Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Соответствующее выражение для скорости и, есть ') пе(х) = 4 »( Л ))Ув ( ) с)у (х') = 4 ~ а Л')Л (х'). (2.4.5) Скорость и, в точке х можно формально рассматривать как сумму слагаемых от различных элементов объема жидкости; так, от элемента объема 6)г в точке х' соответствующее слагаемое равно 6п,( )= 4 в Л'6)г(д') (2.4,6) ') см, джеффрис Г. д., свпрлс Б., методы математической фиалки, амиры и., 1969, т. 1, гл.
6. *) Там, где имеется неясность отиасятелька вектора, по атиошеиию к которому примы ияегся диффереициааьиый оператор Ч, как в случае величины а П)в), оя отмечается впдексоы. В случае применения оператора а талька к функции с имшм а„= — ава 420 Это просто безвихревое распределение скоростей в бесконечной жидкости, которое согласуется с ее объемным потоком Ь'бтг(х') через все замкнутые поверхности, содержащие точку х'. Поле скоростей (2.4.6) имеет нулевую скорость объемного расширения всюду, за исключением внутренней части элемента объема бр'(х'), содержащего точку х', где скорость расширения равна Л'; итак, поле скоростей (2.4.5) имеет всюду заданную скорость объемного расширения.
Можно сказать, что каждый элемент объема 6)г (х') действует как объемный источник в жидкости (в которой других механизмов расширения нет), причем скорость образования жидкости в объеме (интенсивность источника) равна Ь (х') 6'г' (х'). Предположим теперь, что известно распределение завихреквости 1» (причем всюду )тт оу .= О), и определим возможную скорость, скажем и„, такую, чтобы было \у х п„=е) (2.4 7) 2.4. Распределенно скоростей прн заданных Ь н в также не касаясь свойств и,. В данном случае естественно положить п„=~у х В„ (2.4.8) и тогда для векторного потенциала В, получается уравнение ~7 х (~7 х В„) = ту (1У В,) — т~'В„=- оь (2.4.9) Если окажется, что ч В, =- 0 всюду, то относительно В, получается уравнение ~ИВ„= — ю, решение которого В,(х) =- — ~ — с5'(х ), (2.4ЛО) где интеграл, как и прежде, берется по объему, занятому жидкостью. Проверим теперь это решение, чтобы убедиться, действительно ли оно удовлетворяет уравнению 1г ° В„= О.
Имеем = — — ] 17 "~ — ) ЫУ(х )=. — — ~ — 'ЫА(х') ) х' 4н .) г где интеграл берется по всей границе жидкости. Этот интеграл но поверхности обращается в нуль, когда заданная завихренность имеет нулевую нормалыаую компоненту в каждой точке границы; так будет, в частности, в случае внешней границы жидкости, которая простирается в бесконечность в любом направлении и находится там в состоянии покоя. Когда ю и чь 0 в некоторых точках границы жидкости, можно мысленно представить себе, что жидкость и распределение завихренности в ней простираются за пределы действительной границы и что завихренность распределена там таким образом, чтобы создать новую область жидкости с новой границей, на которой ю п =- О.
Тогда все те линии, касательные к которым всюду параллельны вектору ю, оказываются замкнутыми и ни одна из них не оканчивается на новой границе. Имеется много способов, с помощью которых распределение завихренности можно продолжить через заданную границу, поскольку задача отыскания соленоидального вектора ю, такого, что произведение се и на границе рассматриваемой области принимает заданные значения, недоопределена, но в данный момент выбор конкретного способа несуществен, так как при любом выборе скорости и, в соответствии с равенствами (2.4.8) и (2.4.10) имеем заданную завихренность но всех точках действительной жидкости. (В качестве одного из возможных способов можно принять ~ х ю = 0 в области продолнсения; в этом случае определение вентора ю сводится к задаче, рассматриваемой в з 2.7.) 121 Га. 2. Кииеиатниа неля течения Принимая, что интеграл по объему в правой части равенства (2.4,10) (и (2.4.11) ниже) берется по всей расширенной области в тех случаях, когда ю и Ф 0 на реальной границе жидкости, иэ равенств (2.4.8) и (2.4.10) получаем 4л ~ че'" ( ) ~1~ (х ) 4л ~ » ЫУ(х').
(2.4.11) Скорость и, можно формально рассматривать как сумму слагаемых от различных элементов объема жидкости; так, слагаемое от элемента б »'(х') равно а х «е'6$' (х') и» =— 4л»а Завихренность не может быть постоянной и отличной от нуля внутри элемента объема и равной нулю в окружающей его жидкости, поскольку такое распределение вектора ю не будет иметь нулевую дивергенцию, так что выражение (2.4.12) в отличие от (2.4.6) дает распределение скоростей, которое само по себе не может существовать. Существует аналогия между выражением (2.4.11) и формулой электромагнитной теории, которая связывает стационарное объемное распределение электрического тока (вместо ю там выступает плотность тока) и возникающее под его влиянием магнитное поле. Можно сказать, что подобно тому, как электрический ток порождает в рассматриваемой области пространства магнитное поле (определяемое выражением вида (2.4.11)), так и завихренность порождает распределение скоростей (2.4.11) в окружающей ее жидкости.
Термин «порождает» (иногда он заменяется термином «индуцирует») не означает в данном случае наличие механической причины или аффекта; строго говоря, он означает, что выражение (2.4,11) определяет скорость соленоидального течения, ротор которой имеет всюду вполне определенное аначение и которая вследствие этого связана с заданным распределением завихренности.
Вывод заключается в том, что если и — скорость поля, совместимого с заданными значениями дивергенции Ь и завихренности а» в любой точке жидкости, то разность скоростей и — и, — и„ где и, и п„определены формулами (2.4.5) и (2.4.11), будет соленоидальным и безвихревым вектором.
Таким образом, можно записать и =- и, + и, + ч, (2.4.13) где т — вектор, удовлетворяющий двум векторным уравнениям Чч=-О, »ухе=О (2.4.14) в любой точке жидкости. Позже будет показано (4 2.7), что вектор ч определяется условиями, которые должны быть выполнены на границе жидкости. 122 2.5. Особенности скорости реппиренин. Источники н стоки 2.5. Особенности скорости расширения. Источники и стоки Ш ш з <р,= — —, п,(х) =- —— 4ле ' ' 4л Ф (2.5.2) Величина т называется интенсивностью источника (или стока, если т отрицательно) и равна полному объемному потоку жидкости через любую замкнутую поверхность, окружающую точку х'.
Понятие точечного источника имеет некоторое значение для непосредственного изучения полей течения реальной жидкости, хотя ценность его ограниченна, поскольку пики в распределении величины Л редко вызываются динамическими эффектами внутри жидкости. Когда все же нечто похожее на точечный источник возникает, это обычно бывает прямым следствием некоторого внешнего воздействия. Например, труба малого диаметра, всасывающая жидкость, порождает течение, сходное с течением точечного стока на конце трубы (рис. 2.5.$); течение с одной стороне твердой плоскости с малым отверстием, через которое жидкость всасы- 123 В этом параграфе мы рассмотрим поле скоростей безвихревого течения п,(х). которое определяется уравнениями (2.4.3) и выражением (2.4.4) и связано с распределением скорости объемного расширения, содержащим различного рода особенности. Основной тип особенности представляет собой просто изолированный «пик» величины Ь в данной точке жидкости.
Предположим, что Л принимает большое значение в некотором малом объеме е, содержащем внутри точку х', и равна нулю всюду вне его (если бы она не была равна нулю всюду вне этого малого объема, то к величине и, нун но было бы добавить дополнительное слагаемое в виде линейной функции, согласно выражению (2.4.5)). Поскольку теперь ненулевые значения Л сконцентрированы вблизи точки х', выражение (2.4.5) запишется так: и. (х) = 4 —, ~ Л" Л'(х"), (2.5.1) где, как и раньше, э = х — х'. В рассматриваемом случае имеет значение только интеграл по объему от величины Л, а другие подробности ее распределения вблизи точки х' не оказывают никакого влияния на скорость и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
