Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Если границей жидкости служит твердое тело, движущееся поступательно со скоростью ч), то ааданная величина нормальной компоненты скорости на границе равна и 0 — п.(п, + н,), (2.7.8) где и — локальная единичная нормаль к поверхности тела. Безеихрееое соленоидальное течение вблизи критической точки В качестве простого примера распределения скорости, удовлетворяющего уравнениям (2.7.1), рассмотрим условия в окрест- Ч Этот ванечатечьнмй вывод еенован на математичеоком факте, ваключающемея етом, что в уравнения (2.7.!7 и (2.7.$> отноеитечьно Функций т и е входят производные только ло координатам и не входит явно время; любые гранлчные уеловня, которые определяют решения единственным образом. будут обязательно оодержа ь лвшь мгновенные аначенин величин. 142 2.7.
Распределенл1к скорости прн а = О н м = О ности точки О, где ч = О. Такая точка обычно называется критической н может возникнуть внутри жидкости или на ее границе. Потенциал скорости лс имеет конечные и непрерывные производные вблизи точки О, если только она не есть точка границы, в которой имеется геометрическая особенность; следовательно, функция сс может быть разложена в окрестности точки О в ряд Тейлора в прямоугольной системе координат с началом в точке О: 1 лР = лге+а;хл+ — „, а»хлхл+ О (г'), где г' = х;х„а тензор а» симметричен. Поскольку загсу = 0 в точке О, все коэффициенты а, обращаются в нуль, и поскольку лул~р = = 0 всюду, то аи = О. Таким образом, движение вблизи точки О оказывается чисто деформационным движением без изменения объема, характеризуется с точностью до малых порядка гг тензором скоростей деформаций а» и линейным распределением скорости и, = а»хр Из этого следует, что через точку О проходят три ортогональные прямые, параллельные главным осям тенэора асл на каждой из которых скорость параллельна этой прямой; к точке О подходят и от нее отходят по крайней мере по одной линии.
Линия тока, проходящан через точку О, в общем случае, очевидно, имеет три ортогональные ветви. Если воспользоваться осями, параллельными главным осям теизора аии и в качестве координат взять х, у, г, то получим соответствующие компоненты скорости (2.7.9) и = ат, и = Ьу, ил = — (а + Ь) г, где а и Ь вЂ” константы, связанные с полем течения, частью которого является окрестность точки О. Когда течение вблизи точки О либо двумерное, либо осесимметричное, его также можно описать с полющью функции тока ($2.2).
Очевидно, что в случае двумерного течении с осями, параллельными главным осям тензора скоростей деформаций в точке О, в ее окрестности лс= — й(ха — у ), ф=йху, 1 (2 7.10) где й — постоянная. Линии тока вблизи точки О представляют собой равнобочные гиперболы, каждая из которых имеет асими- тотами две ортогональные ветви линии тока, проходящей через точку О, как показано на рис. 2.7.2; эквипотеициальпые линии образуют идентичное и ортогональное семейство с асиллптоталли. наклоненными под углом 45' к осям координат. Подобным же 143 Гл. г, Кинематнна ноля течения Р н е.
злл. лкнан тока двгменного ееевнхневого еоленондального течення вблввн нрнтнчеекоа точки, Е = Мт. образом в осеснмметричном течении вблизи точки 0 в цилиндри чесмой системе координат (л, о, б) В этом случае каждая линия тока расположена в плоскости. проходящей через ось симметрии, и картина линий тока в каждой такой плоскости имеет такой же вцд, что и на рис. 2.7.2.
Полученные результаты применимы к критической точке на границе течения при условии, что в этой точке нет геолгетрической особенности; касательная плоскость к границе в точке 0 содержит две главные оси тензора скоростей деформаций аы в этой 7очке. Например, на рис.
2.7.2 оси л или у могут быть границей. С другой стороны, полученные результаты неприменимы, если критическая точка совпадает с точкой, в которой касательная к границе претерпевает разрыв, наприагер с вершиной конической или клиновидной границы. В таком случае некоторые ветви линии тока, проходящие через критическую точку, должны совпадать с границей и поэтому должны пересекаться с ней под угламп. определяемыми формой границы. 144 2,7, Рагпредедеиии скорости при А = О и ш = О Комплексный потенциал двумерного беввихревого солекоидального течения В частном случае двумерного поля, и только в этом случае, скорость ч удовлетворяет соотвошевиям такого вида, что можно изящно и аффективно использовать теорвю функций комплексного перемеввого.
Примеиевие этой теории к двумерному полю течения частного вида подробно рассматривается в гл. 6; здесь же мы просто остановимся ва освоввых математических соотвошевиях. Компоненты р„иу вектора ч в двух измерениях для безвихревого течения можно написать в виде — пр —— д«р дл ' " др ' С другой стороны, комповеиты солевоидальвого вектора ч в двух измерениях можно выразить через функцию тока ф (см. 2 2.2) д«Р д«Р п„= —, ир = — —. ду " дл Две скалярные функции «р (х, у) и ф (х, у) кеаависимо определяют безвихревой и солевоидальвый вектор ч и, очевидно, связаиы друг с другом соотяошевиями д«р д«Р др д«Р (2.7.12) дл ду ' др дл ' Два ураввеиия точно такой же формы, как и (2.7.12), хорошо известны в теории функций комплексного перемеииого как условия Коши — Римана для комплексной величины «р + 1«Р, являющейся функцией х и у такого специальвого вида, что опа зависит только от комбивации х + !у, причем и функция «р + 1«р имеет единственную производную по х + )у ').
В обычвой терминологии это означает, что соотношения (2.7.12) представляют собой необходимые и достаточные условия того. чтобы функция «р + )ф была аналитической (или регулярной) функцией комплексного аргумента г = х + !у в той области, в которой четыре частные производные из (2.7.12) конечны и непрерывны; тогда действительные функции «р и ф вазываются сопряженными*). Будем писать иг (г) = «р + )ф и называть фувкцвю иг(г) комплексным потенциалом течеиия, описываемого действительными функциями «р и «р. Непосредствев- «) Можно летно проверить, что, когда соотношение (2.7.!2) выповнныаон, отношение дийв)еренциела ауннции ч+!ч и диеееренциалу ьл+ «Ьр прн (ьл»+ьр»)х/в-»0 стрематсл н пределу, который не вавнсвт от Ьп/Ьл. в) По теории Еунвций номпленсного переменлрго см., например, Сораоп В.
т., тдсогу о1 Рппсиолв о1 а Сошр)ех Чаг!аые, Ох1огй, 103$ (е также Лаврентьев М. А., Шабат В. В., Методы теории Функций номпленсного переменного, «Наука», М., 1905.— Р«0.1 145 10 0872 Гл. 2. Ккквмвтикв поля твчвквя ное следствие такой связи с теорией функций комплексного переменного состоит в том, что любую аналитическую функцию з независимо от ее вида можно рассматривать как комплексный потенциал и как изображение некоторого возможного безвихревого соленоидального поля течения в двух измерениях. Более того„если 7 — аналитическая функция от з, то 17 — также аналитическая функция, так что по одной функции 7 можно построить два поля течения; для одного из них функции ф и ф приравниваются М Ц) и,7 (7) соответственно (где Я Щ и,7 ٠— действительная и мнимая части функцииД, а для другого — Щ) и Я(7) соответственно.
Некоторые другие свойства сопряженных функций ф и ф вытекают из соотношений (2.7.12). Как функция ф, так и функция ф удовлетворяют уравнению Лапласа — + — =О две две двф двф длв дув длв дул — + — =О. Так как (Щ) (Чф)= — — + — — =О, дф дф др дф дл дл ду ду то эквипотенциальные линии, на которых ф постоянна, в общем случае ортогональны линиям тока, на которых ф постоянна; этот вывод нарушается только в точке, где ~т~= О (как зто видно из примера на рис. 2.7.2).
Поскольку производная йа . дв — = 1(ш— ня о не зависит от направления дифференциала бз в плоскости (л, у), то для удобства можно считать, что предел берется по бз, параллельному оси л, и тогда — = — +1 — =гв — Ь . г др ..дф дв дл дл У' Выбирая теперь бз параллельным оси у (так что бз = 1бу), находим д 1 де Ч вЂ” = — — + — =и — 1и . дв ~ ду ду Если через и обозначить модуль вектора 1т), а через Π— угол между направлением вектора т и осью л, то выражение для йюЯг принимает вид — = и„— 1и„= ое-'е.
йо (2.7 13) Все эти соотношения используются далее в различных частных случаях. 146 2.8. Безвяхревое ооленондальное теченне в двуовязных областях 2.8. Беавихревое соленоидальное течение в двусвяэных областях пространства Когда область, занятая жидкостью, не односвяана, не все пары путей, соединяющих точки О и Р в жидкости, образуют стягиваемую замкнутую кривую; грубо говоря, один путь может обходить одну сторону границы, а второй — ее другую сторону.
В этих условиях можно показать, что криволинейный интеграл от вектора т (как и раньше, соленоидальной части общего поля скоростей безвихревого течения) по пути, соединяющему точки О и Р, может зависеть от выбора пути и этот интеграл может быть неоднозначным '). Результат о единственности решений, установленный в предыдущем параграфе, справедлив только в том случае, когда функция гр (х), определяемая криволинейным интегралом, однозначна; интересно рассмотреть, что происходит, когда функция гр может не быть однозначной. Сначала напомним, каким образом с топологической точки зрения классифицируются области пространства. В односвязной области пространства любые две точки можно соединить кривыми, целиком лежащими в области, и любые две такие кривые образуют стягиваемую замкнутую кривую.
В многосвяаной области все еще можно соединить любые две точки кривыми, целиком расположенными в области, но некоторые пары таких кривых образуют уже нестягиваемые замкнутые кривые. Порядок связности многосвязной области определяется числом различных перегородок в виде открытых поверхностей с граничными кривыми, целиком лежащими на границе многосвязной области, которые можно провести в ней без разделения ее на несвязные части; если можно ввести (п — 1) таких перегородок, область называется п-сеянной. Например, внешняя область тора дзусвязна, так как можно провести только одну перегородку (например, закрывающую «дырку» тора) без нарушения связности области.
Введение каждой перегородки создает новую область (для которой обе стороны перегородки служат частью ее границы), порядок связности которой на единицу меньше порядка свяаности исходной области. Порядок связности можно также определить числом попарно несовмещаемых замкнутых кривых, которые можно провести в области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
