Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(2Л.2) (Ускорение, конечно, весьма просто можно выразить, используя лагранжево представление поля течения; если т — скорость некоторого определенного элемента жидкости, то его ускорение равно дт/дп) Аналогичные рассуждения можно применить к любой другой динамической нли фиаической величине (обозначим ее, например, О), которая определяется как функция х н г и характеризует определенное свойство жидкости в точке х в момент времени ц величина О может быть скалярам, таким, как локальная плотность или температура жидкости, или вектором, таким, как угловая скорость вращения частицы жидкости. Производная дб/дг представляет собой локальную скорость изменения, возникающую в результате временнйх иаменений в точке х; для того чтобы найти скорость изменения О для элемента жидкости, нужно добавить конвективную скорость изменения п ЧО, обусловленную переносом этого элемента в другое положение.
Удобно ввести обозначение и = ее+ "~ (2.1.3) такое, что, например, ускорение элемента жидкости можно записать в виде Вп~/Рп Оператор //Фг' имеет смысл только в том слу- 105 Гл. З. Кнненатннн полн течение чае, когда он применен к полю переменной величины (т. е. к функции от х и Г), и говорят, что он дает производную по времени, следящую за движением жидкости, нли субстанциональную (полную) производную. Этот оператор часто появляется в дифференциальных уравнениях, выражающих законы сохранения, первым примером которых служит закон сохранения массы жидкости ($2.2).
Если форма жидкой поверхности определяется уравнением ег (х, з) = сопз1, где г' — величина, инварнантная для частицы жидкости на этой поверхности, то ~~ =О. (2.1.4) В частности, уравнение любой поверхности, ограничивающей жидкость, должно удовлетворять уравнению (2.1.4), 2.2. Сохранение массы 1 1 Ф + 7 (Ри)1 д'=О.
(2.2.1) 106 Требование о сохранении массы жидкости налагает определенные ограничения на поле скоростей, и, хотя эти ограничения нельая считать строго кинематическими, удобно рассмотреть их уже на данном этапе. Иногда течение бывает таким, что можно сразу обнаружить следствия из закона сохранения массы, как, например, в сфернчески симметричном или по существу одномерном течении, но во многих случаях необходимо использовать этот закон в виде дифференциального уравнения. Рассмотрим замкнутую поверхность А, которая фиксирована относительно осей координат и охватывает объем жидкости Р. Если р — плотность нпщкости в точке х и в момент С то масса к;идкости, содержащаяся внутри замкнутой поверхности в любой момент времени, равна ~ рд)Г; результирующий расход массы жидкости, которая вытекает из замкнутого объема через поверхность, равен ) рп и ИА, где бг и 6А — соответственно элемент замкнутого объема и элемент площади поверхности А, причем через и обозначена единичная внешняя нормаль к этому элементу поверхности.
Условие сохранения массы жидкости требует, чтобы выполнялось равенство е à — ~ р Д~ = — ~ рв.п оА, которое после дифференцирования под знаком интеграла (учитывая, что объем У фиксирован в пространстве) н преобразования интеграла по поверхности можно записать в виде 2.2. Сохранение массы Это соотношение справедливо при любом выборе объема г', если только он находится целиком в жидкости, поэтому подинтегральное выражение, если оно является непрерывной функцией х, всюду в жидкости должно тождественно обращаться в нуль. Следовательно, —,", +Ч (р ) = 0 (2.2.2) во всех точках жидкости, если левая часть равенства является непрерывной функцией координат. Это последнее ограничение не имеет большого значения, поскольку разрывы плотности р или скорости в будут встречаться в нашем анализе только в изолированных точках, на линиях или ва поверхностях; следовательно, уравнение (2.2.2) справедливо всюду в жидкости, за исключением, возможно, этих точек, линий или поверхностей.
Уравнение сохранения массы (2.2.2) — одно из фундаментальных уравнений механики жидкости. В течение многих лет оно без особых к тому оснований называется уравнением неразрывности. Другая форма этого уравнения получается путем раскрытия члена с дивергенцией и использования обозначения (2.1.3) для субстанциональной производной ))р — — + "7 в=0, р ))) (2.2.3) В этой форме уравнение можно интерпретировать применительно к объему т данной массы жидкости. Величина т изменяется в результате движения каждого элемента пбЯ граничной жидкой поверхности (где и — вектор внешней нормали) ') и согласно формуле Остроградского †Гаус — в ° и ИЯ.--- ~7 ° и Ыт. ш Следовательно, скорость, с которой изменяется объем элемента жидкости х) в точке х, отнесенная к величине этого объема, равна 1 Вт . 1 Г 1нв — — = 1ип — ~ уг и Ыт .— — )7 в. т-«О т В) т. О Эта относительная скорость изменения называется локальной снорссшью объемного расширении или дивергенцией и будет иногда обозначаться одним символом Л.
Тогда уравнение сохранения массы в виде (2.2.3), очевидно, эквивалентно утверждению, что относительные скорости изменения плотности и объема жидкого 107 ') Для того чтобы отличать геометрические и жипяие зтементы, в дальнейшем по возможности веаде через ОУ, вбя, бх обозначаются элементы абьема, поверхности, липин, фиксированные в пространстве, а через От, иба, б) — алементы жядкого объема, жидкой поверхности и жидкой линна, которые движутся вместе с жидкостью.
') Здесь и далее используется термин «злемент», чтобы подчеркнуть его бесконечно малый размер и )обычно) переход к пределу т -» О. Гл. 2. Кинематика паля течвиия элемента равны по величине и противоположны по знаку; это утверждение, очевидно, могло служить исходным при выводе уравнения сохранения массы. Жидкость называется несжимаемой, если плотность элемента жидкости остается неизменной под влиянием изменений давления. В дальнейшем мы убедимся, что изменения давления в некоторых обычных полях течений составляют столь малую долю абсолютного давления, что даже газы можно рассматривать как почти несжимаемую жидкость. Кроме того, плотность элемента жидкости может изменяться вследствие молекулярного переноса тепла (или, реже, растворенного вещества); однако условия, при которых влияние теплопроводности в жидкости пренебрежимо мало, являются общими, и утверждение о том, что жидкость по существу несжимаема, обычно означает при отсутствии какого-нибудь явного ограничения, свяаанного с твплопроводностью, что плотность каждого элемента жидкости остается постоянной (см.
з 3.6). Следовательно, для несжимаемой жидкости скорость изменения плотности по направлению движения равна нулю, т. е. — =О. пр И (2.2.4) Поэтому уравнение сохранения массы приобретает простую форму ту.и = О. (2.2.5) Использование амуниции тока для удовлетворения уравнения сохранения массы В случаях течения несжимаемой жидкости и установившегося течения сжимаемой жидкости уравнение сохранения массы (2.2.2) сводится к утверждению, что дивергенция некоторого вектора равна нулю, а именно равны нулю дивергенции векторов и или рп. Если наложить дополнительное ограничение, состоящее в том, что поле течения двумерное илн осесимметричное, то дивергенция вектора представляет собой сумму только двух производных, и тогда можно считать, что уравнение сохранения массы определяет скалярную функцию, из которой путем дифференцирования получаются компоненты векторов и или рп.
Здесь мы рассмотрим только несжимаемую жидкость. 108 В этом случае относительная скорость объемного расширения всюду равна нулю, и, как показано в курсах векторного анализа, трубка тока не может заканчиваться внутри жидкости; она должна быть или замкнутой, или оканчиваться на границе жидкости, нли уходить в бесконечность. Вектор и, имеющий нулевую дивергенцию, называется соленоидальным. 2.2. Сохранение массы земкмй пасюк Р р и с, 2.2л.
к расчету объемного потока жидкости через кривую, соединяющую точку отсчета О и точку Р с координатами 1х, у). Предположим сначала, что движение двумерное, так что вектор и = (и, и, О) и его компоненты и и и не зависят от з. Тогда из уравнения сохранения массы для несжимаемой жидкости (2.2.6) следует, что выражение (ибу — рбх) есть полный дифференциал, равный, например, 6тр.
Следовательно, в= —, у=-— дзр ду ' дх ' и неизвестная скалярная функция т(з (х, у, г) определяется квадратурой ф — Фо= ~ (иФ вЂ” Р~ ), (2.2.8) где т(зо — постоянная, а криволинейный интеграл берется вдоль произвольной кривой, соединяющей некоторую исходную точку О н любую точку Р с координатами х, у. Таким образом, мы использовали уравнение сохранения массы для замены двух зависимых переменных и, и одной зависимой переменной тр, что дает весьма ценное упрощение во многих случаях двумерного течения.
Представляет интерес н физический смысл приведенного выше рассуждения. Объемный поток жидкости через кривую, которая соединяет точки 0 и Р в плоскости (х, у), в точности определяется правой частью выражения (2.2.8) (см. рис. 2.2.1). (Под объемным потоком подразумевается поток череа незамкнутую поверхность, образующуюся путем параллельного перемещения этой кривой на единицу высоты вдоль оси 2, причем поток считается положительным, если относительно точки Р он направлен против часовой стрелки.) Итак, объемный поток через аамкнутую кривую, состоящую нз любых двух несовпадающих путей интегрирования от точки О до точки Р, обязательно равен нулю, если область, заключенная между ними, полностью занята несжимаемой жидкостью.
Поэтому поток несжимаемой жидкости, определяемый 109 Гл. 2. Кинематика поля течения интегралом (2.2.8), не зависит от выбора пути, соединяющего точки О и Р, и поэтому он определяет некоторую функцию координат точки Р, которая уже записана в виде разности (ф — фэ). Поскольку поток через любую кривую, соединяющую две точки, равен разности аначений функции ~> в этих точках, то функция ф вдоль линии тока постоянна; зто также следует из соотношений (2.2.7) и соотношений (2.1.1), определяющих линии тока. Функция ф называется функцией тока, и она (в случае двумерного течения) была введена Лагранжем.
Функцию ~р можно также рассматривать как единственную ненулевую компоненту векторного потенциала для и (аналогичного векторному потенциалу магнитной индукции в теории электромагнитного поля, который также является соленоидальным вектором), поскольку (2.2.7) можно написать в виде и = ~ Х В, В = (О, О, ф). (2.2.9) В механике жидкости общепринято изображать картину поля течения посредством рааличных линий тока, и если эти линии выбраны так, что два значения ф для каждой пары соседних линий тока отличаются на одинаковую величину, например е, то легко можно заметить закон, по которому величина скорости д и ее направление изменяются по всему полю, поскольку 7 прямо пропорциональна е н обратно пропорциональна расстоянию между соседними линиями тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
