Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Если теперь предположить, что е — ~ О, а интеграл ~ ю Ых„остается постоянным и равным вектору Г, то приходим к понятию вихревой пелены, характеризуемой (локально) параметром Г. Интенсивность вихревой трубки, которая заключает в себе узкую полоску пелены, параллельной вектору Г, равна Г = ~ Г ( на единицу ширины полоски, и величину Г можно назвать интенсивностью (вихревой плотностью) пелены. Если завихренность равна нулю всюду, за исключением заданной вихревой пелены, то распределение скорости (2А.11), связанное с этой завихренностью, имеет вид "'(х)= г ~ з аА(х'), (2.6.8) где в = х — х', как и раньше, а интеграл берется по площади пелены.

В простои частном случае одиночной плоской вихревой пелены, на которой вектор Г постоянен, имеем пл (х) =. — х ~ — аА (х') = 4 1' х ~ — з п аА (х') =- —. Г х и, (2.6.9) где и — единичная нормаль к пелене, направленная в ту сторону, с которой находится точка х. Следовательно, скорость жидкости, вызванная вихревой пеленой, постоянна, имеет противоположные знаки по обе стороны от пелены, равна по величине (1,~2)Г и направлена параллельно пелене и перпендикулярно вектору Г.

Этот результат можно также получить с точностью до числового коэффициента, исходя из того, что данным распределением завихоенности не предусматривается никакой масштаб 33 Гл. 2. Кинематика полн течения Р и е. 2.6.3. К раечету еоленоидального распределения окороети в течении, ооадаеаемом цилиндричеекой вяхревой пеленой, длины и что параметр Г, определяющий постоянную интенсиввость пелены, имеет размерность скорости.

Аналогичный вывод справедлив для вихревой пелены в виде цилиндра произвольного поперечного сечения, интенсивность Г которого постоянна, а вектор Г направлен всюду под прямым углом к образующим цилиндра (так что все вихревые линии представляют собой одинаковые плоские кривые, обходящие вокруг цилиндра). Интеграл (2.6.8) преобразуется к виду В п„(х) = — — ) $ Йп (х ), — О где бт (х') — элемент длины образующей и 6! (х') — векторный элемент длины вихревой линии в точке х .

Компонента вектора з, параллельная образующим, не дает результирующего слагаемого в величину интеграла по переменной яв (ввиду нечетности подинтегрального выражения), поэтому ~ рх й(д') и, (х) = — — у 2л 'З) ра г где р — проекция вектора в на плоскость поперечного сечения цилиндра (рис. 2.6.3), а ~ р Х 61 ргрв — угол, стягиваемый в точке х элементом 61 в плоскости поперечного сечения, и поэтому очевидно, что в любой точке х внутри цилиндра вектор скорости и, параллелен образующим и имеет одинаковую величину Г, в то время как в любой точке х вне цилиндра вектор скорости п„равен нулю 2).

Таким образом, вихревая пелена постоянной интенсивно- г) Имеегоя хороща яавеетиый еоответетвующий реаультат алектромагнатной теории, состоящий в том, что магнитное поле, ооапаваемое поетоянным тоном, внутри идеального ооленоида (длинной проволоки в форме тесно овериутой опйрали) коетояннс и параллельно оеи еоленояда, а вне еоленояда равно нулю. 2.6. Распрейелеыэе аааихрейкоств д с Р д с. 2.СЛ. Малый еаеыент неоднОродной еддрееей дедены. сти снова разделяет две области, в каждой из которых связанная с ней скорость постоянна.

В этих двух случаях, в которых интенсивность вихрей постоянна, видно, что на пелене происходит разрыв компоненты скорости и„ параллельной пелене и перпендикулярной вектору Г, причем величина разрыва равна Г. Мол<но показать, что это справедливо для любой вихревой пелены, даже если интенсивность Г не постоянна, причем тогда соотношение между вектором Г и скачком скорости будет локальным. Рассмотрим циркуляцию по контуру в виде малого прямоугольника с двумя противоположными сторонами АВ и СВ, которые расположены по обе стороны от вихревой пелены, параллельны пелене и перпендикулярны вектору Г (рис.

2.6А). Можно предположить, что вихревая пелена плоская и вектор Г приближенно постоянен на отрезке, отсекаемом прямоугольником на пелене, а вектор скорости п„также постоянен на прямоугольнике по каждую сторону пелены, где распределение взвихренности имеет особенность. Тогда добавок к величине контурного интеграла $ и, еех на отрезке ЕА взаимно уничтожается с соответствующим добавком, возникающим на отрезке ВР (с ошибкой второго порядка малости относительно линейных размеров прямоугольника), а добавок от отрезка РС взаимно уничтожается с добавком на отрезке ВЕ, так что общее соотношение (2.6.2) дает в и ) и, Нх--' ,~ пе.

Их —. Г Х ЕР. й с Такны образом, компонента и, вектора скорости, параллельная пелене и перпендикулярная Г, при переходе через пелену претерпевает разрыв, величина которого равна Г. Такое же рассуждение для прямоугольника со сторонами АВ и СВ, параллельными вектору Г, показывает, что компонента вектора скорости и„ параллельная вектору циркуляции Г, не претерпевает разрыва; не может быть также разрыва компоненты вектора скорости п„ нормальной к пелене, ввиду требования Ч и„= О. Поэтому скачок скорости п„возникающий при переходе через пелену в направлении нормали и, можно записать как (и,) =Г Хп.

435 Гл. 2. Кинематика поля течения Таким образом, локальный скачок скорости и„будет таким же, как если бы вся пелена была плоской с постоянной интенсивностью вихрей, равной ее локальному значению Г. Когда пелена плоская и интенсивность вихрей постоянна, вектор скорости н, просто изменяет направление прн переходе через пелену, однако в общем случае это не справедливо. 2.7, Распределения скорости при нулевой завихрениости и нулевой скорости расширения Было показано, что заданным значениям скорости расширения Ь и завихренпости ю во всех точках жидкости отвечает распределение скорости (2.4.13).

Слагаемые и, и пч в (2.4.13) получены по известным распределениям Ь и ю соответственно, а последнее слагаемое т осталось неопределенным. Цель этого параграфа состоит в том, чтобы изучить поле скорости ч, определяемое уравнением (2.4 14), т. е. ~т.т =О, 17 Х ч =О. (2.7.1) Скорость и эффективно несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению С7 и = О, поэтому уравнения (2.7 1) выполняются не только для функции т — одной из трех слагаемых скорости жидкости при заданных скорости расширения и завихренности, но и для фактической скорости несжимаемой жидкости, в которой по каким-либо причинам завихренность равна нулю. В дальнейшем мы убедимся, что большинство жидкостей в широком диапазоне условий течения ведут себя так, как будто онн близки к несжимаемым (з 3.6), а также, что поля течения жидкости, обладающие на первый взгляд очень ограничивающим свойством нулевой завихренности на протяжении больших частей поля, по динамическим причинам оказываются довольно распространенными (гл.

5). Поэтому изучение безвихревых солеяоидалънмх вектаорнмх полей имеет в механике жидкости большое практическое значение. Кроме того, простота уравнений (2.7.1) дает возможность нх всестороннего математического изучения и применения к ним мощных аналитических методов. Различные безвнхревые поля течения, в которых скорость жидкости представляет собой безвихревой и,соленоидальный вектор, будут подробно рассматриваться в гл. 6, здесь же нам желательно установить некоторые более общие результаты, касающиеся векторной функции т, удовлетворяющей уравнениям (2.7.1) (для удобства изложения будем называть ее скоростью, даже если она может быть только одним из трех слагаемых реальной скорости жидкости).

В жидкости, в которой мгновенное распределение скорости определяется искомым вектором т (х), жидкие элементы подвер 136 2.7. Распределеиия скорости при Л = О и то = О гаются поступательному смещению и чисто деформационному движению беа изменения объема и без вращения. Поскольку вихрь ту Х ч равен нулю во всех точках жидкости, то из теоремы Стокса (2.7.21 для любых стягнваемых замкнутых кривых, лежащих внутри жидкости, так как всегда можно найти открытую поверхность, ограниченную какой-либо стягиваемой кривой и расположенную целиком в кидкости. Если через О и Р обозначить две точки связной области жидкости, а через С, и Сз — две различные кривые, соединяющие точки О и Р таким образом, чтобы они вместе образовывали стягиваемую замкнутую кривую, целиком расположенную в жидкости, то из (2.7.2) следует Криволинейный интеграл от векторной функции ч по кривой, соединяющей точки О и Р и лежащей внутри жидкости, имеет, следовательно, одно и то же значение для множества путей, любые два из которых образуют стягиваемую замкнутую кривую, и зависит только от координат хс и х точек О и Р соответственно.

Поэтому можно определить функцию ср (х), такую, что Ф(х) ='р(хо) т- ч с(х (2.7.3) Интеграл берется по одному из упомянутых выше путей. Вектор градиента функции ~р (х) находится путем варьирования положения точки Р, что дает 'чтр (х) = т (х). Функция ш (х) вызывается потенциалом скороопи для поля вектора т (хотя не составляет труда интерпретировать ср как некоторую потенциальную энергию). Обычно координата хо остается неопределенной, поскольку разность между значениями функции ~р, соответствующими двум различным выбранным значениям хо, не зависит от координаты х и поэтому не оказывает влияния на величину градиента т7~р (х). Укажем попутно обращение результата, выражаемого равенством (2.7.2), поскольку оно пригодится нам пози е при обсуждении динамических уравнений движения жидкости с малой вязкостью: если циркуляция в поле скорости ч по любым стягиваемым замкнутым кривым, проведенным в жидкости, равна нулю, то ч х ч =..

0 всюду внутри этой области. Это следует из того факта, 137 Гл. 2. Кинематика поля течения что в атом случае для всех точек Р внутри области может быть определена функция (р (2.7.3) и тогда скорость у имеет вид (2.7.4) для безвихревого течения. Иначе на основании теоремы Стокса можно утверждать, что для любых открытых поверхностей А, расположенных в жидкости и ограниченных стягиваемыми кривыми, должно быть 1 (Ч х у).п,(А=- О; если подинтегральное выражение есть непрерывная функция от х, это возможно только тогда, когда равенство т7 Х у=О выполняется для всех точек области.

Введение функции (р посредством (2.7.4) приводит к тому, что уравнение»уг Х у = О удовлетворяется тождественно, а три неизвестные скалярные компоненты вектора у определяются тем самым единственной скалярной функцией ((). Тогда, согласно первому иа условий (2.7А), во всей жидкости должно выполняться уравнение ~7'р =О. (2.7.5) Это уравнение относительно функции (р известно как уравнение Лапласа; оно встречается во многих разделах математической физики, и для функций, удовлетворяющих этому уравнению (часто называемых гармоническими), получено много общих результатов. Заслуживает упоминания линейность уравнения, объясняющая относительную простоту анализа безвихревого соленоидального течения; иаменение распределения скоростей в жидкости во времени в общем случае описывается нелинейными динамическими уравнениями (гл.

Характеристики

Список файлов книги