм результирующий вектор объемных снл на единицу массы жидкости через г, так что полная объемная сила, действующая на выбранную часть жидкости, равна ~ Гр)т; 1-ю компоненту поверхностной нлн контактной силы, приложен- ной к элементу поверхности с площадью бЯ к нормалью н, мож- но представить как пыпфЯ, где аы — тензор напряжений, введен- ный в $1.3; следовательно, полная поверхностная сила, прнло- женная к выбранной части жидкости со стороны окружающей ее среды, определяется интегралом ~ а Таким образом, уравнение количества движения для выбранной части жидкости выражается в виде ~ — ' р Ит = ~ Р Мт+ ~ — ы Ыт, (3.2.1) где все трн интеграла берутся по жидкому объему т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
