Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В этом случае эавихренность не аависит от х и представляется в виде ауа с ю(р) =сос ехр ( — — ], 2» )' (5.2 ЛЗ) что соответствует вихревой пелене, распределенной в слое толщи- ной порядка (ч/а)с1а. Упражнение Вихревые линии осесимметричиого устапоаиишегося поля течения суть аиитоаме ливии с осью х, а фуикцвя тока для даижепяя в осевой плоскости имеет аид ф= хату (ас).
Определите липни тока а осевой и аэимутальиой плоскостях для вихря, определяемого функцией Г (о) =- ссссс— — бт($ — е оо дат~)/ос, где сс — положительиая коистаата (саллиаав ($999)). Отметим, что некоторые вихревые линни здесь сжимаются. 5.3. Теорема Кельвииа о циркуляции и законы распространения завихреюгости для невязкой жидкости Поскольку существуют условия, для которых движение жидкости при больших числах Рейнольдса аппроксимируется движением невязкой жидкости, полезно обсудить результаты предыдущего параграфа в случае т = О. Некоторые из них становятся крайне простыми и сильными. Для начала из (5.2.7) получим — =О Ж(С) Ф (5.ЗЛ) 345 т. е. в невязкой жидкости циркуляция по любому замкнутому жидкому контуру инвариантна. Это теорелса Кельеина о циркуляции (Кельвин ((869)); она выведена здесь для невязкой несжи- Гл.
э, Течение прк большом числе Рейкольдса; эффекты вяэкостк маемой жидкости постоянной плотности, находящейся под действием удельной массовой силы, которую можно записать в виде градиента однозначной скалярной функции координат. Уравнение для эавихренности (5.2.2) записывается теперь короче: йээ — =ш т7п. И (5.3.2) В случае стягиваемой аамкнутой жидкой кривой, которая ограничивает жидкую поверхность Я, лежащую в жидкости, уравнение (5.3.1) эквивалентно такому: —, ~ ш.дБ=О. (5.3.3) 346 Следовательно, поток эавихренности через жидкую поверхность инвариантен. Это означает, что вихревые трубки остаются в некотором смысле неиэменными; приводимые ниже соображения подтверждают этот вывод. Рассмотрим жидкую трубку, которая в начальный момент совпадает с вихревой трубкой произвольного поперечного сечения.
Первоначально вихревые линии не пересекают поверхность трубки, и циркуляция по любому эамкнутому контуру, лежащему на поверхности трубки и охватывающему ее р раэ, равна проиэведению р на напряженность вихревой трубки. Если теперь такие замкнутые контуры считать жидкими, то, согласно теореме Кель- вина о циркуляции, циркуляция по каждому иэ них будет оставаться постоянной. В частности, циркуляция по всем тем вамкнутым жидким контурам, которые имеют малые линейные размеры и в начальный момент лежат на вихревой трубке, не охватывая ее, остается равной нулю.
Это означает, что поток эавихренности через любую поверхность, ограниченную одним иэ этих малых замкнутых контуров, остается нулевым, а это возможно только тогда, когда эти жидкие замкнутые контуры продолжают находиться на поверхности вихревой трубки, не охватывая ее.
Кроме того, в силу инвариантности циркуляции по тем иэ жидких контуров, которые вначале охватывали вихревую трубку, следует, что напряженность вихревой трубки, определяемая по всем этим контурам, инвариантна. Таким образом, вихревая трубка, заданная в начальный момент системой вихревых линий, пересекающих некоторый замкнутый контур в жидкости, во время движения будет состоять иэ одних и тех же частиц жидкости. Мы можем утверждать, что в невяэкой жидкости постоянной плотности вихревые трубки движутся вместе с жидкостью и ил напряженность остается постоянной.
Это утверждение подытоживает очень важные теоремы о эавихренности, впервые сформулированные Гельмгольцем (1858). З.З. Теорема Кввьввва в ваксам расврсстраввввв заввхрвввсств Если поперечное сечение вихревой трубки стягивается в точку, то в пределе получается вихревая линия. Приведенные выше результаты показывают, что жидкая линия, совпадавшая в начальный момент с вихревой, совпадает с ней и в дальнейшем. Таким обрааом, для удобства можно считать, что вихревые линии состоят из одних и тех же частиц и движутся вместе с жидкостью. (В случае вязкой жидкости можно, конечно, нарисовать картину вихревых линий в любой момент времени, но не существует способа для идентификации отдельных вихревых линий в различные моменты времени.) Тот факт, что напряженность вихревой трубки малого поперечного сечения остается постоянной при ее движении вместе с жидкостью, справедлив также и для вихревой линии.
Действительно, если жидкая линия, совпадающая с вихревой линией, растягивается, то малое поперечное сечение соответствующей вихревой трубки должно уменьшиться в соответствии с законом сохранения массы и величина завихренности должна увеличиться. Ясно, что длина элемента жидкой линии, совпадающей с вихревой линией, и локальное значение завихренности остаюшсл в постоянном отношении: обе эти величины обратно пропорциональны бесконечно малой площади поперечного сечения соответствующей вихревой трубки. Таким обрааом, независимо показано, что направление и величина аавихренности в» жидкого элемента иаменяются во времени точно так же, как направление и величина вектора б1, представляющего элемент жидкой линии, который в некоторый начальный момент времени, скажем га, был параллелен вектору локальной завихренности.
Следовательно, для аавихренности жидкого элемента мы имеем соотношение е (г) б! (с) (5,3.4) )м(~а)! )б)цо)! из вывода соотношения (5.3.4) ясно, что оно становится точным при ! 51(га)! -~ О. Очевидно, было бы ааманчиво интерпретировать некоторые из полученных выше результатов как следствие закона сохранения момента количества движения жидкости, ааключенной в вихревой трубке. Такая интерпретация возможна в том случае, когда вихревая трубка имеет малое круговое поперечное сечение; оно будет оставаться круговым при движении, поскольку (невязкие) напряжения на границе вихревой трубки не образуют пары сил, действующей на жидкость внутри вихревой трубки.
При более общих условиях напряженность вихревой трубки не просто пропорциональна моменту количества движения жидкости на единицу длины трубки: она свяаана с полученными выше результатами, а не с законом сохранения момента количества движения. Данные результаты настолько общие, что имеет смысл показать их применимость к сжимаемой жидкости. Если ограничиться Гл.
б. Течевке лрв большом числе Реккольдса; эффекты влэкостк рассмотрением гомоэнтропических течений ($3.4), то можно показать, что влияние сжвыаемости на законы вихревого движения невязкой жидкости мало. В гомоэатропическом поле течения плотность жидкости в любой точке аависат только от (абсолютного) давления, и мы можем, следовательно, записать — чр=ч ( Г~ — бр). Если не учитывать вязкость и считать массовую силу г заданной в форме градиента г' = — ЧЧ', то уравнение движения примет следующий вид: (5.3.5) с)о Ч(чт+) ( 1 ) Используя уравнение сохранения массы, находим . (,) (,)' (5.3.6) Уравнение (5.3.3) для потока взвихренности остается неизменным; дело в том, что влияние сжимаемости на скорости изменения е и 68 компенсируют друг друга.
Отсюда следует, что вихревые линни движутся вместе с жидкостью, а изменения завихренности жидкого элемента тесно связаны с изменениями линейного элемента 61, который в начальный момент локально параллелен вектору эавихренности е. Ясно также, что соотношению (5.3.4) в данном случае соответствует (е/р)с 61 (т) (5.3.7) 1е/Р(г 161(то)1 ' Мы можем получить теперь соотношения (5.3.4) и (5.3.7) в лагранжевой форме.
Заметим для этого, что, если а и х (а, г) суть радиусы-векторы одного из концов элемента 61 в моменты времени оо и о соответственно, то отношение 61(()/161(оо)! равно производной вектора х по а в направлении элемента 61(го). Таким образом, мы получаем чисто геометрическое соотношение б! (т) ео (со) дх (5.3.8) 161 (оо)1 1е(оо)1 доо ' 348 Вывод соотношения (5.3.1) остается в силе, и поэтому теорема Кельвиаа о циркуляции применима. Отсюда следует, что вихревые трубки, как и раньше, движутся вместе с жидкостью, а их напряженность сохраняется. Уравнение для завихренности, которое получается путем применения операции ротора к обеим частям уравнеаия (5.3.5) и использования векторного тождества, как и при выводе (5.1Л), в данном случае таково: де — +п Че+ еЧ.а — е Чп =О.
дс 5.3. вперена Кельпппа н ваноны распространения аапнхренноетн где элемент б (Уе) локально параллелен вектору завихренности. После подстановки (5.3.8) в (5.3.7) находим (5.3.9) Это уравнение (в случае несжимаемой жидкости) впервые было получено Коши. Сохракявмость бвэвихрсвого движения Болыпое значение имеет частный случай течения, в котором в некоторый начальный момент времени циркуляция по любому стягиваемому замкнутому контуру в жидкости равна нулю. Как было показано в з 2.7, движение жидкости, для которого циркуляция по любому стягиваемому замкнутому контуру внутри определенной области равна нулю, является безвихревым в этой области. Согласно (5.3.1), циркуляция по любому из этих замкнутых контуров, рассматриваемых как жидкие, остается нулевой и во все последующие моменты времени.
Таким образом, в том же самом объеме жидкости движение будет безвихревым в последующие моменты времени, т. е. некоторый объем ксвязкой жидкости, находящейся в бсзвихревом движении, остается бсэвихрсчым 1). Этим общим свойством безвихревых движений прежде всего объясняется их большое значение в механике жидкостей и повсеместное кх распространение (правда, с некоторым приближением, поскольку реальные жидкости нельзя считать совершенно невязкими). Мы можем, например, утверждать, хотя это и тривиально, что если движение невязкой жидкости начинается иа состояния покоя (как и большинство реальных движений), то оно будет обяаательно оставаться безвихревыы, поскольку начальное состояние было безвихревым. Условия, при которых безвихревое движение остается безвихревым, в точности совпадают с условиями, при которых справедлива теорема Кельвина о циркуляции. В частности, необходимо подчеркнуть, что в обоих атих случаях речь идет о жидком объеме, а не о жидкости, занимающей фиксированную часть пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
