Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Таким образом, внешнее течение представляет собой обычное безвихревое течение вблизи критической точки на плоской границе. Как мы увидим позже, один из способов улучшения данного приближения с целью учета влияния вихревого слоя на внешнее течение непосредственно следует из вида окончательного решения. Известно (см, (2.7.10)), что течение в безвихревой области описывается функцией тока ф = )сху, (5.5.7) где х, у — прямоугольные координаты, направленные вдоль границы и по нормали к ней (рис. 5.5.$); соответствующее распределение скорости: и йх, и = — йу.
(5.5.8) Здесь Й вЂ” положительная константа, которая в случае критической точки на обтекаемом теле должна быть по соображениям размерности пропорциональна скорости тела, движущегося в Гл. 5. Точеное при большом числе Рейнольдса; эффекты вяакости Р и е. 5.5Л. Уетановивнгееоя двумерное течение в окрестности нритачеокой точки на тверкой границе. у — область ненулевой аавихренноетн; ппривовкой понаввна твердая граница. жидкости, и, как установлено, зависит также от формы обтекаемого тела в целом. Определим теперь распределение завихренности в тонком слое вблизи границы, воспользовавшись уравнением Граничные условия при у = О записываются как и = О, о = О, а на внешней границе слоя течение приобретает внд (5.5.8).
Далее, условие прилипания, конечно, приведет к изменению полученной зависимости компонент скорости от у, однако это не очевидно в отношении их зависимости от х; следовательно, имеет смысл выяснить, существует ли такое решение, для которого и х во всем слое завихренности. Для этого решения мы можем записать тр = х!(у) (5.5.10) чему соответствует и = х!'(у), и =- — !(у), до ди оу= — — — = - !"(у) дл ду где ! (у) — неизвестная функция, а штрихи означают дифференцирование по у.
После подстановки в (5.5.9) для определения функции ! (у) получаем уравнение — !'!" + !!" + т!'ч = О (5.5.И) 362 В.З. Ограиичение диффузии заиихреицости эа счет коииеиции /,б бг 10 0 04 Р,В 1,В бб ВВ Д4 Я,В ДЯ т Р и а. 5.5.2. Фулццил г(чн олреиаллюмал течение о витреоои олое. с граничными условиями 1=1'=О при у=О, 1-+ йу при у -~ оо. Путем однократного интегрирования с учетом граничного условия при у -о оо из (5.5.11) находим 1" — И" — Г = й'. (5.5.12) Коэффициенты этого уравнения можно сделать безраэмернымн, если использовать преобразование у — ( ) ч 1(у)- ( й)'" р(ч).
в результате имеем Р" — РР" — Р" = 1 (5.5 13) с граничными условиями Р=Р'=О при т) =О, т' -а. т) при у Как было численно показано Хиоуенцом (1911), можно найти решение этого уравнения, удовлетворяющее всем граничным условиям; оно приведено на рис. 5.5.2. Соответствующая картина линий тока и распределение компоненты и(у) схематически показаны на Гл. 5. Течение при большом числе Рейнольдси; эффекты ензкости рис. 5.5Л. Что касается единственности решения, то для уравнений движения с приведенныыи выше граничными условиями она не доказана.
Однако с физической точки зрения можно считать, что поставленная нами задача решена, а полученное выше решение описывает происходящее в действительности течение жидкости. Толщина слоя ненулевой завихренности (условно определяемая как аначение у, при котором и =- 0,99)сх), найденная численно, равна (по уточнению Хоуарта (1935)) 6 = 2,4 (тй)ые.
(5. 5Л4) Она не зависит от расстояния вдоль границы и, как и предполагалось ранее, стремится к нулю, когда влияние конвекции (выражаемое коэффициентол~ )с) намного превосходит влияние диффузии (выражаемое коэффициентом ч). Факт независимости толщины 6 от координаты х наводит на мысль о том, что влияние слоя завихренности на безвихревое течение (зто влияние совсем не учитывалось в начале вычислений) приближенно выражается смещением всего течения в направлении оси у, что равносильно простому передвижению границы; для подтверждения этого заметим, что, согласно рис. 5.5.2, уточненная асимптотическая оценка для и' при ц -ч- оо имеет вид и'-и э) — 0,65, так что для соответствующих асимптотических выражений компонент скорости и и и получаем и — йх, и - — й (у — 61), где «толщина вытеснения» слоя 6, = 0,65 (тй)Чэ.
(5.5.15) Это простое смещение всего беавихревого течения не вызывает иаменения в распределении скорости течения. Теперь становится ясным, как найти ограничение на величину )с/т, необходимое для того, чтобы полученное выше решение было справедливо в слое завихренности; это ограничение состоит в тоы, чтобы область вблизи критической точки, внутри которой течение имело бы вид (5.5.8) без учета условия прилипания, находилась от границы жидкости дальше, чем внешний край слоя завихренности. В случае критической точки на передней части тела, обтекаемого равномерным потокол», указанное ограничение обычно определяется тем условием, чтобы величина (тй)не была много ыеньше радиуса кривизны тела в критической точке.
В заключение полезно отметить, что постоянство толщины слоя завихренности в рассматриваемых условиях связано, очевидно, с постоянством по х поперечной скорости жидкости на внешней 5.5. Ограиичсиис либаву»ии завихроииости эа сеет кои»сании границе слоя или, что равносильно, с конвекцией завихренности от критической точки вдоль границы со скоростью, линейно возрастающей по х. Как будет установлено в дальнейшем (з 5.9), при изменении компоненты скорости и на внешнем крае слоя по закону х"' толщина слоя увеличивается по х при т ( 1; в этом случае влияние конвекции не настолько велико, чтобы препятствовать увеличению толщины слоя за счет диффузии; если же т) 1, то толщина слоя уменьшается с увеличением х.
Аналогичное решение можно найти и в случае установившегося осесимметричного течения (без азимутальной составляющей) в окрестности «критической точка» на плоской твердой границе (Хоман (1936б)); такое течение приближенно соответствует течению на передней части тела вращения, которое движется параллельно своей оси симметрии в жидкости, покоящейся на бесконечности. В этом случае безвихревое течение вне слоя завихренности описывается соотношениями (2.7.11) с х = 0 в качестве границы, а определение течения в слое завихренности остается таким же, что и в плоском случае, с небольшими числовыми отличиями. Как плоское, так и осесимметричное решении являются частными (и простыми) случаями решения общей задачи о течении в окрестности критической точки (Хоуарт (1951)), когда скорость в безвихревой области течения задается соотношениями вида (2.7.9).
(и) Центробежное те«ение жидкости, еыееанное еращиющимся дискон В первом из рассмотренных примеров течений конвекция завихренности в направлении к границе была обусловлена отсосом жидкости через границу, а во втором — наличием внешнего течения, направленного к границе; здесь мы рассмотрим третий случай, когда течение к границе вызывается действием центробежных сил на вихревой слой.
Пусть плоский диск большого диаметра, помещенный в первоначально покоящуюся жидкость, приведен во вращение в своей плоскости с постоянной угловой скоростью Й. В результате относительного движения диска и жидкости возникают вязкие напряжения, которые стремятся ааставнть жидкость вращаться вместе с диском. Вблизи поверхности диска невозможно существование в точности кругового движения жидкости, поскольку нет никакого внешнего радиального градиента давления для создания направленного к центру ускорения жидкости; следовательно, вблизи диска жидкость будет двигаться по расходящимся от центра диска спиралям.
Это растекающееся от центра радиальное течение вблизи диска должно сопровождаться в соответствии с законом сохранения массы некоторым осевым течением, направленным перпендикулярно к плоскости диска; под действием этого течения завихренность, возникающая у границы, будет удержи- 365 Гл. б. Течение нрн большом числе Рейнельхса; эффекты клзкестн (5.5 17) которое позволяет исключить компоненту и из (5.5.17) и (5.5.18). Граничные условия для решения этих уравнений — это условия прилипания и=и>=О, и=()г при г=О и условия на бесконечности и-еО, и-иО при з-ьсо. Мы пока не будем задавать какие-либо условия на компоненту к> при г->-со, так как мы ожидаем, что вдали от диска должно 366 ваться от распространения далеко во внешнюю область. Таким обрааом, действие вращающегося диска на жидкость подобно центробежному вентилятору, который отбрасывает в радиальных направлениях воздух и подсасывает на его место новые порции.
Результирующее установившееся течение на первый взгляд кажется весьма сложным для аналитического описания, однако благодаря тому, что окружная скорость диска линейно зависит от радиального расстояния г, зависимость радиальной скоро- сти жидкости от г тоже оказывается линейной; вследствие этого точно так же, как и для течения в окрестности критической точки, вихревой слой имеет постоянную толщину. Как было впервые отме- чено Карманом (1921), уравнения движения и соответствующие граничные условия допускают решение, в котором величины иlг, и/г и ш зависят только от з; здесь (и, и, и>) — компоненты скорости вдоль координатных линий (г, гр, з) соответственно в цилиндри- ческой системе координат, в которой г = О на оси диска.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
